Repère cartésien - 2nd

Classe: 
Seconde

Activité 

Soit ABCABC un triangle, II milieu de [BC][BC] et MM un point défini par : AM=25AIAM=25AI. La parallèle à (AB)(AB) passant par MM coupe (BC)(BC) en PP et la parallèle à (AC)(AC) passant par MM coupe (BC)(BC) en QQ. On veut montrer que II est le milieu de [PQ][PQ]. Soit le repère (A; AB, AC).(A; AB, AC).
 
1) Déterminer les coordonnées de A, B, C A, B, C  et  M. M.
 
2) Vérifier que l'ordonnée de PP est 15.15.
 
3) Soit xx l'abscisse de PP, donner les coordonnées de BPBP en fonction de xx. Calculer x.x.
 
Déterminer les coordonnées de QQ puis montrer que II est milieu de [PQ].[PQ].

Résolution 


 

 
1) Soit le repère (A; AB, AC)(A; AB, AC) donc, $A(00)\;,\quad B(10)etC(01)$
 
$AM=25AI=25(AB+BI)=25(AB+12BC)=25(AB+12(BA+AC))=25(AB12AB+12AC)=25(12AB+12AC)=15AB+15AC$
 
D'où, $M(1515)$
 
2) (MP) parallèle à (AB) qui est l'axe des abscisses donc M et P ont la même ordonnée. D'où : yP=15.
 
3) xP=x donc, $P(x15)et\overrightarrow{BP}(x115)$
 
BP est colinéaire à BC, donc B, P et C sont alignés.
 
Soit $\overrightarrow{BC}(11)$ alors on a : (x1)(1)(15)(1)=0x1+15=0x=115x=45
D'où  : $P(4515)$
 
(MQ) parallèle à (AC) qui est l'axe des ordonnées donc Q a même abscisse que M. D'où : xQ=15.
 
Soit $Q(15yQ)et\overrightarrow{CQ}(15yQ1)$
 
CQ colinéaire à BC(15)(1)(yQ1)(1)=015+yQ1=0yQ=115=45

D'où  : $Q(1545)$
 
I est milieu de [BC] alors $I(1212)$
 
Calculons les coordonnées du milieu de [PQ]
 
Soit xP+xQ2=(45+15)2=12 = xIetyP+yQ2=(15+45)2=12 = yI
 
Donc I est aussi milieu de [PQ]

I. Définitions

Soient deux vecteurs non nuls u et v et non colinéaires, A un point du plan. Le triplet (A; u, v) est un repère du plan où A est l'origine et u et v sont les vecteurs de base du plan.

MP x et y tels que AM=xu+yv

x et y sont les coordonnées de M.  x est l'abscisse de M;  xM=x,  y est l'ordonnée de M; yM=y

   Si u est orthogonal à v  (uv) on dira que le repère (A; u, v) est un repère orthogonal.

   Si de plus ||u||=||v||=1 on dira qu'on a un repère orthonormé.

  (A; u) est l'axe des abscisses, (A; v) est l'axe des ordonnées.

II. Équations cartésiennes et paramétriques de droite

II.1 Colinéarité de vecteurs

   Deux vecteurs $\vec{u}(xy)et\vec{v}(xy)sontcolinéairessi,etseulementsi,ledéterminantde\vec{u}et\vec{v}$ noté det(u, v)=|xxyy|=xyxy=0
   Deux vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si, il existe kR tel que u=k.v

u et v ont même direction.

II.2 Vecteurs orthogonaux

   Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, ils ont des directions orthogonales. On note uv.

   Deux vecteurs $\vec{u}(xy)et\vec{v}(xy)$ sont orthogonaux si, et seulement si, xx+yy=0

II.3 Équation cartésienne de droite

II.3.1 Définitions

Soient u un vecteur non nul, A un point du plan. L'ensemble des points M du plan tels que AM colinéaire à u est la droite passant par A de direction u noté (D)=(A, u).

u est un vecteur directeur de (D) et tout vecteur v colinéaire à u est aussi un vecteur directeur de (D).

II.3.2 Équation cartésienne et réduite d'une droite

L'équation cartésienne d'une droite (D) est de la forme ax+by+c=0 avec (a, b)(0, 0);  a et b ne sont pas nuls en même temps.

   Le vecteur $\vec{u}(ba)estunvecteurdirecteurde(D)$.

   Le vecteur $\vec{n}(ab)estappeléunvecteurnormalà(D).Cestunvecteurorthogonalàladirectionde(D)$.

   Si a=0 alors, la droite (D) a pour équation y=cb et est parallèle à l'axe des abscisses.

   Si b=0 alors, la droite (D) a pour équation y=ca et est parallèle à l'axe des ordonnées.


