Activité
Soit ABCABC un triangle, II milieu de [BC][BC] et MM un point défini par : →AM=25→AI−−→AM=25−→AI. La parallèle à (AB)(AB) passant par MM coupe (BC)(BC) en PP et la parallèle à (AC)(AC) passant par MM coupe (BC)(BC) en QQ. On veut montrer que II est le milieu de [PQ][PQ]. Soit le repère (A; →AB, →AC).(A; −−→AB, −−→AC).
1) Déterminer les coordonnées de A, B, C A, B, C et M. M.
2) Vérifier que l'ordonnée de PP est 15.15.
3) Soit xx l'abscisse de PP, donner les coordonnées de →BP−−→BP en fonction de xx. Calculer x.x.
Déterminer les coordonnées de QQ puis montrer que II est milieu de [PQ].[PQ].
Résolution
1) Soit le repère (A; →AB, →AC)(A; −−→AB, −−→AC) donc, $A\;,\quad BetC$
$$
D'où, $M$
2) (MP) parallèle à (AB) qui est l'axe des abscisses donc M et P ont la même ordonnée. D'où : yP=15.
3) xP=x donc, $Pet\overrightarrow{BP}$
→BP est colinéaire à →BC, donc B, P et C sont alignés.
Soit $\overrightarrow{BC}$ alors on a :
D'où : $P$
(MQ) parallèle à (AC) qui est l'axe des ordonnées donc Q a même abscisse que M. D'où : xQ=15.
Soit $Qet\overrightarrow{CQ}$
D'où : $Q$
I est milieu de [BC] alors $I$
Calculons les coordonnées du milieu de [PQ]
Soit
Donc I est aussi milieu de [PQ]
I. Définitions
Soient deux vecteurs non nuls
→u et
→v et non colinéaires,
A un point du plan. Le triplet
(A; →u, →v) est un repère du plan où
A est l'origine et
→u et
→v sont les vecteurs de base du plan.
⋅ ∀ M∈P ∃ x et y tels que →AM=x→u+y→v
x et y sont les coordonnées de M. x est l'abscisse de M; xM=x, y est l'ordonnée de M; yM=y
⋅ Si →u est orthogonal à →v (→u⊥→v) on dira que le repère (A; →u, →v) est un repère orthogonal.
⋅ Si de plus ||→u||=||→v||=1 on dira qu'on a un repère orthonormé.
⋅ (A; →u) est l'axe des abscisses, (A; →v) est l'axe des ordonnées.
II. Équations cartésiennes et paramétriques de droite
II.1 Colinéarité de vecteurs
⋅ Deux vecteurs $\vec{u}
et\vec{v}
sontcolinéairessi,etseulementsi,ledéterminantde\vec{u}
et\vec{v}$ noté
⋅ Deux vecteurs
→u et
→v sont colinéaires si, et seulement si, il existe
k∈R tel que
→u=k.→v
→u et →v ont même direction.
II.2 Vecteurs orthogonaux
⋅ Deux vecteurs
→u et
→v sont orthogonaux si, et seulement si, ils ont des directions orthogonales. On note
→u⊥→v.
⋅ Deux vecteurs $\vec{u}et\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si,
II.3 Équation cartésienne de droite
II.3.1 Définitions
Soient
→u un vecteur non nul,
A un point du plan. L'ensemble des points
M du plan tels que
→AM colinéaire à
→u est la droite passant par
A de direction
→u noté
(D)=(A, →u).
→u est un vecteur directeur de (D) et tout vecteur →v colinéaire à →u est aussi un vecteur directeur de (D).
II.3.2 Équation cartésienne et réduite d'une droite
L'équation cartésienne d'une droite
(D) est de la forme avec
(a, b)≠(0, 0);
a et
b ne sont pas nuls en même temps.
⋅ Le vecteur $\vec{u}estunvecteurdirecteurde(D)$.
