Solutions exercices : Calcul dans R - 2nd
Classe:
Seconde
Exercice 1
X=−149−(−725)=57845Y=(−19×131)÷177=−133527X=−149−(−725)=57845Y=(−19×131)÷177=−133527
Exercice 2
a) A=a3B=a5C=a7D=a7b2E=a−5b−3F=a4b−1bc−2A=a3B=a5C=a7D=a7b2E=a−5b−3F=a4b−1bc−2
G=a−4b14c9a−6b4c−8=a2b10c17H=−a2b8c3−a−4b−5c5=a6b13c−2G=a−4b14c9a−6b4c−8=a2b10c17H=−a2b8c3−a−4b−5c5=a6b13c−2
b) X=2103−6542731155=233−175−1Y=−2−1365−1−2−43−754=233135−5X=2103−6542731155=233−175−1Y=−2−1365−1−2−43−754=233135−5
Exercice 3
A=0B=54x3+72x2yA=0B=54x3+72x2y
C=9x4−12x2y2+6x2z+4y2−4yz+z2C=9x4−12x2y2+6x2z+4y2−4yz+z2
D=0E=0D=0E=0
F=3(a2+b2+c2)F=3(a2+b2+c2)
Exercice 4
A=(a+b+3)(a+b−3)(a−b−3)(a−b+3)A=(a+b+3)(a+b−3)(a−b−3)(a−b+3)
B=(a+b+1)(a+b−1)(a−b−3)(a−b+3)B=(a+b+1)(a+b−1)(a−b−3)(a−b+3)
C=(a−b)(a+b)(x−y)(x+y)D=(a2+b2)(x2+y2)C=(a−b)(a+b)(x−y)(x+y)D=(a2+b2)(x2+y2)
E=(a−b)(a+b)2(a+b−1)E=(a−b)(a+b)2(a+b−1)
F=(a−b)(a+b)(x−ab)x+ab)G=(x+a)(x−a)(y+b)(y−b)F=(a−b)(a+b)(x−ab)x+ab)G=(x+a)(x−a)(y+b)(y−b)
H=2(x−3)(3x−2)H=2(x−3)(3x−2)
I=3xy(x+y)J=2(2x+y)(4x−z)I=3xy(x+y)J=2(2x+y)(4x−z)
Exercice 5
A=4x2−2x+1x(2x−1)A=4x2−2x+1x(2x−1)
B=a(b−c)−b(a−c)+c(a−b)(a−b)(a−c)(b−c)B=a(b−c)−b(a−c)+c(a−b)(a−b)(a−c)(b−c) Après réduction, on trouve : B=0B=0
C=1C=1 (Prendre pour dénominateur commun ab(a−b)).ab(a−b)).
D=a2b+b1+a2=bD=a2b+b1+a2=b
E=b+c−aa+b+c×a+b+ca+c−b=b+c−aa+c−bE=b+c−aa+b+c×a+b+ca+c−b=b+c−aa+c−b
Exercice 6
A=(2√2−3√2)(5√2−6√2+4√2)=−6A=(2√2−3√2)(5√2−6√2+4√2)=−6
B=(√3+√2)2+(√3−√2)23−2=10B=(√3+√2)2+(√3−√2)23−2=10
C=√3(2−√3)−2(√3−1)=−1D=3C=√3(2−√3)−2(√3−1)=−1D=3
E=3√2(√6−√3)6−3−4√3(√6−√2)6−2+√6(√3−√2)3−2=2√3−√6−3√2+√6+3√2−2√3=0
F=(x+y)−(√x−√y)2=2√xy
G=(√a+b+√a−b)22b=a+√a2−b2b
H=√2√2+√2√(2+√2+√2)(2−√2+√2)=√2√2+√2√4−(2+√2)=√2√2+√2√2−√2=√2(2+√2)√2=2+√2
Exercice 7
x=12;y=−3√2−√3+3√10+√155;z=3−7√54
s=(√2+√3)−2(√2+√3)2−4=(√2+√3−2)(1−2√6)−23=−4√6+5√2+3√3+223
t=(√7−2√5)−√3(√7−2√5)2−3=(√7−2√5−√3)(24+4√35)242−(4√35)2=−20√5−16√7−24√3−4√10516=−5√5−√105−6√3−4√74
Exercice 8
On a successivement :
x2=14(ab+ba−2√ab×ba)=14(a2+b2ab−2)=14((a−b)2ab)
x2+1=(a−b)2+4ab4ab=(a+b)24ab
√1+x2=(|a+b|2√ab
Exercice 9
A2=a+√a2−b2+a−√a2−b2+2√a2−(a2−b2)=2(a+|b|)
Exercice 10 (*)
Posons aa′=bb′=cc′=t. Alors a=ta′, b=tb′ et c=tc′, d'où :
A=√aa′+√bb′+√cc′=√ta′2+√tb′2+√tc′2=√t(a′+b′+c′)
et B=√(a+b+c)(a′+b′+c′)=√t(a′+b′+c′)2=√t(a′+b′+c′)
Par conséquent : A=B.
