Repère cartésien - 2nd

Classe: 
Seconde

Activité 

Soit ABC un triangle, I milieu de [BC] et M un point défini par : →AM=25→AI. La parallèle à (AB) passant par M coupe (BC) en P et la parallèle à (AC) passant par M coupe (BC) en Q. On veut montrer que I est le milieu de [PQ]. Soit le repère (A; →AB, →AC).
 
1) Déterminer les coordonnées de A, B, C  et  M.
 
2) Vérifier que l'ordonnée de P est 15.
 
3) Soit x l'abscisse de P, donner les coordonnées de →BP en fonction de x. Calculer x.
 
Déterminer les coordonnées de Q puis montrer que I est milieu de [PQ].

Résolution 


 

 
1) Soit le repère (A; →AB, →AC) donc, $A(00)\;,\quad B(10)etC(01)$
 
$→AM=25→AI=25(→AB+→BI)=25(→AB+12→BC)=25(→AB+12(→BA+→AC))=25(→AB−12→AB+12→AC)=25(12→AB+12→AC)=15→AB+15→AC$
 
D'où, $M(1515)$
 
2) (MP) parallèle à (AB) qui est l'axe des abscisses donc M et P ont la même ordonnée. D'où : yP=15.
 
3) xP=x donc, $P(x15)et\overrightarrow{BP}(x−115)$
 
→BP est colinéaire à →BC, donc B, P et C sont alignés.
 
Soit $\overrightarrow{BC}(−11)$ alors on a : (x−1)(1)−(15)(−1)=0⇔x−1+15=0⇔x=1−15⇔x=45
D'où  : $P(4515)$
 
(MQ) parallèle à (AC) qui est l'axe des ordonnées donc Q a même abscisse que M. D'où : xQ=15.
 
Soit $Q(15yQ)et\overrightarrow{CQ}(15yQ−1)$
 
→CQ colinéaire à →BC⇔(15)(1)−(yQ−1)(−1)=0⇔15+yQ−1=0⇔yQ=1−15=45

D'où  : $Q(1545)$
 
I est milieu de [BC] alors $I(1212)$
 
Calculons les coordonnées du milieu de [PQ]
 
Soit xP+xQ2=(45+15)2=12 = xIetyP+yQ2=(15+45)2=12 = yI
 
Donc I est aussi milieu de [PQ]

I. Définitions

Soient deux vecteurs non nuls →u et →v et non colinéaires, A un point du plan. Le triplet (A; →u, →v) est un repère du plan où A est l'origine et →u et →v sont les vecteurs de base du plan.

⋅ ∀ M∈P ∃ x et y tels que →AM=x→u+y→v

x et y sont les coordonnées de M.  x est l'abscisse de M;  xM=x,  y est l'ordonnée de M; yM=y

⋅   Si →u est orthogonal à →v  (→u⊥→v) on dira que le repère (A; →u, →v) est un repère orthogonal.

⋅   Si de plus ||→u||=||→v||=1 on dira qu'on a un repère orthonormé.

⋅  (A; →u) est l'axe des abscisses, (A; →v) est l'axe des ordonnées.

II. Équations cartésiennes et paramétriques de droite

II.1 Colinéarité de vecteurs

⋅   Deux vecteurs $\vec{u}(xy)et\vec{v}(x′y′)sontcolinéairessi,etseulementsi,ledéterminantde\vec{u}et\vec{v}$ noté det(→u, →v)=|xx′yy′|=xy′−x′y=0
⋅   Deux vecteurs →u et →v sont colinéaires si, et seulement si, il existe k∈R tel que →u=k.→v

→u et →v ont même direction.

II.2 Vecteurs orthogonaux

⋅   Deux vecteurs →u et →v sont orthogonaux si, et seulement si, ils ont des directions orthogonales. On note →u⊥→v.