 

 

Exercice d'application

Soit $A(25)\;,\quad B(34)\;,\quad C(17)$
 
Déterminer les équations cartésiennes de :
 
1) (AB)
 
2) la droite (D) passant par C et parallèle à (AB)
 
3) la médiatrice de [AC]

Résolution 

1) Équation cartésienne de (AB) :
 
Nous avons : $A(3245)=(19)$
 
Soit $M(xy)\in(AB)\;;\quad \overrightarrow{AM}(x2y5)$
M(xy)(AB)AB  colinéaire à  AMdet(AM, AB)=0|x21y59|=(x2)(9)(y5)=09xy+23=0
Donc, (AB) : 9xy+23=0
 
2) Soit $M(xy)\in(D)\;;\quad \overrightarrow{CM}(x1y7)$
(D)  parallèle à  (AB)AB  colinéaire à  CMdet(AB, CM)=0|1x19y7|=(y7)(9)(x1)=0y+9x79=0 
D'où, (D) : y+9x16=0
 
3) Soit (Δ) la médiatrice de [AC] donc $\overrightarrow{AC}(12)estunvecteurnormalà(\Delta).$
 
Soit I milieu de $[AC]\;;\quad I(326)etsoitM(xy)\in(\Delta)\;;\quad \overrightarrow{IM}(x32y6)$
(Δ)  perpendiculaire à  (AC)(1)(x32)+2(y6)=0x+32+2y12=0x+2y212=0
Donc, Δ : x+2y212=0

Remarques

L'équation réduite d'une droite (D) est de la forme y=αx+βα est le coefficient directeur de la droite (D). Donc si (D):y=αx+βαxy+β=0 et $\vec{u}(1α)estunvecteurdirecteurde(D).$
 
Soit (D):ax+by+c=0, si b0y=abxcb et ab est le coefficient directeur de la droite (D).

II.3.3 Conditions de parallélisme et d'orthogonalité de droites

   Deux droites (D):ax+by+c=0 de vecteur directeur $\vec{u}(ba)et(D') \: : a'x+b'y+c'=0devecteurdirecteur\vec{u}'(ba)sontparallèlessi,etseulementsi,lesvecteursdirecteurs\vec{u}et\vec{u}'sontcolinéaires(det(\vec{u},\ \vec{u}')=0$)
 
  (D) et (D) sont orthogonales si, et seulement si, les vecteurs directeurs u et u sont orthogonaux (xuxu+yuyu=0)
 
Deux droites (D):y=αx+β et (D):y=αx+β sont parallèles si, et seulement si, α=α
 
  (D) et (D) sont perpendiculaires si, et seulement si, α.α=1

Exercice d'application 

Soit (D1) : 2x3y+5=0 et $A(34)\;,\quad B(23)$ deux points du plan.
 
1) A et B appartiennent-ils à (D1) ?
 
2) Déterminer l'équation de la droite (D2) passant par A et parallèle à (D1).
 
3) Soit (D3) : y=3x1 
 
(D3) et (D1) sont-elles parallèles ? perpendiculaires ?

Résolution

1) $M(xy)\in(D_{1})si,etseulementsi,sescoordonnéesvérifientléquationde(D_{1})$
A(34) :2×33×4+5=612+5=1 0
Donc, A(D1)
B(23) :2×23×3+5=49+5=0
Donc, B(D1)
 
2) Soit $M(xy)\in(D_{2})\;;\quad \overrightarrow{AM}(x3y4)etsoit\vec{u}(32)vecteurdirecteurde(D_{1})$ alors 
(D2)  parallèle à  (D1)AM  colinéaire à  udet(AM, u)=0|x33y42|=(x3)(2)(3)(y4)=02x3y+6=0 
D'où, (D2) : 2x3y+6=0
 
3) (D1) : 2x3y+5=0 donc y=23x+53 est une équation réduite pour (D1).
 
Soient $u_{1}(123)etu_{3}(13)vecteursdirecteursrespectifsde(D_{1})et(D_{3}).$
 
323,  donc, (D1) et (D3) ne sont pas parallèles.
 
3×23=11,  alors, (D1) et (D3) ne sont pas perpendiculaires.

II.3.4 Équations paramétriques

Soient $\vec{u}(αβ)etM_{0}(x0y0),\ (D)estunedroitepassantparM_{0}devecteurdirecteur\vec{u}\;;\ (D)=(M_{0},\ \vec{u}).$

 

 
$M(xy)\in(D)si,etseulementsi,\overrightarrow{M_{0}M}estcolinéaireà\vec{u}.$

Donc, kR tel que M0M=k.u.

Ainsi, $\left\lbracexx0=kαyy0=kβ
\right. \Longrightarrow  \left\lbracex=x0+kαy=y0+kβ
\right.quiestunsystèmedéquationsparamétriquesde(D)$

$M_{k}(x0+αky0+βk)estlepointdeparamètrek$.

