Activité
Soit ABCABC un triangle, II milieu de [BC][BC] et MM un point défini par : →AM=25→AI−−→AM=25−→AI. La parallèle à (AB)(AB) passant par MM coupe (BC)(BC) en PP et la parallèle à (AC)(AC) passant par MM coupe (BC)(BC) en QQ. On veut montrer que II est le milieu de [PQ][PQ]. Soit le repère (A; →AB, →AC).(A; −−→AB, −−→AC).
1) Déterminer les coordonnées de A, B, C A, B, C et M. M.
2) Vérifier que l'ordonnée de PP est 15.15.
3) Soit xx l'abscisse de PP, donner les coordonnées de →BP−−→BP en fonction de xx. Calculer x.x.
Déterminer les coordonnées de QQ puis montrer que II est milieu de [PQ].[PQ].
Résolution
1) Soit le repère (A; →AB, →AC)(A; −−→AB, −−→AC) donc, A(00),B(10) et C(01)
→AM=25→AI=25(→AB+→BI)=25(→AB+12→BC)=25(→AB+12(→BA+→AC))=25(→AB−12→AB+12→AC)=25(12→AB+12→AC)=15→AB+15→AC
D'où, M(1515)
2) (MP) parallèle à (AB) qui est l'axe des abscisses donc M et P ont la même ordonnée. D'où : yP=15.
3) xP=x donc, P(x15) et →BP(x−115)
→BP est colinéaire à →BC, donc B, P et C sont alignés.
Soit →BC(−11) alors on a : (x−1)(1)−(15)(−1)=0⇔x−1+15=0⇔x=1−15⇔x=45
D'où : P(4515)
(MQ) parallèle à (AC) qui est l'axe des ordonnées donc Q a même abscisse que M. D'où : xQ=15.
Soit Q(15yQ) et →CQ(15yQ−1)
→CQ colinéaire à →BC⇔(15)(1)−(yQ−1)(−1)=0⇔15+yQ−1=0⇔yQ=1−15=45
D'où : Q(1545)
I est milieu de [BC] alors I(1212)
Calculons les coordonnées du milieu de [PQ]
Soit xP+xQ2=(45+15)2=12 = xIetyP+yQ2=(15+45)2=12 = yI
Donc I est aussi milieu de [PQ]
I. Définitions
Soient deux vecteurs non nuls
→u et
→v et non colinéaires,
A un point du plan. Le triplet
(A; →u, →v) est un repère du plan où
A est l'origine et
→u et
→v sont les vecteurs de base du plan.
⋅ ∀ M∈P ∃ x et y tels que →AM=x→u+y→v
x et y sont les coordonnées de M. x est l'abscisse de M; xM=x, y est l'ordonnée de M; yM=y
⋅ Si →u est orthogonal à →v (→u⊥→v) on dira que le repère (A; →u, →v) est un repère orthogonal.
⋅ Si de plus ||→u||=||→v||=1 on dira qu'on a un repère orthonormé.
⋅ (A; →u) est l'axe des abscisses, (A; →v) est l'axe des ordonnées.
II. Équations cartésiennes et paramétriques de droite
II.1 Colinéarité de vecteurs
⋅ Deux vecteurs
→u(xy) et
→v(x′y′) sont colinéaires si, et seulement si, le déterminant de
→u et
→v noté
det(→u, →v)=|xx′yy′|=xy′−x′y=0
⋅ Deux vecteurs
→u et
→v sont colinéaires si, et seulement si, il existe
k∈R tel que
→u=k.→v
→u et →v ont même direction.
II.2 Vecteurs orthogonaux
⋅ Deux vecteurs
→u et
→v sont orthogonaux si, et seulement si, ils ont des directions orthogonales. On note
→u⊥→v.
⋅ Deux vecteurs →u(xy) et →v(x′y′) sont orthogonaux si, et seulement si, xx′+yy′=0
II.3 Équation cartésienne de droite
II.3.1 Définitions
Soient
→u un vecteur non nul,
A un point du plan. L'ensemble des points
M du plan tels que
→AM colinéaire à
→u est la droite passant par
A de direction
→u noté
(D)=(A, →u).
→u est un vecteur directeur de (D) et tout vecteur →v colinéaire à →u est aussi un vecteur directeur de (D).
II.3.2 Équation cartésienne et réduite d'une droite
L'équation cartésienne d'une droite
(D) est de la forme
ax+by+c=0 avec
(a, b)≠(0, 0);
a et
b ne sont pas nuls en même temps.
⋅ Le vecteur →u(−ba) est un vecteur directeur de (D).
⋅ Le vecteur →n(ab) est appelé un vecteur normal à (D). C'est un vecteur orthogonal à la direction de (D).
