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Solutions exercices : Calcul dans R - 2nd

Classe:

Seconde

Exercice 1

$X=-\dfrac{14}{9}-\left(-\dfrac{72}{5}\right)=\dfrac{578}{45}\qquad Y=\left(-19\times\dfrac{1}{31}\right)\div\dfrac{17}{7}=\dfrac{-133}{527}$

Exercice 2

a) $A=a^{3}\qquad B=a^{5}\qquad C=a^{7}\qquad D=a^{7}b^{2}\qquad E=a^{-5}b^{-3}\qquad F=a^{4}b^{-1}bc^{-2}$

$G=\dfrac{a^{-4}b^{14}c^{9}}{a^{-6}b^{4}c^{-8}}=a^{2}b^{10}c^{17}\qquad H=\dfrac{-a^{2}b^{8}c^{3}}{-a^{-4}b^{-5}c^{5}}=a^{6}b^{13}c^{-2}$

b) $X=\dfrac{2^{10}3^{-6}5^{4}}{2^{7}3^{11}5^{5}}=2^{3}3^{-17}5^{-1}\qquad Y=\dfrac{-2^{-1}3^{6}5^{-1}}{-2^{-4}3^{-7}5^{4}}=2^{3}3^{13}5^{-5}$

Exercice 3

$A=0\qquad B=54x^{3}+72x^{2}y$

$C=9x^{4}-12x^{2}y^{2}+6x^{2}z+4y^{2}-4yz+z^{2}$

$D=0\qquad E=0$

$F=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Exercice 4

$A=(a+b+3)(a+b-3)(a-b-3)(a-b+3)$

$B=(a+b+1)(a+b-1)(a-b-3)(a-b+3)$

$C=(a-b)(a+b)(x-y)(x+y)\qquad D=(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})$

$E=(a-b)(a+b)^{2}(a+b-1)$

$F=(a-b)(a+b)(x-ab)x+ab)\qquad G=(x+a)(x-a)(y+b)(y-b)$

$H=2(x-3)(3x-2)$

$I=3xy(x+y)\qquad J=2(2x+y)(4x-z)$

Exercice 5

$A=\dfrac{4x^{2}-2x+1}{x(2x-1)}$

$B=\dfrac{a(b-c)-b(a-c)+c(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$ Après réduction, on trouve : $B=0$

$C=1$ (Prendre pour dénominateur commun $ab(a-b)).$

$D=\dfrac{a^{2}b+b}{1+a^{2}}=b$

$E=\dfrac{b+c-a}{a+b+c}\times\dfrac{a+b+c}{a+c-b}=\dfrac{b+c-a}{a+c-b}$

Exercice 6

$A=(2\sqrt{2}-3\sqrt{2})(5\sqrt{2}-6\sqrt{2}+4\sqrt{2})=-6$

$B=\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}}{3-2}=10$

$C=\sqrt{3}(2-\sqrt{3})-2(\sqrt{3}-1)=-1\qquad D=3$

$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{3\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{6-3}-\dfrac{4\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}+\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}\\ \\ &=&2\sqrt{3}-\sqrt{6}-3\sqrt{2}+\sqrt{6}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3} \\ \\&=&0 \end{array}$

$F=(x+y)-(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}=2\sqrt{xy}$

$G=\dfrac{(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})^{2}}{2b}=\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{b}$

$\begin{array}{rcl} H&=&\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})}}\\ \\ &=&\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{4-(2+\sqrt{2})}}\\ \\ &=&\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\\ \\ &=&\dfrac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}\\ \\ &=&2+\sqrt{2} \end{array}$

Exercice 7

$x=\dfrac{1}{2}\;;\quad y=\dfrac{-3\sqrt{2}-\sqrt{3}+3\sqrt{10}+\sqrt{15}}{5}\;;\quad z=\dfrac{3-7\sqrt{5}}{4}$

$\begin{array}{rcl} s&=&\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-2}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-4}\\ \\&=&\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-2)(1-2\sqrt{6})}{-23}\\ \\ &=&\dfrac{-4\sqrt{6}+5\sqrt{2}+3\sqrt{3}+2}{23} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} t&=&\dfrac{(\sqrt{7}-2\sqrt{5})-\sqrt{3}}{(\sqrt{7}-2\sqrt{5})^{2}-3}\\ \\&=&\dfrac{(\sqrt{7}-2\sqrt{5}-\sqrt{3})(24+4\sqrt{35})}{24^{2}-(4\sqrt{35})^{2}}\\ \\ &=&\dfrac{-20\sqrt{5}-16\sqrt{7}-24\sqrt{3}-4\sqrt{105}}{16}\\ \\ &=&\dfrac{-5\sqrt{5}-\sqrt{105}-6\sqrt{3}-4\sqrt{7}}{4}\end{array}$