Exercice d'application 

Soit $A(12)\;,\quad B(34)deuxpointsduplanet(D_{1})\ :\ 2x-3y+5=0.$
 
1) Déterminer un système d'équations paramétriques des droites (AB) et (D1).
 
2) Soit $(D_{2})\ :\ \left\lbracex=2ty=3+4t\right.$
 
a) $A(12)etD(011)appartiennentilsà(D_{2})\;\ ?$
 
b) Déterminer l'équation cartésienne de (D2)
 
3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de (D1) et (D2)

Résolution 

Soit $M(xy)\in(AB)alors\overrightarrow{AB}et\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.
AB  colinéaire à  AMAM=tAB,tR{x1=2ty2=2t{x=2t+1y=2t+2équation paramétrique de (AB)
Soit $\vec{u}(32)vecteurdirecteurde(D_{1})etA(11)unpointde(D_{1})$
 
$M(xy)\in(D_{1})alors\overrightarrow{AM}et\vec{u}$ sont colinéaires.
AM  colinéaire à  uAM=tu,tR{x+1=3ty1=2t{x=3t1y=2t+1équation paramétrique de (D1)
2) a) $\left\lbrace1=2t2=3+4t\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbracet=1t=14\right.\quad\text{impossible}$ 
 
D'où, A(D2)
 
$\left\lbrace0=2t11=3+4t\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbracet=2t=2\right.\quad\text{donc }D\in(D_{2})$
 
b) $\left\lbracex=2ty=3+4t\right.\ \Leftrightarrow\ \left\lbracet=2xy=3+4(2x) = 4x+11\right.$
 
D'où, y+4x11=0 est une équation cartésienne de (D2)
 
3) Dans (D1), remplaçons x et y par leur valeur dans (D2)
2(2t)3(3+4t)+5=014t=0t=0
Donc, $\left\lbracex=2y=3\right.;doù(D_{1})\cap(D_{2})=I(23)$

II.3.5 Équations de cercle

Soit C le cercle de centre $I(αβ)etderayonRnoté\mathcal{C}(I,\ R).$

$M(xy)\in\mathcal{C}(I,\ R) \: \Rightarrow IM=R.$


 
 
Donc, IM2=R2(xMxI)2+(yMyI)2=R2.

D'où :  (xMα)2+(yMβ)2=R2 qui est l'équation réduite du cercle $\mathcal{C}\left(I(αβ), R\right).$

x2+y22αx2βy+α2+β2R2=0 est l'équation cartésienne du cercle (C).

Exemple 

Les équations suivantes sont-elles des équations de cercle. Si oui, donner le centre et le rayon.
 
a) x2+y26x+8y5=0
 
b) x2+y2+2x+4y1=0
 
c) x2+y2+3x+4y+20=0

Résolution 

a) x2+y26x+8y5=0(x3)29+(y+4)2165=0(x3)2+(y+4)2=30
Donc, cette équation définie bien un cercle $\mathcal{C}\left(I(34)\;;\ \sqrt{30}\right)$
 
b) x2+y2+2x+4y1=0(x+1)21+(y+2)241=0(x+1)2+(y+2)2=6
On obtient bien un cercle $\mathcal{C}\left(I(12)\;;\ \sqrt{6}\right)$
 
c) x2+y2+3x+4y+20=0(x+32)294+(y+2)24+20=0(x+32)2+(y+2)2=554
554<0 donc cette équation ne définie pas un cercle.

III. Formule de changement de repère

Soient (O; i, j) un repère du plan, S un point de coordonnées (a, b) , dans (O; i, j).

Considérons un nouveau repère (S; i, j).

Donc, $M(xy)dans(O;\  \vec{i},\  \vec{j})etM(XY)dans(S;\  \vec{i},\  \vec{j})$

 

 
Nous obtenons $\left\lbracex=X+ay=Y+b
\right.$ qui constitue la formule de changement de repère.

Exemple 

Soit (O; i, j) un repère du plan, $A(21)\;,\ B(34)et\Omega(3\;;\ 2)dans(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Trouver les coordonnées de A et B dans (Ω; i, j). 

Résolution

D'après la formule de changement de repère on a : {x=X+3y=Y+2  {X=x3Y=y2
Les coordonnées de A dans (Ω; i, j) sont donc données par : A(X=23Y=12)=(11)
OB=OΩ+ΩBΩB=OBOΩΩB=3i+4j3i2jΩB=2j
D'où : $B(02)dans(\Omega\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ 

Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

des bien conçu et c'est résumé

Très bien

De très bonnes éxo

merci beaucoup

Super cours à mon avis. Sinon il y'a une erreur de signe au niveau de l'équation réduite de D1:y=2/3x+5/3.

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