Solutions exercices : Calcul dans R - 2nd

Classe: 
Seconde
 

Exercice 1

X=149(725)=57845Y=(19×131)÷177=133527X=149(725)=57845Y=(19×131)÷177=133527

Exercice 2

a) A=a3B=a5C=a7D=a7b2E=a5b3F=a4b1bc2
 
G=a4b14c9a6b4c8=a2b10c17H=a2b8c3a4b5c5=a6b13c2
 
b) X=21036542731155=2331751Y=213651243754=2331355

Exercice 3

A=0B=54x3+72x2y 
 
C=9x412x2y2+6x2z+4y24yz+z2 
 
D=0E=0 
 
F=3(a2+b2+c2)

Exercice 4

A=(a+b+3)(a+b3)(ab3)(ab+3) 
 
B=(a+b+1)(a+b1)(ab3)(ab+3)
 
C=(ab)(a+b)(xy)(x+y)D=(a2+b2)(x2+y2)
 
E=(ab)(a+b)2(a+b1)
 
F=(ab)(a+b)(xab)x+ab)G=(x+a)(xa)(y+b)(yb)
 
H=2(x3)(3x2)
 
I=3xy(x+y)J=2(2x+y)(4xz)

Exercice 5

A=4x22x+1x(2x1)
 
B=a(bc)b(ac)+c(ab)(ab)(ac)(bc) Après réduction, on trouve : B=0
 
C=1 (Prendre pour dénominateur commun ab(ab)).
 
D=a2b+b1+a2=b
 
E=b+caa+b+c×a+b+ca+cb=b+caa+cb

Exercice 6

A=(2232)(5262+42)=6
 
B=(3+2)2+(32)232=10
 
C=3(23)2(31)=1D=3
 
E=32(63)6343(62)62+6(32)32=23632+6+3223=0
 
F=(x+y)(xy)2=2xy
 
G=(a+b+ab)22b=a+a2b2b

H=22+2(2+2+2)(22+2)=22+24(2+2)=22+222=2(2+2)2=2+2

Exercice 7

x=12;y=323+310+155;z=3754

s=(2+3)2(2+3)24=(2+32)(126)23=46+52+33+223
 
t=(725)3(725)23=(7253)(24+435)242(435)2=205167243410516=5510563474

Exercice 8

On a successivement :
 
x2=14(ab+ba2ab×ba)=14(a2+b2ab2)=14((ab)2ab)
 
x2+1=(ab)2+4ab4ab=(a+b)24ab
 
1+x2=(|a+b|2ab

Exercice 9

A2=a+a2b2+aa2b2+2a2(a2b2)=2(a+|b|)

Exercice 10 (*)

Posons aa=bb=cc=t. Alors a=ta, b=tb et c=tc, d'où :
 
A=aa+bb+cc=ta2+tb2+tc2=t(a+b+c)
 
et B=(a+b+c)(a+b+c)=t(a+b+c)2=t(a+b+c)
 
Par conséquent : A=B.

Exercice 11

11230=(65)2=65
 
7210=(52)2=52
 
8+43=2(4+23)=2(3+1)2=2(3+1)=6+2
 
D'où
 
A=16535246+2=6+5653(5+2)524(62)62=6+5(5+2)(62)=0

Exercice 12

1) A=(nn1)(n1n)=1
 
2) B=(112)(1+12)(113)=1 d'après 1)(1+13)(114)=1 d'après 1)(1+14)
 
Soit B=12×54=58
 
3) De manière analogue à 2) xn=(112)(1+1n)=n+12n
 
4) Si n=2000, on obtient : xn=20012000

Exercice 13

Par réduction au même dénominateur, on obtient :
 
S=bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)a=b2c+bc2+ca2(c2a+a2b+ab2abc
 
Puis, par un regroupement judicieux des termes :
 
S=b2c+bc2+ca2(c2a+a2b+ab2abc=b(bc+ab)+c(bc+ca)+a(ca+ab)abc
 
Or, l'hypothèse : ab+bc+ca=0 entraîne : bc+ab=ac;bc+ca=ab;ca+ab=bc
Par suite :
 
S=b(ac)+c(ab)+a(bc)abc=3abcabc=3.

Exercice 14 

1) En utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, on obtient : 
 
(a+b+c)(ab+bc+ca)=a2b+a2c+ab2+ac2+b2c+bc2+3abc
 
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a2b+a2c+ab2+ac2+b2c+bc2)+6abc 
 
(Utiliser (a+b+c)2(a+b+c)). 
 
2) On en déduit que : 
 
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3[(a+b+c)(ab+bc+ca)3abc]+6abc,
 
soit : 
 
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3[(a+b+c)(ab+bc+ca)]3abc. 
 
Si a+b+c=0, cette dernière égalité devient : 
 
03=a3+b3+c3+3[(0)(ab+bc+ca)]3abc , c'est-à-dire :
a3+b3+c3=3abc 
 
3) Posons a=xy; b=yz et c=zx. 
 