Exercice 8

On a successivement :

$x^{2}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\sqrt{\dfrac{a}{b}\times\dfrac{b}{a}}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab}-2\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{(a-b)^{2}}{ab}\right)$

$x^{2}+1=\dfrac{(a-b)^{2}+4ab}{4ab}=\dfrac{(a+b)^{2}}{4ab}$

$\sqrt{1+x^{2}}=\dfrac{(|a+b|}{2\sqrt{ab}}$

Exercice 9

$A^{2}=a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}+a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}+2\sqrt{a^{2}-(a^{2}-b^{2})}=2(a+|b|)$

Exercice 10 (*)

Posons $\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}=t$. Alors $a=ta'\;,\ b=tb'$ et $c=tc'$, d'où :

$A=\sqrt{aa'}+\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}=\sqrt{ta'^{2}}+\sqrt{tb'^{2}}+\sqrt{tc'^{2}}=\sqrt{t}(a'+b'+c')$

et $B=\sqrt{(a+b+c)(a'+b'+c')}=\sqrt{t(a'+b'+c')^{2}}=\sqrt{t}(a'+b'+c')$

Par conséquent : $A=B.$

Exercice 11

$\sqrt{11-2\sqrt{30}}=\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$

$\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{5}-\sqrt{2}$

$\sqrt{8+4\sqrt{3}}=\sqrt{2(4+2\sqrt{3})}=\sqrt{2(\sqrt{3}+1)^{2}}=\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

D'où

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}-\dfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}-\dfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\\ \\ &=&\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5}-\dfrac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2}-\dfrac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2}\\ \\ &=&\sqrt{6}+\sqrt{5}-(\sqrt{5}+\sqrt{2})-(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \\ \\&=&0 \end{array}$

Exercice 12

1) $A=\left(\dfrac{n}{n-1}\right)\left(\dfrac{n-1}{n}\right)=1$

2) $B=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\underbrace{\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)}_{=1\text{ d'après 1)}}\underbrace{\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{4}\right)}_{=1\text{ d'après 1)}}\left(1+\dfrac{1}{4}\right)$

Soit $B=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{8}$

3) De manière analogue à 2) $x_{n}=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{n+1}{2n}$

4) Si $n=2000$, on obtient : $x_{n}=\dfrac{2001}{2000}$

Exercice 13

Par réduction au même dénominateur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} S&=&\dfrac{b c(b+c)+c a(c+a)+ab(a+b)}{a}\\ \\ &=&\dfrac{b^{2}c+b c^{2}+c a^{2}(c^{2}a+a^{2}b+ab^{2}}{abc}\end{array}$

Puis, par un regroupement judicieux des termes :

$\begin{array}{rcl} S &=&\dfrac{b^{2}c+b c^{2}+c a^{2}(c^{2}a+a^{2}b+ab^{2}}{abc}\\ \\ &=&\dfrac{b(b c+a b)+c(b c+c a)+a(c a+a b)}{abc}\end{array}$

Or, l'hypothèse : $ab+bc+ca=0$ entraîne : $$bc+ab=-ac\;;\quad bc+ca=-ab\;;\quad ca+ab=-bc$$

Par suite :

$\begin{array}{rcl}S &=&\dfrac{b(-a c)+c(-a b)+a(-b c)}{abc}\\ \\ &=&\dfrac{-3 abc}{abc}\\ \\ &=&-3\nonumber. \end{array}$

Exercice 14

1) En utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, on obtient :

$(a+b+c)(ab+bc+ca)=a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2}+3abc$

$(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2})+6abc$

(Utiliser $(a+b+c)^{2}(a+b+c)$).

