Repère cartésien - 2nd

Classe: 
Seconde

Activité 

Soit ABC un triangle, I milieu de [BC] et M un point défini par : AM=25AI. La parallèle à (AB) passant par M coupe (BC) en P et la parallèle à (AC) passant par M coupe (BC) en Q. On veut montrer que I est le milieu de [PQ]. Soit le repère (A; AB, AC).
 
1) Déterminer les coordonnées de A, B, C  et  M.
 
2) Vérifier que l'ordonnée de P est 15.
 
3) Soit x l'abscisse de P, donner les coordonnées de BP en fonction de x. Calculer x.
 
Déterminer les coordonnées de Q puis montrer que I est milieu de [PQ].

Résolution 


 

 
1) Soit le repère (A; AB, AC) donc, A(00),B(10) et C(01)
 
AM=25AI=25(AB+BI)=25(AB+12BC)=25(AB+12(BA+AC))=25(AB12AB+12AC)=25(12AB+12AC)=15AB+15AC
 
D'où, M(1515)
 
2) (MP) parallèle à (AB) qui est l'axe des abscisses donc M et P ont la même ordonnée. D'où : yP=15.
 
3) xP=x donc, P(x15) et BP(x115)
 
BP est colinéaire à BC, donc B, P et C sont alignés.
 
Soit BC(11) alors on a : (x1)(1)(15)(1)=0x1+15=0x=115x=45
D'où  : P(4515)
 
(MQ) parallèle à (AC) qui est l'axe des ordonnées donc Q a même abscisse que M. D'où : xQ=15.
 
Soit Q(15yQ) et CQ(15yQ1)
 
CQ colinéaire à BC(15)(1)(yQ1)(1)=015+yQ1=0yQ=115=45

D'où  : Q(1545)
 
I est milieu de [BC] alors I(1212)
 
Calculons les coordonnées du milieu de [PQ]
 
Soit xP+xQ2=(45+15)2=12 = xIetyP+yQ2=(15+45)2=12 = yI
 
Donc I est aussi milieu de [PQ]

I. Définitions

Soient deux vecteurs non nuls u et v et non colinéaires, A un point du plan. Le triplet (A; u, v) est un repère du plan où A est l'origine et u et v sont les vecteurs de base du plan.

MP x et y tels que AM=xu+yv

x et y sont les coordonnées de M.  x est l'abscisse de M;  xM=x,  y est l'ordonnée de M; yM=y

   Si u est orthogonal à v  (uv) on dira que le repère (A; u, v) est un repère orthogonal.

   Si de plus ||u||=||v||=1 on dira qu'on a un repère orthonormé.

  (A; u) est l'axe des abscisses, (A; v) est l'axe des ordonnées.

II. Équations cartésiennes et paramétriques de droite

II.1 Colinéarité de vecteurs

   Deux vecteurs u(xy) et v(xy) sont colinéaires si, et seulement si, le déterminant de u et v noté det(u, v)=|xxyy|=xyxy=0
   Deux vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si, il existe kR tel que u=k.v

u et v ont même direction.

II.2 Vecteurs orthogonaux

   Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, ils ont des directions orthogonales. On note uv.

   Deux vecteurs u(xy) et v(xy) sont orthogonaux si, et seulement si, xx+yy=0

II.3 Équation cartésienne de droite

II.3.1 Définitions

Soient u un vecteur non nul, A un point du plan. L'ensemble des points M du plan tels que AM colinéaire à u est la droite passant par A de direction u noté (D)=(A, u).

u est un vecteur directeur de (D) et tout vecteur v colinéaire à u est aussi un vecteur directeur de (D).

II.3.2 Équation cartésienne et réduite d'une droite

L'équation cartésienne d'une droite (D) est de la forme ax+by+c=0 avec (a, b)(0, 0);  a et b ne sont pas nuls en même temps.

   Le vecteur u(ba) est un vecteur directeur de (D).

   Le vecteur n(ab) est appelé un vecteur normal à (D). C'est un vecteur orthogonal à la direction de (D).

   Si a=0 alors, la droite (D) a pour équation y=cb et est parallèle à l'axe des abscisses.