Exercice 11
√11−2√30=√(√6−√5)2=√6−√5
√7−2√10=√(√5−√2)2=√5−√2
√8+4√3=√2(4+2√3)=√2(√3+1)2=√2(√3+1)=√6+√2
D'où
A=1√6−√5−3√5−√2−4√6+√2=√6+√56−5−3(√5+√2)5−2−4(√6−√2)6−2=√6+√5−(√5+√2)−(√6−√2)=0
Exercice 12
1) A=(nn−1)(n−1n)=1
2) B=(1−12)(1+12)(1−13)⏟=1 d'après 1)(1+13)(1−14)⏟=1 d'après 1)(1+14)
Soit B=12×54=58
3) De manière analogue à 2) xn=(1−12)(1+1n)=n+12n
4) Si n=2000, on obtient : xn=20012000
Exercice 13
Par réduction au même dénominateur, on obtient :
S=bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)a=b2c+bc2+ca2(c2a+a2b+ab2abc
Puis, par un regroupement judicieux des termes :
S=b2c+bc2+ca2(c2a+a2b+ab2abc=b(bc+ab)+c(bc+ca)+a(ca+ab)abc
Or, l'hypothèse : ab+bc+ca=0 entraîne : bc+ab=−ac;bc+ca=−ab;ca+ab=−bc
Par suite :
S=b(−ac)+c(−ab)+a(−bc)abc=−3abcabc=−3.
Exercice 14
1) En utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, on obtient :
(a+b+c)(ab+bc+ca)=a2b+a2c+ab2+ac2+b2c+bc2+3abc
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a2b+a2c+ab2+ac2+b2c+bc2)+6abc
(Utiliser (a+b+c)2(a+b+c)).
2) On en déduit que :
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3[(a+b+c)(ab+bc+ca)−3abc]+6abc,
soit :
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3[(a+b+c)(ab+bc+ca)]−3abc.
Si a+b+c=0, cette dernière égalité devient :
03=a3+b3+c3+3[(0)(ab+bc+ca)]−3abc , c'est-à-dire :
a3+b3+c3=3abc
3) Posons a=x−y; b=y−z et c=z−x.
Alors, : a+b+c=0, d'où d'après 2) :
a3+b3+c3=3abc, ce qui s'écrit :
(x−y)3+(y−z)3+(z−x)3=3(x−y)(y−z)(z−x)
Exercice 15
1√n+1√n=√n+1−√n(n+1)−n=√n+1−√n
En écrivant cette relation successivement pour n=0, 1, 2,⋯, 100, on obtient les égalités :
11=√1−√01√2+√1=√2−√11√3+√2=√3−√2⋮⋮⋮⋮⋮⋮1√99+√98=√99−√981√100+√99=√100−√99
qui, ajoutées membre à membre, donnent :
11+1√2+√1+1√3+√2+⋯+1√100+√99=√100−√0=10
Exercice 16
A=a2(b−c)−b2(a−c)+c2(a−b)(a−b)(a−c)(b−c)
L'idée est maintenant de faire apparaître systématiquement les facteurs au dénominateur en faisant des groupements convenables :
A=(a2b−ab2)+(b2c−a2c)+(ac2−bc2)(a−b)(a−c)(b−c)=(a−b)[ab−c(a+b)+c2](a−b)(a−c)(b−c)=(ab−ac)+(c2−bc)(a−c)(b−c)=(b−c)(a−c)(a−c)(b−c)=1
B=(a3(b−c)−b3(a−c)+c3(a−b)(a−b)(a−c)(b−c)
Là aussi, il faut grouper les termes de façon à faire apparaître les facteurs du dénominateur :
B=(a3b−ab3)+(b3c−a3c)+(ac3(a−b)(a−c)(b−c)=(a−b)[ab(a+b)−c(a2+ab+b2)+c3](a−b)(a−c)(b−c)=(a2b−abc)+(ab2−b2c)+(c3−ca2)(a−c)(b−c)=(a−c)[ab+b2−c(a+c)](a−c)(b−c)=ab−ac+b2−c2b−c=(b−c)(a+b+c)b−c=a+b+c
C=b2ab−2ab√ab×√ba+a2ba=2ab−2ab=0.
D=m4−2m2+1+4m2(m2+1)2=(m2+1m2+1)2=1
E=√(23)10+(22)10(23)4+(22)11=√230+220212+222=√220(210+1)212(1+210)=√28=24 = 16
F2=(√3+√53−√5+√3−√53+√5)2=3+√53−√5+3−√53+√5+2√(3+√53−√5)×(3−√53+√5)=(3+√5)2+(3√5)29−5+2=144+2=112
Par suite, F=√112
G=(√3+2√23−2√2+√3−2√23+2√2)2=3+2√23−2√2+3−2√23+2√2+2√(3+2√23−2√2)×(3−2√23+2√2)=(3+2√2)2+(3−2√2)29−8+2=19
H=(x+y)(x2+y2)+2xy(x+y)x2y2(x+y)3=(x+y)3x2y2(x+y)3=1x2y2
Exercice 17
a) A=9.19631770×108
b) A=2.7×1013
c) A=7.277×10−6
d) A=1.242×107
e) A=6.6262×10−34
Exercice 18
a) B=0.004168
b) B=0.06429793
c) B=205.1738
d) B=0.00064872
e) B=52580
f) B=3.700025
Exercice 19
a) C=7.2036×103
b) C=2.283220224
c) C=5.1162111×1015
d) C=9.460515114×1012
Exercice 20
1) Par hypothèse, on a : ad=bc.
