Classe:

Seconde

Exercice 1

1) Simplifier les expressions suivantes lorsqu'elles sont définies :

$A=\dfrac{3x^{2}}{2x^{3}+3x^{2}y}-\dfrac{2y^{2}}{2xy^{2}-3y^{3}}+\dfrac{12xy^{2}}{4x^{3}y-9xy^{3}}$

$B=\left(\dfrac{(-a)^{3}b}{c}\right)^{3}\div\dfrac{[(-a^{2})^{5}b^{-2}(-c^{-3})^{2}]^{-2}}{[a^{2}(-b)(-c^{-2})^{3}]^{-1}}$

2) Calculer la valeur de l'expression :

$C=(8^{n-1}+8^{n})^{2}\div(4^{n}-4^{n-1})^{3}$ pour $n=0\;,\ 1\;,\ 2.$

Montrer que, lorsque $n$ est un entier relatif quelconque, $C$ a une valeur fixe.

Exercice 2

$a\;,\ b\;,\ c\;,\ a'\;,\ b'\;,\ c'\;$, sont des nombres réels tels que : $$a^{2}+b^{2}+c^{2}=a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}=1$$

Montrer que les réels $$x=(aa'+bb'+cc')^{2}\ \text{ et }\ y=1-(ab'-ba')^{2}-(bc'-cb')^{2}-(ca'-ac')^{2}$$ sont égaux.

Exercice 3

$x$ et $y$ sont deux réels quelconques.

1) Factoriser (totalement) l'expression : $$E=(x^{2}+3xy+y^{2})^{2}-y^{4}$$

2) En déduire une factorisation de

$$\left(a-\dfrac{3}{2}\right)\left(a-\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{3}{2}\right)+1\;$$ puis calculer $a$ lorsque $$\left(a-\dfrac{3}{2}\right)\left(a-\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{3}{2}\right)+1=25$$

Exercice 4

1) Comparer les réels $\dfrac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a+b+\sqrt{ab}}$ et $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs.

2) En déduire l'égalité : $$\dfrac{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5+\sqrt{6}}+\dfrac{5\sqrt{5}-3\sqrt{3}}{8+\sqrt{15}}=\dfrac{5\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{7+\sqrt{10}}$$

$$\text{Durée : 2 h}$$