⋅ Si a=0 alors, la droite (D) a pour équation y=−cb et est parallèle à l'axe des abscisses.
⋅ Si b=0 alors, la droite (D) a pour équation y=−ca et est parallèle à l'axe des ordonnées.
Exercice d'application
Soit A(25),B(3−4),C(17)
Déterminer les équations cartésiennes de :
1) (AB)
2) la droite (D) passant par C et parallèle à (AB)
3) la médiatrice de [AC]
Résolution
1) Équation cartésienne de (AB) :
Nous avons : A(3−2−4−5)=(1−9)
Soit M(xy)∈(AB);→AM(x−2y−5)
M(xy)∈(AB)⇔→AB colinéaire à →AM⇔det(→AM, →AB)=0⇔|x−21y−5−9|=(x−2)(−9)−(y−5)=0⇔−9x−y+23=0
Donc, (AB) : −9x−y+23=0
2) Soit M(xy)∈(D);→CM(x−1y−7)
(D) parallèle à (AB)⇔→AB colinéaire à →CM⇔det(→AB, →CM)=0⇔|1x−1−9y−7|=(y−7)−(−9)(x−1)=0⇔y+9x−7−9=0
D'où, (D) : y+9x−16=0
3) Soit (Δ) la médiatrice de [AC] donc →AC(−12) est un vecteur normal à (Δ).
Soit I milieu de [AC];I(326) et soit M(xy)∈(Δ);→IM(x−32y−6)
(Δ) perpendiculaire à (AC)⇔(−1)(x−32)+2(y−6)=0⇔−x+32+2y−12=0⇔−x+2y−212=0
Donc, Δ : −x+2y−212=0
Remarques
L'équation réduite d'une droite (D) est de la forme y=αx+β où α est le coefficient directeur de la droite (D). Donc si (D):y=αx+β⟹αx−y+β=0 et →u(1α) est un vecteur directeur de (D).
Soit (D):ax+by+c=0, si b≠0⇒y=−abx−cb et −ab est le coefficient directeur de la droite (D).
II.3.3 Conditions de parallélisme et d'orthogonalité de droites
⋅ Deux droites (D):ax+by+c=0 de vecteur directeur →u(−ba) et (D′):a′x+b′y+c′=0 de vecteur directeur →u′(−b′a′) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs directeurs →u et →u′ sont colinéaires (det(→u, →u′)=0)
⋅ (D) et (D′) sont orthogonales si, et seulement si, les vecteurs directeurs →u et →u′ sont orthogonaux (x→ux′→u′+y→uy′→u′=0)
⋅ Deux droites (D):y=αx+β et (D′):y=α′x+β′ sont parallèles si, et seulement si, α=α′
⋅ (D) et (D′) sont perpendiculaires si, et seulement si, α.α′=−1
Exercice d'application
Soit (D1) : 2x−3y+5=0 et A(34),B(23) deux points du plan.
1) A et B appartiennent-ils à (D1) ?
2) Déterminer l'équation de la droite (D2) passant par A et parallèle à (D1).
3) Soit (D3) : y=3x−1
(D3) et (D1) sont-elles parallèles ? perpendiculaires ?
Résolution
1) M(xy)∈(D1) si, et seulement si, ses coordonnées vérifient l'équation de (D1)
A(34) :2×3−3×4+5=6−12+5=−1 ≠0
Donc, A∉(D1)
B(23) :2×2−3×3+5=4−9+5=0
Donc, B∈(D1)
2) Soit M(xy)∈(D2);→AM(x−3y−4) et soit →u(32) vecteur directeur de (D1) alors
(D2) parallèle à (D1)⇔→AM colinéaire à →u⇔det(→AM, →u)=0⇔|x−33y−42|=(x−3)(2)−(3)(y−4)=0⇔2x−3y+6=0
D'où, (D2) : 2x−3y+6=0
3) (D1) : 2x−3y+5=0 donc y=23x+53 est une équation réduite pour (D1).
Soient u1(123) et u3(13) vecteurs directeurs respectifs de (D1) et (D3).
3≠23, donc, (D1) et (D3) ne sont pas parallèles.
3×23=1≠−1, alors, (D1) et (D3) ne sont pas perpendiculaires.
II.3.4 Équations paramétriques
Soient →u(αβ) et M0(x0y0), (D) est une droite passant par M0 de vecteur directeur →u; (D)=(M0, →u).
M(xy)∈(D) si, et seulement si,
→M0M est colinéaire à
→u.
Donc, ∃ k∈R tel que →M0M=k.→u.
Ainsi, {x−x0=kαy−y0=kβ⟹{x=x0+kαy=y0+kβ qui est un système d'équations paramétriques de (D)
Mk(x0+αky0+βk) est le point de paramètre k.
