Physique

 

1) a) Expression de $Q_{0}$ en fonction de $U_{0}$ et $C.$

 

$Q_{0}=CU_{0}$

 

b) Expression de $E_{0}$ en fonction de $Q_{0}$ et $C.$

 

$E_{0}=\dfrac{1}{2}CU_{0}$

 

2) a) Expression de l'énergie électromagnétique $E$ en fonction de $L$, $C$, $q$ et $i.$

 

$E=\dfrac{1}{2}\dfrac{q^{2}}{C}+\dfrac{1}{2}Li^{2}$

 

b) Montrons que l'énergie électromagnétique se conserve et elle est égale à $\dfrac{Q_{0}^{2}}{2C}$

 

Le circuit électrique ne comporte que des dipôles non dissipatifs (condensateur et bobine) ; donc l'énergie électromagnétique se conserve et est égale à l'énergie initialement emmagasinée par le condensateur : $E_{0}=\dfrac{1}{2}\dfrac{Q_{0}^{2}}{C}$

 

Équation différentielle des oscillations électriques.

 

$\begin{array}{rcl} E_{0}&=&E\\\\&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{q^{2}}{C}+\dfrac{1}{2}Li^{2}\\\\\Rightarrow\dfrac{\mathrm{d}E_{0}}{\mathrm{d}t}&=&\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}Li^{2}\right)\\\\&=&0\\\\\Rightarrow\dfrac{1}{2C}\times 2q\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}+\dfrac{1}{2}L\times 2i\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}&=&0\\\\\text{or }\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}&=&i\\\\&=&\dot{q}\\\\\text{et }\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}&=&\ddot{q}\\\\\Rightarrow\dot{q}\left(\dfrac{q}{C}+L\ddot{q}\right)&=&0\\\\\text{comme }\dot{q}\text{ n'est pas toujours nul}\\\\\Rightarrow\dfrac{q}{C}+L\ddot{q}&=&0 \end{array}$

 

c) Détermination de l'expression de la période propre $T_{0}$ en fonction de $L$ et $C.$

 

$T_{0}=2\pi\sqrt{LC}$

 

d) Expression de la charge $q$ en fonction du temps.

 

$\begin{array}{rcl} q&=&q_{m}\cos\left(\omega_{0}t+\varphi\right)\\\\&=&q_{m}\cos\left(\dfrac{2\pi}{T_{0}}t+\varphi\right) \end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} \text{A }q&=&q_{m}\cos\varphi\\\\&=&q_{m}\\\\&=&Q_{0}\\\\\Rightarrow\cos\varphi&=&1\\\\\Rightarrow\varphi&=&0\\\\\Rightarrow\,q&=&Q_{0}\cos\dfrac{2\pi}{T_{0}}t \end{array}$

 

3. Montrons que l'expression l'énergie $E_{L}$ en fonction du temps s'écrit : 

 

$\begin{array}{rcl} E_{L}&=&\dfrac{E_{0}}{2}\left[1+\cos\left(\dfrac{4\pi}{T_{0}}t+\pi\right)\right]\\\\\,E_{L}&=&\dfrac{1}{2}Li^{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}L\ddot{q}^{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}L\left(-\dfrac{2\pi}{T_{0}}Q_{0}\sin\dfrac{2\pi}{T_{0}}t\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}L\dfrac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}Q_{0}^{2}\sin^{2}\dfrac{2\pi}{T_{0}}t\sin^{2}\alpha\\\\&=&\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}\\\\\Rightarrow\,E_{L}&=&\dfrac{1}{2}L\dfrac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}Q_{0}^{2} \end{array}$

 

4) a) Valeurs de $L$ et de $_{E0}.$

 

$\begin{array}{rcl} E_{0}&=&2\cdot 10^{-3}J\\\\ E8{0}&=&2\cdot 10^{-3}J\\\\\Rightarrow\,E_{0}&=&\dfrac{1}{2}Li^{2}\\\\\Rightarrow\,L&=&\dfrac{2E_{0}}{i^{2}}\\\\&=&\dfrac{2\times 2\cdot 10^{-3}}{(0.2)^{2}}\\\\\Rightarrow\,L&=&10^{-1}H \end{array}$