Montrons l'égalité :
ab=a+bb+d.
En effet :
a(b+d)−b(a+c)=ab+ad−ba−bc=ad−bc=0.
Donc, a(b+d)=b(a+c), d'où l'égalité des 2 rapports.
On démontre de façon analogue que :
ab=a−cb−d.
On a aussi :
a(kb+ld)−b(ka+lc)=akb+ald−bka−blc=l(ad−bc)
Donc
ab=cd⇒ad=bc⇒a(kb+ld)−b(ka+lc)=0⇒ab=cd=ka+lckb+ld
2) a2d2−b2c2=(ad−bc)(ad+bc).
Par conséquent :
ab=cd⇒ad=bc⇒a2d2−b2c2=0⇒a2b2=c2d2
La réciproque n'est vraie que si ad+bc≠0.
ab(c+d)2−cd(a+b)2=abc2−a2cd+abd2−b2cd=(ab−bc)(bd−ac)
Il en résulte que si a, b, c et d forment une proportion, alors ad=bc
d'où : ab(c+d)2−cd(a+b)2=0
et par conséquent, abcd=(a+b)2(c+d)2
La réciproque n'est vraie que si bd−ac≠0.
3) (1) d=32;(2) d=800;(3) d=−60
4) La moyenne proportionnelle de a et b est √ab.
Celle de mn et pq est donc √mnpq.
(On peut remarquer que ce produit est positif, puisque mn=pq, mq et pn sont égaux, et par conséquent, sont de même signe).
Il s'agit de montrer que :
√mnpq=mq+pn2⇔mnpq=(mq+pn2)2⇔4mnpq=m2q2+p2n2+2mnpq⇔m2q2+p2n2−2mnpq=0⇔(mq−pn)2=0
Or ceci est vrai car mq=np.
La réciproque est vraie puisqu'on a procédé par équivalences.
Auteur:
Mouhamadou Ka
Commentaires
El Hadji Malick... (non vérifié)
mer, 11/13/2019 - 21:32
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Je veux me renforcer pour
Kpegba (non vérifié)
mer, 10/16/2024 - 18:09
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Aidez moi
El Hadji Malick... (non vérifié)
mer, 11/13/2019 - 21:32
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Fatima Mbengue (non vérifié)
sam, 11/11/2023 - 00:53
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Anonyme (non vérifié)
mer, 01/31/2024 - 10:49
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En travaillant dure
Anonyme (non vérifié)
mer, 01/31/2024 - 10:49
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Mariama sy (non vérifié)
jeu, 10/24/2024 - 21:56
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Devenir une bonne scientifique
Anonyme (non vérifié)
jeu, 07/16/2020 - 15:35
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J'apprécie beaucoup votre
Anonyme (non vérifié)
jeu, 07/16/2020 - 15:35
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Faty Mamadou Bah (non vérifié)
mar, 11/17/2020 - 15:01
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Anonyme (non vérifié)
mer, 11/25/2020 - 14:28
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J'aimerais le télécharger
Alioune Wade (non vérifié)
mer, 12/02/2020 - 16:27
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Je veux télécharger la correction des exercices
astou (non vérifié)
sam, 11/28/2020 - 19:34
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comment telecharger
Anonyme (non vérifié)
sam, 12/05/2020 - 16:22
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Merci
Anonyme (non vérifié)
mer, 11/10/2021 - 18:09
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Anonyme (non vérifié)
mer, 11/10/2021 - 18:09
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christine demba (non vérifié)
lun, 11/07/2022 - 01:00
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christine demba (non vérifié)
lun, 11/07/2022 - 01:00
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christine demba (non vérifié)
lun, 11/07/2022 - 01:00
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lun, 11/07/2022 - 01:00
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Sokhna gadiaga (non vérifié)
lun, 11/28/2022 - 08:07
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Anonyme (non vérifié)
mer, 11/15/2023 - 22:23
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Merci mais où est l'exo 21
Niasse (non vérifié)
ven, 11/01/2024 - 18:50
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L’exo 21
RABIATOU BA (non vérifié)
jeu, 10/24/2024 - 02:49
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je reste de la correction
RABIATOU BA (non vérifié)
jeu, 10/24/2024 - 02:49
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le reste de la correction
Anonyme (non vérifié)
mar, 11/05/2024 - 21:09
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Correction de Soient
Anonyme (non vérifié)
sam, 11/09/2024 - 01:07
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Correction des autres
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