⋅   Deux vecteurs $\vec{u}(xy)et\vec{v}(x′y′)$ sont orthogonaux si, et seulement si, xx′+yy′=0

II.3 Équation cartésienne de droite

II.3.1 Définitions

Soient →u un vecteur non nul, A un point du plan. L'ensemble des points M du plan tels que →AM colinéaire à →u est la droite passant par A de direction →u noté (D)=(A, →u).

→u est un vecteur directeur de (D) et tout vecteur →v colinéaire à →u est aussi un vecteur directeur de (D).

II.3.2 Équation cartésienne et réduite d'une droite

L'équation cartésienne d'une droite (D) est de la forme ax+by+c=0 avec (a, b)≠(0, 0);  a et b ne sont pas nuls en même temps.

⋅   Le vecteur $\vec{u}(−ba)estunvecteurdirecteurde(D)$.

⋅   Le vecteur $\vec{n}(ab)estappeléunvecteurnormalà(D).C′estunvecteurorthogonalàladirectionde(D)$.

⋅   Si a=0 alors, la droite (D) a pour équation y=−cb et est parallèle à l'axe des abscisses.

⋅   Si b=0 alors, la droite (D) a pour équation y=−ca et est parallèle à l'axe des ordonnées.


 

 

Exercice d'application

Soit $A(25)\;,\quad B(3−4)\;,\quad C(17)$
 
Déterminer les équations cartésiennes de :
 
1) (AB)
 
2) la droite (D) passant par C et parallèle à (AB)
 
3) la médiatrice de [AC]

Résolution 

1) Équation cartésienne de (AB) :
 
Nous avons : $A(3−2−4−5)=(1−9)$
 
Soit $M(xy)\in(AB)\;;\quad \overrightarrow{AM}(x−2y−5)$
M(xy)∈(AB)⇔→AB  colinéaire à  →AM⇔det(→AM, →AB)=0⇔|x−21y−5−9|=(x−2)(−9)−(y−5)=0⇔−9x−y+23=0
Donc, (AB) : −9x−y+23=0
 
2) Soit $M(xy)\in(D)\;;\quad \overrightarrow{CM}(x−1y−7)$
(D)  parallèle à  (AB)⇔→AB  colinéaire à  →CM⇔det(→AB, →CM)=0⇔|1x−1−9y−7|=(y−7)−(−9)(x−1)=0⇔y+9x−7−9=0 
D'où, (D) : y+9x−16=0
 
3) Soit (Δ) la médiatrice de [AC] donc $\overrightarrow{AC}(−12)estunvecteurnormalà(\Delta).$
 
Soit I milieu de $[AC]\;;\quad I(326)etsoitM(xy)\in(\Delta)\;;\quad \overrightarrow{IM}(x−32y−6)$
(Δ)  perpendiculaire à  (AC)⇔(−1)(x−32)+2(y−6)=0⇔−x+32+2y−12=0⇔−x+2y−212=0
Donc, Δ : −x+2y−212=0

Remarques

L'équation réduite d'une droite (D) est de la forme y=αx+β où α est le coefficient directeur de la droite (D). Donc si (D):y=αx+β⟹αx−y+β=0 et $\vec{u}(1α)estunvecteurdirecteurde(D).$
 
Soit (D):ax+by+c=0, si b≠0⇒y=−abx−cb et −ab est le coefficient directeur de la droite (D).

II.3.3 Conditions de parallélisme et d'orthogonalité de droites

⋅   Deux droites (D):ax+by+c=0 de vecteur directeur $\vec{u}(−ba)et(D') \: : a'x+b'y+c'=0devecteurdirecteur\vec{u}'(−b′a′)sontparallèlessi,etseulementsi,lesvecteursdirecteurs\vec{u}et\vec{u}'sontcolinéaires(det(\vec{u},\ \vec{u}')=0$)
 
⋅  (D) et (D′) sont orthogonales si, et seulement si, les vecteurs directeurs →u et →u′ sont orthogonaux (x→ux′→u′+y→uy′→u′=0)
 
⋅ Deux droites (D):y=αx+β et (D′):y=α′x+β′ sont parallèles si, et seulement si, α=α′
 
⋅  (D) et (D′) sont perpendiculaires si, et seulement si, α.α′=−1

Exercice d'application 

Soit (D1) : 2x−3y+5=0 et $A(34)\;,\quad B(23)$ deux points du plan.
 