 

b) Valeur de $T_{0}.$

 

$T_{0}=2\pi\cdot 10^{-4}s$

 

5) Détermination de $C$, $Q_{0}$ et $U_{0}.$

 

$\begin{array}{rcl} T_{0}&=&2\pi\sqrt{LC}\\\\\Rightarrow\,LC&=&\dfrac{T_{0}^{2}}{4\pi^{2}}\\\\\Rightarrow\,C&=&\dfrac{T_{0}^{2}}{4\pi^{2}L}\\\\&=&\dfrac{\left(2\pi\cdot 10^{-4}\right)^{2}}{4\pi^{2}\times 2\cdot 10^{-2}}\\\\\Rightarrow\,C&=&5\cdot 10^{-5}F \end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} E_{0}&=&\dfrac{1}{2}L\dfrac{4\pi^{2 }}{T_{0}^{2}}Q_{0}^{2}\\\\\Rightarrow\,Q_{0}&=&\sqrt{\dfrac{2E_{0}T_{0}^{2}}{4\pi^{2}}L}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times 2\cdot 10^{-3}\times\left(2\pi 10^{-4}\right)^{2}}{4\pi^{2}\times 2\cdot 10^{-2}}}\\\\\Rightarrow\,Q_{0}&=&4.47\cdot 10^{-5}C \end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} U_{0}&=&\dfrac{Q_{0}}{C}\\\\&=&\dfrac{4.47\cdot 10^{-5}}{5\cdot 10^{-7}}\\\\\Rightarrow\,U_{0}&=&89.4V \end{array}$

A. L'interrupteur $K$ est dans la position (1) 

 

1) Le phénomène observé est la charge du condensateur

 

2) Allure de la courbe de variation de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps.

 

 

B. L'interrupteur $K$ est basculé dans la position (2) 

 

 

1) a) Établissement de l'équation différentielle qui régit les oscillations de la charge $q(t).$

 

La loi d'additivité des tensions s'écrit : $U_{C}+U_{L}=0$ 

 

$\begin{array}{rcl} U_{C}&=&\dfrac{q}{C}\ ;\\\\ U_{L}&=&L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\ ;\\\\ i&=&\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\\\\&=&\dot{q}\ ;\\\\\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\\\\&=&\ddot{q}\\\\\Rightarrow\dfrac{q}{C}+L\ddot{q}\\\\&=&0\\\\\Rightarrow\ddot{q}+\dfrac{q}{LC}\\\\&=&0 \end{array}$

 

b) Montrons que $q(t)=Q_{m}\sin\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)$ peut être une solution de l'équation différentielle

 

$\begin{array}{rcl} q(t)&=&Q_{m}\sin\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)\\\\\Rightarrow\,q(t)&=&\omega_{0}Q_{m}\cos\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)\\\\\Rightarrow\ddot{q}t&&=&-\omega_{0}^{2}Q_{m}\sin\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)\\\\\ddot{q}+\dfrac{q}{LC}&=&0\\\\\Rightarrow-\omega_{0}^{2}Q_{m}\sin\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)+\dfrac{1}{LC}Q_{m}\sin\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)\\\\&=&0\\\\\Rightarrow\left(-\omega_{0}^{2}+\dfrac{1}{LC}\right)Q_{m}\sin\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)&=&0\\\\\Rightarrow-\omega_{0}^{2}+\dfrac{1}{LC}&=&0\\\\\Rightarrow-\omega_{0}^{2}Q_{m}\sin\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)&=&0\\\\\Rightarrow-\omega_{0}^{2}+\dfrac{1}{LC}&=&0\\\\\Rightarrow\omega_{0}^{2}&=&\dfrac{1}{LC}\\\\\Rightarrow\omega_{0}&=&\sqrt{\dfrac{1}{LC}} \end{array}$

   

2) a) Montrons que le circuit $(L\;,\ C)$ est conservatif  

 