2) On en déduit que :

$(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3[(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc]+6abc$,

soit :

$(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3[(a+b+c)(ab+bc+ca)]-3abc.$

Si $a+b+c=0$, cette dernière égalité devient :

$0^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3[(0)(ab+bc+ca)]-3abc$ , c'est-à-dire :

$$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$$

3) Posons $a=x-y\;;\ b=y-z\text{ et }c=z-x.$

Alors, : $a+b+c=0$, d'où d'après 2) :

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$, ce qui s'écrit :

$$(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}=3(x-y)(y-z)(z-x)$$

Exercice 15

$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

En écrivant cette relation successivement pour $n=0\;,\ 1\;,\ 2\;,\cdots\;,\ 100$, on obtient les égalités :

\begin{eqnarray} \dfrac{1}{1} &=& \sqrt{1}-\sqrt{0}\nonumber\\ \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}} &=& \sqrt{2}-\sqrt{1}\nonumber\\ \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} &=& \sqrt{3}-\sqrt{2}\nonumber\\ \vdots&\vdots&\vdots\nonumber\\ \vdots&\vdots&\vdots\nonumber\\ \dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{98}} &=& \sqrt{99}-\sqrt{98}\nonumber\\ \dfrac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}} &=& \sqrt{100}-\sqrt{99}\nonumber \end{eqnarray}

qui, ajoutées membre à membre, donnent :

$$\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=\sqrt{100}-\sqrt{0}=10$$

Exercice 16

$A=\dfrac{a^{2}(b-c)-b^{2}(a-c)+c^{2}(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

L'idée est maintenant de faire apparaître systématiquement les facteurs au dénominateur en faisant des groupements convenables :

$\begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{(a^{2}b-ab^{2})+(b^{2}c-a^{2}c)+(ac^{2}-bc^{2})}{(a-b)(a-c)(b-c)}\\ \\ &=& \dfrac{(a-b)[ab-c(a+b)+c^{2}]}{(a-b)(a-c)(b-c)}\\ \\ &=& \dfrac{(ab-ac)+(c^{2}-bc)}{(a-c)(b-c)}\\ \\ &=& \dfrac{(b-c)(a-c)}{(a-c)(b-c)}\\ \\ &=& 1\end{array}$

$B=\dfrac{(a^{3}(b-c)-b^{3}(a-c)+c^{3}(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

Là aussi, il faut grouper les termes de façon à faire apparaître les facteurs du dénominateur :

$\begin{array}{rcl} B &=& \dfrac{(a^{3}b-ab^{3})+(b^{3}c-a^{3}c)+(ac^{3}}{(a-b)(a-c)(b-c)}\\ \\ &=& \dfrac{(a-b)[ab(a+b)-c(a^{2}+ab+b^{2})+c^{3}]}{(a-b)(a-c)(b-c)}\\ \\ &=& \dfrac{(a^{2}b-abc)+(ab^{2}-b^{2}c)+(c^{3}-c a^{2})}{(a-c)(b-c)}\\ \\ &=& \dfrac{(a-c)[ab+b^{2}-c(a+c)]}{(a-c)(b-c)}\\ \\ &=& \dfrac{ab-ac+b^{2}-c^{2}}{b-c} \\ \\ &=& \dfrac{(b-c)(a+b+c)}{b-c}\\ \\ &=& a+b+c\end{array}$

$C=b^{2}\dfrac{a}{b}-2ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}\times\sqrt{\dfrac{b}{a}}+a^{2}\dfrac{b}{a}=2ab-2ab=0.$

$D=\dfrac{m^{4}-2m^{2}+1+4m^{2}}{(m^{2}+1)^{2}}=\left(\dfrac{m^{2}+1}{m^{2}+1}\right)^{2}=1$

$\begin{array}{rcl} E &=& \sqrt{\dfrac{(2^{3)^{10}+(2^{2})^{10}}}{(2^{3})^{4}+(2^{2})^{11}}}\\ \\ &=& \sqrt{\dfrac{2^{30}+2^{20}}{2^{12}+2^{22}}}\\ \\ &=&\sqrt{\dfrac{2^{20}(2^{10}+1)}{2^{12}(1+2^{10})}}\\ \\ &=& \sqrt{2^{8}}\\ \\&=&2^{4}\ =\ 16 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} F^{2} &=& \left(\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}\right)^{2}\\ \\ &=& \dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}+\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}+2\sqrt{\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\right)\times\left(\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\right)}\\ \\ &=& \dfrac{(3+\sqrt{5})^{2}+(3 \sqrt{5})^{2}}{9-5}+2\\ \\ &=& \dfrac{14}{4}+2\\ \\ &=& \dfrac{11}{2}\end{array}$