⋅ Le vecteur $\vec{n}estappeléunvecteurnormalà(D).C′estunvecteurorthogonalàladirectionde(D)$.
⋅ Si a=0 alors, la droite (D) a pour équation y=−cb et est parallèle à l'axe des abscisses.
⋅ Si b=0 alors, la droite (D) a pour équation y=−ca et est parallèle à l'axe des ordonnées.
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Exercice d'application
Soit $A\;,\quad B\;,\quad C$
Déterminer les équations cartésiennes de :
1) (AB)
2) la droite (D) passant par C et parallèle à (AB)
3) la médiatrice de [AC]
Résolution
1) Équation cartésienne de (AB) :
Nous avons : $A=$
Soit $M\in(AB)\;;\quad \overrightarrow{AM}$
Donc, (AB) : −9x−y+23=0
2) Soit $M\in(D)\;;\quad \overrightarrow{CM}$
D'où, (D) : y+9x−16=0
3) Soit (Δ) la médiatrice de [AC] donc $\overrightarrow{AC}estunvecteurnormalà(\Delta).$
Soit I milieu de $[AC]\;;\quad IetsoitM\in(\Delta)\;;\quad \overrightarrow{IM}$
Donc, Δ : −x+2y−212=0
Remarques
L'équation réduite d'une droite (D) est de la forme y=αx+β où α est le coefficient directeur de la droite (D). Donc si (D):y=αx+β⟹αx−y+β=0 et $\vec{u}estunvecteurdirecteurde(D).$
Soit (D):ax+by+c=0, si b≠0⇒y=−abx−cb et −ab est le coefficient directeur de la droite (D).
II.3.3 Conditions de parallélisme et d'orthogonalité de droites
⋅ Deux droites (D):ax+by+c=0 de vecteur directeur $\vec{u}et(D') \: : a'x+b'y+c'=0devecteurdirecteur\vec{u}'sontparallèlessi,etseulementsi,lesvecteursdirecteurs\vec{u}et\vec{u}'sontcolinéaires(det(\vec{u},\ \vec{u}')=0$)
⋅ (D) et (D′) sont orthogonales si, et seulement si, les vecteurs directeurs →u et →u′ sont orthogonaux (x→ux′→u′+y→uy′→u′=0)
⋅ Deux droites (D):y=αx+β et (D′):y=α′x+β′ sont parallèles si, et seulement si,
⋅ (D) et (D′) sont perpendiculaires si, et seulement si,
Exercice d'application
Soit (D1) : 2x−3y+5=0 et $A\;,\quad B$ deux points du plan.
1) A et B appartiennent-ils à (D1) ?
2) Déterminer l'équation de la droite (D2) passant par A et parallèle à (D1).
3) Soit (D3) : y=3x−1
(D3) et (D1) sont-elles parallèles ? perpendiculaires ?
Résolution
1) $M\in(D_{1})si,etseulementsi,sescoordonnéesvérifientl′équationde(D_{1})$
Donc, A∉(D1)
Donc, B∈(D1)
2) Soit $M\in(D_{2})\;;\quad \overrightarrow{AM}etsoit\vec{u}vecteurdirecteurde(D_{1})$ alors
D'où, (D2) : 2x−3y+6=0
3) (D1) : 2x−3y+5=0 donc y=23x+53 est une équation réduite pour (D1).
Soient $u_{1}etu_{3}vecteursdirecteursrespectifsde(D_{1})et(D_{3}).$
3≠23, donc, (D1) et (D3) ne sont pas parallèles.
3×23=1≠−1, alors, (D1) et (D3) ne sont pas perpendiculaires.
II.3.4 Équations paramétriques
Soient $\vec{u}etM_{0},\ (D)estunedroitepassantparM_{0}devecteurdirecteur\vec{u}\;;\ (D)=(M_{0},\ \vec{u}).$
$M\in(D)
si,etseulementsi,\overrightarrow{M_{0}M}
estcolinéaireà\vec{u}.$
Donc, ∃ k∈R tel que →M0M=k.→u.