1) A et B appartiennent-ils à (D1) ?
 
2) Déterminer l'équation de la droite (D2) passant par A et parallèle à (D1).
 
3) Soit (D3) : y=3x−1 
 
(D3) et (D1) sont-elles parallèles ? perpendiculaires ?

Résolution

1) $M(xy)\in(D_{1})si,etseulementsi,sescoordonnéesvérifientl′équationde(D_{1})$
A(34) :2×3−3×4+5=6−12+5=−1 ≠0
Donc, A∉(D1)
B(23) :2×2−3×3+5=4−9+5=0
Donc, B∈(D1)
 
2) Soit $M(xy)\in(D_{2})\;;\quad \overrightarrow{AM}(x−3y−4)etsoit\vec{u}(32)vecteurdirecteurde(D_{1})$ alors 
(D2)  parallèle à  (D1)⇔→AM  colinéaire à  →u⇔det(→AM, →u)=0⇔|x−33y−42|=(x−3)(2)−(3)(y−4)=0⇔2x−3y+6=0 
D'où, (D2) : 2x−3y+6=0
 
3) (D1) : 2x−3y+5=0 donc y=23x+53 est une équation réduite pour (D1).
 
Soient $u_{1}(123)etu_{3}(13)vecteursdirecteursrespectifsde(D_{1})et(D_{3}).$
 
3≠23,  donc, (D1) et (D3) ne sont pas parallèles.
 
3×23=1≠−1,  alors, (D1) et (D3) ne sont pas perpendiculaires.

II.3.4 Équations paramétriques

Soient $\vec{u}(αβ)etM_{0}(x0y0),\ (D)estunedroitepassantparM_{0}devecteurdirecteur\vec{u}\;;\ (D)=(M_{0},\ \vec{u}).$

 

 
$M(xy)\in(D)si,etseulementsi,\overrightarrow{M_{0}M}estcolinéaireà\vec{u}.$

Donc, ∃ k∈R tel que →M0M=k.→u.

Ainsi, $\left\lbracex−x0=kαy−y0=kβ
\right. \Longrightarrow  \left\lbracex=x0+kαy=y0+kβ
\right.quiestunsystèmed′équationsparamétriquesde(D)$

$M_{k}(x0+αky0+βk)estlepointdeparamètrek$.

Exercice d'application 

Soit $A(12)\;,\quad B(34)deuxpointsduplanet(D_{1})\ :\ 2x-3y+5=0.$
 
1) Déterminer un système d'équations paramétriques des droites (AB) et (D1).
 
2) Soit $(D_{2})\ :\ \left\lbracex=2−ty=3+4t\right.$
 
a) $A(12)etD(011)appartiennent−ilsà(D_{2})\;\ ?$
 
b) Déterminer l'équation cartésienne de (D2)
 
3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de (D1) et (D2)

Résolution 

Soit $M(xy)\in(AB)alors\overrightarrow{AB}et\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.
→AB  colinéaire à  →AM⇔→AM=t→AB,t∈R⇔{x−1=2ty−2=2t⇔{x=2t+1y=2t+2équation paramétrique de (AB)
Soit $\vec{u}(32)vecteurdirecteurde(D_{1})etA(−11)unpointde(D_{1})$
 
$M(xy)\in(D_{1})alors\overrightarrow{AM}et\vec{u}$ sont colinéaires.
→AM  colinéaire à  →u⇔→AM=t→u,t∈R⇔{x+1=3ty−1=2t⇔{x=3t−1y=2t+1équation paramétrique de (D1)
2) a) $\left\lbrace1=2−t2=3+4t\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbracet=1t=−14\right.\quad\text{impossible}$ 
 
D'où, A∉(D2)
 
$\left\lbrace0=2−t11=3+4t\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbracet=2t=2\right.\quad\text{donc }D\in(D_{2})$
 
b) $\left\lbracex=2−ty=3+4t\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbracet=2−xy=3+4(2−x) = −4x+11\right.$
 