Par suite, $F=\sqrt{\dfrac{11}{2}}$

$\begin{array}{rcl} G &=& \left(\sqrt{\dfrac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}}+\sqrt{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}}\right)^{2}\\ \\ &=& \dfrac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}+\dfrac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}+2\sqrt{\left(\dfrac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}\right)\times\left(\dfrac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}\right)}\\ \\ &=& \dfrac{(3+2\sqrt{2})^{2}+(3-2\sqrt{2})^{2}}{9-8}+2\\ \\ &=& 19\end{array}$

$\begin{array}{rcl} H&=&\dfrac{(x+y)(x^{2}+y^{2})+2xy(x+y)}{x^{2}y^{2}(x+y)^{3}}\\ \\&=&\dfrac{(x+y)^{3}}{x^{2}y^{2}(x+y)^{3}}\\ \\&=&\dfrac{1}{x^{2}y^{2}}\end{array}$

Exercice 17

a) $A=9.19631770\times 10^{8}$

b) $A=2.7\times 10^{13}$

c) $A=7.277\times 10^{-6}$

d) $A=1.242\times 10^{7}$

e) $A=6.6262\times 10^{-34}$

Exercice 18

a) $B=0.004168$

b) $B=0.06429793$

c) $B=205.1738$

d) $B=0.00064872$

e) $B=52 580$

f) $B=3.700 025$

Exercice 19

a) $C=7.2036\times 10^{3}$

b) $C=2.283220224$

c) $C=5.1162111\times 10^{15}$

d) $C=9.460515114\times 10^{12}$

Exercice 20

1) Par hypothèse, on a : $ad=bc.$

Montrons l'égalité :

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+b}{b+d}$.

En effet :

$a(b+d)-b(a+c)=ab+ad-ba-bc=ad-bc=0.$

Donc, $a(b+d)=b(a+c)$, d'où l'égalité des 2 rapports.

On démontre de façon analogue que :

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{b-d}.$

On a aussi :

$a(kb+ld)-b(ka+lc)=akb+ald-bka-blc=l(ad-bc)$

Donc

$\begin{array}{rcl} \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}&\Rightarrow&ad=bc \\ \\&\Rightarrow&a(kb+ld)-b(ka+lc)=0 \\ \\&\Rightarrow&\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{ka+lc}{kb+ld}\end{array}$

2) $a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}=(ad-bc)(ad+bc).$

Par conséquent :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}&\Rightarrow&ad=bc \\ \\&\Rightarrow&a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}=0 \\ \\&\Rightarrow&\dfrac{a^{2}}{b^{2}}=\dfrac{c^{2}}{d^{2}}\end{array}$

La réciproque n'est vraie que si $ad+bc\neq 0.$

$\begin{array}{rcl}ab(c+d)^{2}-cd(a+b)^{2}&=&abc^{2}-a^{2}cd+abd^{2}-b^{2}cd\\ \\&=&(ab-bc)(bd-ac)\end{array}$

Il en résulte que si $a\;,\ b\;,\ c\text{ et }d$ forment une proportion, alors $$ad=bc$$

d'où : $$ab(c+d)^{2}-cd(a+b)^{2}=0$$

et par conséquent, $$\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{(a+b)^{2}}{(c+d)^{2}}$$

La réciproque n'est vraie que si $bd-ac\neq 0.$

3) $(1)\ d=\dfrac{3}{2}\;;\quad (2)\ d=800\;;\quad(3)\ d=-60$

4) La moyenne proportionnelle de $a$ et $b$ est $\sqrt{ab}.$

Celle de $mn$ et $pq$ est donc $\sqrt{mnpq}.$

(On peut remarquer que ce produit est positif, puisque $\dfrac{m}{n}=\dfrac{p}{q}\;,\ mq$ et $pn$ sont égaux, et par conséquent, sont de même signe).

Il s'agit de montrer que :

$\begin{array}{rcl}\sqrt{mnpq}=\dfrac{mq+pn}{2}&\Leftrightarrow&mnpq=\left(\dfrac{mq+pn}{2}\right)^{2}\\ \\&\Leftrightarrow&4mnpq=m^{2}q^{2}+p^{2}n^{2}+2mnpq\\ \\&\Leftrightarrow&m^{2}q^{2}+p^{2}n^{2}-2 mnpq=0\\ \\&\Leftrightarrow& (mq-pn)^{2}=0\end{array}$

Or ceci est vrai car $mq=np.$

La réciproque est vraie puisqu'on a procédé par équivalences.

Auteur:

Mouhamadou Ka

Commentaires

El Hadji Malick... (non vérifié)

mer, 11/13/2019 - 21:32