Alors, : a+b+c=0, d'où d'après 2) :
 
a3+b3+c3=3abc, ce qui s'écrit :
(xy)3+(yz)3+(zx)3=3(xy)(yz)(zx)

Exercice 15

1n+1n=n+1n(n+1)n=n+1n 
 
En écrivant cette relation successivement pour n=0, 1, 2,, 100, on obtient les égalités :
11=1012+1=2113+2=32199+98=99981100+99=10099
 
qui, ajoutées membre à membre, donnent :
 
11+12+1+13+2++1100+99=1000=10

Exercice 16

A=a2(bc)b2(ac)+c2(ab)(ab)(ac)(bc)
 
L'idée est maintenant de faire apparaître systématiquement les facteurs au dénominateur en faisant des groupements convenables : 
 
A=(a2bab2)+(b2ca2c)+(ac2bc2)(ab)(ac)(bc)=(ab)[abc(a+b)+c2](ab)(ac)(bc)=(abac)+(c2bc)(ac)(bc)=(bc)(ac)(ac)(bc)=1
 
B=(a3(bc)b3(ac)+c3(ab)(ab)(ac)(bc)
 
Là aussi, il faut grouper les termes de façon à faire apparaître les facteurs du dénominateur :
 
B=(a3bab3)+(b3ca3c)+(ac3(ab)(ac)(bc)=(ab)[ab(a+b)c(a2+ab+b2)+c3](ab)(ac)(bc)=(a2babc)+(ab2b2c)+(c3ca2)(ac)(bc)=(ac)[ab+b2c(a+c)](ac)(bc)=abac+b2c2bc=(bc)(a+b+c)bc=a+b+c
 
C=b2ab2abab×ba+a2ba=2ab2ab=0.
 
D=m42m2+1+4m2(m2+1)2=(m2+1m2+1)2=1
 
E=(23)10+(22)10(23)4+(22)11=230+220212+222=220(210+1)212(1+210)=28=24 = 16
 
F2=(3+535+353+5)2=3+535+353+5+2(3+535)×(353+5)=(3+5)2+(35)295+2=144+2=112

Par suite, F=112

 
G=(3+22322+3223+22)2=3+22322+3223+22+2(3+22322)×(3223+22)=(3+22)2+(322)298+2=19
 
H=(x+y)(x2+y2)+2xy(x+y)x2y2(x+y)3=(x+y)3x2y2(x+y)3=1x2y2

Exercice 17

a) A=9.19631770×108
 
b) A=2.7×1013
 
c) A=7.277×106
 
d) A=1.242×107
 
e) A=6.6262×1034

Exercice 18

a) B=0.004168
 
b) B=0.06429793
 
c) B=205.1738
 
d) B=0.00064872
 
e) B=52580
 
f) B=3.700025

Exercice 19 

a) C=7.2036×103
 
b) C=2.283220224
 
c) C=5.1162111×1015
 
d) C=9.460515114×1012

Exercice 20 

1) Par hypothèse, on a : ad=bc. 
 
Montrons l'égalité : 
 
ab=a+bb+d
 
En effet : 
 
a(b+d)b(a+c)=ab+adbabc=adbc=0. 
 
Donc, a(b+d)=b(a+c), d'où l'égalité des 2 rapports. 
 
On démontre de façon analogue que :
 
ab=acbd. 
 
On a aussi : 
 
a(kb+ld)b(ka+lc)=akb+aldbkablc=l(adbc) 
 
Donc 
 
ab=cdad=bca(kb+ld)b(ka+lc)=0ab=cd=ka+lckb+ld
 
2) a2d2b2c2=(adbc)(ad+bc). 
 
Par conséquent : 
 
ab=cdad=bca2d2b2c2=0a2b2=c2d2
 
La réciproque n'est vraie que si ad+bc0.
 
ab(c+d)2cd(a+b)2=abc2a2cd+abd2b2cd=(abbc)(bdac) 
 
Il en résulte que si a, b, c et d forment une proportion, alors ad=bc
 
d'où : ab(c+d)2cd(a+b)2=0
 
et par conséquent, abcd=(a+b)2(c+d)2 
 
La réciproque n'est vraie que si bdac0. 
 
3) (1) d=32;(2) d=800;(3) d=60
 
4) La moyenne proportionnelle de a et b est ab.
 
Celle de mn et pq est donc mnpq. 
 
(On peut remarquer que ce produit est positif, puisque mn=pq, mq et pn sont égaux, et par conséquent, sont de même signe). 
 
Il s'agit de montrer que : 
 
mnpq=mq+pn2mnpq=(mq+pn2)24mnpq=m2q2+p2n2+2mnpqm2q2+p2n22mnpq=0(mqpn)2=0
 
Or ceci est vrai car mq=np. 
 
La réciproque est vraie puisqu'on a procédé par équivalences.
 

Auteur: 
Mouhamadou Ka

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