D'où, y+4x−11=0 est une équation cartésienne de (D2)
 
3) Dans (D1), remplaçons x et y par leur valeur dans (D2)
2(2−t)−3(3+4t)+5=0⇔−14t=0⇔t=0
Donc, $\left\lbracex=2y=3\right.;d′où(D_{1})\cap(D_{2})=I(23)$

II.3.5 Équations de cercle

Soit C le cercle de centre $I(αβ)etderayonRnoté\mathcal{C}(I,\ R).$

$M(xy)\in\mathcal{C}(I,\ R) \: \Rightarrow IM=R.$


 
 
Donc, IM2=R2⟹(xM−xI)2+(yM−yI)2=R2.

D'où :  (xM−α)2+(yM−β)2=R2 qui est l'équation réduite du cercle $\mathcal{C}\left(I(αβ), R\right).$

x2+y2−2αx−2βy+α2+β2−R2=0 est l'équation cartésienne du cercle (C).

Exemple 

Les équations suivantes sont-elles des équations de cercle. Si oui, donner le centre et le rayon.
 
a) x2+y2−6x+8y−5=0
 
b) x2+y2+2x+4y−1=0
 
c) x2+y2+3x+4y+20=0

Résolution 

a) x2+y2−6x+8y−5=0⇔(x−3)2−9+(y+4)2−16−5=0⇔(x−3)2+(y+4)2=30
Donc, cette équation définie bien un cercle $\mathcal{C}\left(I(3−4)\;;\ \sqrt{30}\right)$
 
b) x2+y2+2x+4y−1=0⇔(x+1)2−1+(y+2)2−4−1=0⇔(x+1)2+(y+2)2=6
On obtient bien un cercle $\mathcal{C}\left(I(−1−2)\;;\ \sqrt{6}\right)$
 
c) x2+y2+3x+4y+20=0⇔(x+32)2−94+(y+2)2−4+20=0⇔(x+32)2+(y+2)2=−554
−554<0 donc cette équation ne définie pas un cercle.

III. Formule de changement de repère

Soient (O; →i, →j) un repère du plan, S un point de coordonnées (a, b) , dans (O; →i, →j).

Considérons un nouveau repère (S; →i, →j).

Donc, $M(xy)dans(O;\  \vec{i},\  \vec{j})etM(XY)dans(S;\  \vec{i},\  \vec{j})$

 

 
Nous obtenons $\left\lbracex=X+ay=Y+b
\right.$ qui constitue la formule de changement de repère.

Exemple 

Soit (O; →i, →j) un repère du plan, $A(21)\;,\ B(34)et\Omega(3\;;\ 2)dans(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Trouver les coordonnées de A et B dans (Ω; →i, →j). 

Résolution

D'après la formule de changement de repère on a : {x=X+3y=Y+2 ⇒ {X=x−3Y=y−2
Les coordonnées de A dans (Ω; →i, →j) sont donc données par : A(X=2−3Y=1−2)=(−1−1)
→OB=→OΩ+→ΩB⇒→ΩB=→OB−→OΩ⇒→ΩB=3→i+4→j−3→i−2→j⇒→ΩB=2→j
D'où : $B(02)dans(\Omega\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ 

Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

dim, 01/27/2019 - 16:55

des bien conçu et c'est résumé

Anonyme (non vérifié)

dim, 07/04/2021 - 02:10

Très bien

Anonyme (non vérifié)

dim, 07/04/2021 - 02:58

De très bonnes éxo

Ndeye Fatou Ndiaye (non vérifié)

lun, 10/18/2021 - 14:19

merci beaucoup

Lelouch Lamperouge (non vérifié)

lun, 02/21/2022 - 20:17

Super cours à mon avis. Sinon il y'a une erreur de signe au niveau de l'équation réduite de D1:y=2/3x+5/3.

Anonyme (non vérifié)

mer, 06/12/2024 - 09:01

Merci

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