Exercice d'application
Soit A(12),B(34) deux points du plan et (D1) : 2x−3y+5=0.
1) Déterminer un système d'équations paramétriques des droites (AB) et (D1).
2) Soit (D2) : {x=2−ty=3+4t
a) A(12) et D(011) appartiennent-ils à (D2) ?
b) Déterminer l'équation cartésienne de (D2)
3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de (D1) et (D2)
Résolution
Soit M(xy)∈(AB) alors →AB et →AM sont colinéaires.
→AB colinéaire à →AM⇔→AM=t→AB,t∈R⇔{x−1=2ty−2=2t⇔{x=2t+1y=2t+2équation paramétrique de (AB)
Soit →u(32) vecteur directeur de (D1) et A(−11) un point de (D1)
M(xy)∈(D1) alors →AM et →u sont colinéaires.
→AM colinéaire à →u⇔→AM=t→u,t∈R⇔{x+1=3ty−1=2t⇔{x=3t−1y=2t+1équation paramétrique de (D1)
2) a) {1=2−t2=3+4t ⇔ {t=1t=−14impossible
D'où, A∉(D2)
{0=2−t11=3+4t ⇔ {t=2t=2donc D∈(D2)
b) {x=2−ty=3+4t ⇔ {t=2−xy=3+4(2−x) = −4x+11
D'où, y+4x−11=0 est une équation cartésienne de (D2)
3) Dans (D1), remplaçons x et y par leur valeur dans (D2)
2(2−t)−3(3+4t)+5=0⇔−14t=0⇔t=0
Donc, {x=2y=3 ; d'où (D1)∩(D2)=I(23)
II.3.5 Équations de cercle
Soit
C le cercle de centre
I(αβ) et de rayon
R noté
C(I, R).
M(xy)∈C(I, R)⇒IM=R.
Donc,
IM2=R2⟹(xM−xI)2+(yM−yI)2=R2.
D'où : (xM−α)2+(yM−β)2=R2 qui est l'équation réduite du cercle C(I(αβ),R).
x2+y2−2αx−2βy+α2+β2−R2=0 est l'équation cartésienne du cercle (C).
Exemple
Les équations suivantes sont-elles des équations de cercle. Si oui, donner le centre et le rayon.
a) x2+y2−6x+8y−5=0
b) x2+y2+2x+4y−1=0
c) x2+y2+3x+4y+20=0
Résolution
a) x2+y2−6x+8y−5=0⇔(x−3)2−9+(y+4)2−16−5=0⇔(x−3)2+(y+4)2=30
Donc, cette équation définie bien un cercle C(I(3−4); √30)
b) x2+y2+2x+4y−1=0⇔(x+1)2−1+(y+2)2−4−1=0⇔(x+1)2+(y+2)2=6
On obtient bien un cercle C(I(−1−2); √6)
c) x2+y2+3x+4y+20=0⇔(x+32)2−94+(y+2)2−4+20=0⇔(x+32)2+(y+2)2=−554
−554<0 donc cette équation ne définie pas un cercle.
III. Formule de changement de repère
Soient
(O; →i, →j) un repère du plan,
S un point de coordonnées
(a, b) , dans
(O; →i, →j).
Considérons un nouveau repère (S; →i, →j).
Donc, M(xy) dans (O; →i, →j) et M(XY) dans (S; →i, →j)
Nous obtenons {x=X+ay=Y+b qui constitue la formule de changement de repère.
Exemple
Soit (O; →i, →j) un repère du plan, A(21), B(34) et Ω(3; 2) dans (O; →i, →j).
Trouver les coordonnées de A et B dans (Ω; →i, →j).
Résolution
D'après la formule de changement de repère on a : {x=X+3y=Y+2 ⇒ {X=x−3Y=y−2
Les coordonnées de A dans (Ω; →i, →j) sont donc données par : A(X=2−3Y=1−2)=(−1−1)
→OB=→OΩ+→ΩB⇒→ΩB=→OB−→OΩ⇒→ΩB=3→i+4→j−3→i−2→j⇒→ΩB=2→j
D'où : B(02) dans (Ω; →i, →j).
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
dim, 01/27/2019 - 16:55
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des bien conçu et c'est
Anonyme (non vérifié)
dim, 07/04/2021 - 02:10
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Très bien
Anonyme (non vérifié)
dim, 07/04/2021 - 02:58
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De très bonnes éxo
Ndeye Fatou Ndiaye (non vérifié)
lun, 10/18/2021 - 14:19
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merci beaucoup
Lelouch Lamperouge (non vérifié)
lun, 02/21/2022 - 20:17
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Super cours à mon avis. Sinon
Anonyme (non vérifié)
mer, 06/12/2024 - 09:01
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Merci
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