   Si b=0 alors, la droite (D) a pour équation y=ca et est parallèle à l'axe des ordonnées.


 

 

Exercice d'application

Soit A(25),B(34),C(17)
 
Déterminer les équations cartésiennes de :
 
1) (AB)
 
2) la droite (D) passant par C et parallèle à (AB)
 
3) la médiatrice de [AC]

Résolution 

1) Équation cartésienne de (AB) :
 
Nous avons : A(3245)=(19)
 
Soit M(xy)(AB);AM(x2y5)
M(xy)(AB)AB  colinéaire à  AMdet(AM, AB)=0|x21y59|=(x2)(9)(y5)=09xy+23=0
Donc, (AB) : 9xy+23=0
 
2) Soit M(xy)(D);CM(x1y7)
(D)  parallèle à  (AB)AB  colinéaire à  CMdet(AB, CM)=0|1x19y7|=(y7)(9)(x1)=0y+9x79=0 
D'où, (D) : y+9x16=0
 
3) Soit (Δ) la médiatrice de [AC] donc AC(12) est un vecteur normal à (Δ).
 
Soit I milieu de [AC];I(326) et soit M(xy)(Δ);IM(x32y6)
(Δ)  perpendiculaire à  (AC)(1)(x32)+2(y6)=0x+32+2y12=0x+2y212=0
Donc, Δ : x+2y212=0

Remarques

L'équation réduite d'une droite (D) est de la forme y=αx+βα est le coefficient directeur de la droite (D). Donc si (D):y=αx+βαxy+β=0 et u(1α) est un vecteur directeur de (D).
 
Soit (D):ax+by+c=0, si b0y=abxcb et ab est le coefficient directeur de la droite (D).

II.3.3 Conditions de parallélisme et d'orthogonalité de droites

   Deux droites (D):ax+by+c=0 de vecteur directeur u(ba) et (D):ax+by+c=0 de vecteur directeur u(ba) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs directeurs u et u sont colinéaires (det(u, u)=0)
 
  (D) et (D) sont orthogonales si, et seulement si, les vecteurs directeurs u et u sont orthogonaux (xuxu+yuyu=0)
 
Deux droites (D):y=αx+β et (D):y=αx+β sont parallèles si, et seulement si, α=α
 
  (D) et (D) sont perpendiculaires si, et seulement si, α.α=1

Exercice d'application 

Soit (D1) : 2x3y+5=0 et A(34),B(23) deux points du plan.
 
1) A et B appartiennent-ils à (D1) ?
 
2) Déterminer l'équation de la droite (D2) passant par A et parallèle à (D1).
 
3) Soit (D3) : y=3x1 
 
(D3) et (D1) sont-elles parallèles ? perpendiculaires ?

Résolution

1) M(xy)(D1) si, et seulement si, ses coordonnées vérifient l'équation de (D1)
A(34) :2×33×4+5=612+5=1 0
Donc, A(D1)
B(23) :2×23×3+5=49+5=0
Donc, B(D1)
 
2) Soit M(xy)(D2);AM(x3y4) et soit u(32) vecteur directeur de (D1) alors 
(D2)  parallèle à  (D1)AM  colinéaire à  udet(AM, u)=0|x33y42|=(x3)(2)(3)(y4)=02x3y+6=0 
D'où, (D2) : 2x3y+6=0
 
3) (D1) : 2x3y+5=0 donc y=23x+53 est une équation réduite pour (D1).
 
Soient u1(123) et u3(13) vecteurs directeurs respectifs de (D1) et (D3).
 
323,  donc, (D1) et (D3) ne sont pas parallèles.
 
3×23=11,  alors, (D1) et (D3) ne sont pas perpendiculaires.

II.3.4 Équations paramétriques

Soient u(αβ) et M0(x0y0),  (D) est une droite passant par M0 de vecteur directeur u;  (D)=(M0, u).

 

 
M(xy)(D) si, et seulement si, M0M est colinéaire à u.

Donc, kR tel que M0M=k.u.