Ainsi, $\left\lbrace
\right. \Longrightarrow \left\lbrace
\right.quiestunsystèmed′équationsparamétriquesde(D)$
$M_{k}estlepointdeparamètrek$.
Exercice d'application
Soit $A\;,\quad Bdeuxpointsduplanet(D_{1})\ :\ 2x-3y+5=0.$
1) Déterminer un système d'équations paramétriques des droites (AB) et (D1).
2) Soit $(D_{2})\ :\ \left\lbrace\right.$
a) $AetDappartiennent−ilsà(D_{2})\;\ ?$
b) Déterminer l'équation cartésienne de (D2)
3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de (D1) et (D2)
Résolution
Soit $M\in(AB)alors\overrightarrow{AB}et\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.
Soit $\vec{u}vecteurdirecteurde(D_{1})etAunpointde(D_{1})$
$M\in(D_{1})alors\overrightarrow{AM}et\vec{u}$ sont colinéaires.
2) a) $\left\lbrace\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\right.\quad\text{impossible}$
D'où, A∉(D2)
$\left\lbrace\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\right.\quad\text{donc }D\in(D_{2})$
b) $\left\lbrace\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\right.$
D'où, y+4x−11=0 est une équation cartésienne de (D2)
3) Dans (D1), remplaçons x et y par leur valeur dans (D2)
Donc, $\left\lbrace\right.;d′où(D_{1})\cap(D_{2})=I$
II.3.5 Équations de cercle
Soit
C le cercle de centre $I
etderayonR
noté\mathcal{C}(I,\ R).$
$M\in\mathcal{C}(I,\ R) \: \Rightarrow IM=R.$
Donc,
IM2=R2⟹(xM−xI)2+(yM−yI)2=R2.
D'où : (xM−α)2+(yM−β)2=R2 qui est l'équation réduite du cercle $\mathcal{C}\left(I, R\right).$
est l'équation cartésienne du cercle (C).
Exemple
Les équations suivantes sont-elles des équations de cercle. Si oui, donner le centre et le rayon.
a) x2+y2−6x+8y−5=0
b) x2+y2+2x+4y−1=0
c) x2+y2+3x+4y+20=0
Résolution
a)
Donc, cette équation définie bien un cercle $\mathcal{C}\left(I\;;\ \sqrt{30}\right)$
b)
On obtient bien un cercle $\mathcal{C}\left(I\;;\ \sqrt{6}\right)$
c)
−554<0 donc cette équation ne définie pas un cercle.
III. Formule de changement de repère
Soient
(O; →i, →j) un repère du plan,
S un point de coordonnées
(a, b) , dans
(O; →i, →j).
Considérons un nouveau repère (S; →i, →j).
Donc, $Mdans(O;\ \vec{i},\ \vec{j})etMdans(S;\ \vec{i},\ \vec{j})$
Nous obtenons $\left\lbrace
\right.$ qui constitue la formule de changement de repère.
Exemple
Soit (O; →i, →j) un repère du plan, $A\;,\ Bet\Omega(3\;;\ 2)dans(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
Trouver les coordonnées de A et B dans (Ω; →i, →j).
Résolution
D'après la formule de changement de repère on a :
Les coordonnées de A dans (Ω; →i, →j) sont donc données par :
D'où : $Bdans(\Omega\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
dim, 01/27/2019 - 16:55
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des bien conçu et c'est
Anonyme (non vérifié)
dim, 07/04/2021 - 02:10
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Très bien
Anonyme (non vérifié)
dim, 07/04/2021 - 02:58
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De très bonnes éxo
Ndeye Fatou Ndiaye (non vérifié)
lun, 10/18/2021 - 14:19
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merci beaucoup
Lelouch Lamperouge (non vérifié)
lun, 02/21/2022 - 20:17
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Super cours à mon avis. Sinon
Anonyme (non vérifié)
mer, 06/12/2024 - 09:01
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Merci
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