Ainsi, {xx0=kαyy0=kβ{x=x0+kαy=y0+kβ qui est un système d'équations paramétriques de (D)

Mk(x0+αky0+βk) est le point de paramètre k.

Exercice d'application 

Soit A(12),B(34) deux points du plan et (D1) : 2x3y+5=0.
 
1) Déterminer un système d'équations paramétriques des droites (AB) et (D1).
 
2) Soit (D2) : {x=2ty=3+4t
 
a) A(12) et D(011) appartiennent-ils à (D2) ?
 
b) Déterminer l'équation cartésienne de (D2)
 
3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de (D1) et (D2)

Résolution 

Soit M(xy)(AB) alors AB et AM sont colinéaires.
AB  colinéaire à  AMAM=tAB,tR{x1=2ty2=2t{x=2t+1y=2t+2équation paramétrique de (AB)
Soit u(32) vecteur directeur de (D1) et A(11) un point de (D1)
 
M(xy)(D1) alors AM et u sont colinéaires.
AM  colinéaire à  uAM=tu,tR{x+1=3ty1=2t{x=3t1y=2t+1équation paramétrique de (D1)
2) a) {1=2t2=3+4t  {t=1t=14impossible 
 
D'où, A(D2)
 
{0=2t11=3+4t  {t=2t=2donc D(D2)
 
b) {x=2ty=3+4t  {t=2xy=3+4(2x) = 4x+11
 
D'où, y+4x11=0 est une équation cartésienne de (D2)
 
3) Dans (D1), remplaçons x et y par leur valeur dans (D2)
2(2t)3(3+4t)+5=014t=0t=0
Donc, {x=2y=3 ; d'où (D1)(D2)=I(23)

II.3.5 Équations de cercle

Soit C le cercle de centre I(αβ) et de rayon R noté C(I, R).

M(xy)C(I, R)IM=R.


 
 
Donc, IM2=R2(xMxI)2+(yMyI)2=R2.

D'où :  (xMα)2+(yMβ)2=R2 qui est l'équation réduite du cercle C(I(αβ),R).

x2+y22αx2βy+α2+β2R2=0 est l'équation cartésienne du cercle (C).

Exemple 

Les équations suivantes sont-elles des équations de cercle. Si oui, donner le centre et le rayon.
 
a) x2+y26x+8y5=0
 
b) x2+y2+2x+4y1=0
 
c) x2+y2+3x+4y+20=0

Résolution 

a) x2+y26x+8y5=0(x3)29+(y+4)2165=0(x3)2+(y+4)2=30
Donc, cette équation définie bien un cercle C(I(34); 30)
 
b) x2+y2+2x+4y1=0(x+1)21+(y+2)241=0(x+1)2+(y+2)2=6
On obtient bien un cercle C(I(12); 6)
 
c) x2+y2+3x+4y+20=0(x+32)294+(y+2)24+20=0(x+32)2+(y+2)2=554
554<0 donc cette équation ne définie pas un cercle.

III. Formule de changement de repère

Soient (O; i, j) un repère du plan, S un point de coordonnées (a, b) , dans (O; i, j).

Considérons un nouveau repère (S; i, j).

Donc, M(xy) dans (O; i, j) et M(XY) dans (S; i, j)

 

 
Nous obtenons {x=X+ay=Y+b qui constitue la formule de changement de repère.

Exemple 

Soit (O; i, j) un repère du plan, A(21), B(34) et Ω(3; 2) dans (O; i, j).
 
Trouver les coordonnées de A et B dans (Ω; i, j). 

Résolution

D'après la formule de changement de repère on a : {x=X+3y=Y+2  {X=x3Y=y2
Les coordonnées de A dans (Ω; i, j) sont donc données par : A(X=23Y=12)=(11)
OB=OΩ+ΩBΩB=OBOΩΩB=3i+4j3i2jΩB=2j
D'où : B(02) dans (Ω; i, j). 

Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

des bien conçu et c'est résumé

Très bien

De très bonnes éxo

merci beaucoup

Super cours à mon avis. Sinon il y'a une erreur de signe au niveau de l'équation réduite de D1:y=2/3x+5/3.

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