$\begin{array}{rcl} E_{C}+E_{L}&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{q^{2}}{C}+\dfrac{1}{2}Li^{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{q^{2}}{C}+\dfrac{1}{2}L\dot{q^{2}}\\\\&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(Q_{m}\sin\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)\right)^{2}}{C}+\dfrac{1}{2}L\left(\omega_{0}Q_{m}\cos\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)\right)^{2}\\\\\Rightarrow\,E&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{Q_{m}^{2}}{C}\sin^{2}\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)+\dfrac{1}{2}L\omega_{0}^{2}Q_{m}^{2}\cos^{2}\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)\\\\\text{or}\quad \omega_{0}^{2}&=&\dfrac{1}{LC}\\\\\Rightarrow\,E&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{Q_{m}^{2}}{C}\sin^{2}\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)+\dfrac{1}{2}\dfrac{Q_{m}^{2}}{C}\cos^{2}\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{Q_{m}^{2}}{C}\left(\sin^{2}\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)+\cos^{2}\left(\omega_{0}t+\varphi_{q}\right)\right)\\\\\Rightarrow\,E&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{Q_{m}^{2}}{C} \end{array}$

 

Et l'énergie totale est constante ; le circuit $(L\;,\ C)$ est donc conservatif  

 

b) Montrons que l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur en fonction de $i^{2}$ est de la forme $E_{e}= Q_{m}^{2}-\dfrac{1}{2} L\cdot i^{2}$

 

$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{Q_{m}^{2}}{C}\\\\&=&E_{e}+E_{L}\\\\\Rightarrow\,E_{e}&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{Q_{m}^{2}}{C}-E_{L}\\\\\Rightarrow\,E_{e}&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{Q_{m}^{2}}{C}-\dfrac{1}{2}Li^{2} \end{array}$

 

c) Justifions théoriquement l'allure de la courbe  

 

D'après la loi d'additivité des tensions : $U_{C}+U_{L}=0$

 

$\Rightarrow\,U_{L}=-U_{C}\Rightarrow\,U_{L}=-\dfrac{q}{C}$

 

La courbe représentant la tension $U_{L}$ aux bornes de la bobine en fonction de la charge $q$  une droite passant par l'origine de pente négative. Ce que l'allure de la courbe confirme

 

3) Détermination :

 

a) L'inductance $L$ de la bobine.

 

$\begin{array}{rcl} E_{e}&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{Q_{m}^{2}}{C}-\dfrac{1}{2}Li^{2}\\\\\Rightarrow\dfrac{\Delta E_{e}}{\Delta i^{2}}&=&-\dfrac{1}{2}L\\\\\Rightarrow\,L&=&-\dfrac{2\Delta E_{e}}{\Delta i^{2}}\\\\&=&-\dfrac{2\left(0-5\cdot 10^{-4}\right)}{(10-0)\cdot 10^{-4}}\\\\\Rightarrow\,L&=&1H \end{array}$

 

b) La capacité C du condensateur.

 

 

I

 

 

1) Le phénomène observé est l'induction électromagnétique

 

2) Le sens de circulation du courant induit dans la bobine. (Voir schéma)

 

3) L'inducteur, source du champ magnétique, est l'aimant droit.

 

L'induit, siège du courant induit, est la bobine.

 

II

 

1) a) Montrons que la bobine est le siège d'un phénomène d'auto-induction

 

Le circuit est le siège d'un courant d'intensité variable. Le courant crée, en tout point de la bobine, un champ magnétique variable à travers le circuit lui-même. Cette variation s'accompagne d'une f.é.m. ou d'un courant d'un courant d'auto-induction.

 

b) Montrons que la tension aux bornes de la bobine est : $u_{AB}=\dfrac{-L}{R}\dfrac{\mathrm{d}u_{CB}}{\mathrm{d}t}$

 

 

$u_{AB}=L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$

 

$\begin{array}{rcl} u_{CB}&=&-Ri\\\\\Rightarrow\,i&=&-\dfrac{u_{CB}}{R}\\\\\Rightarrow\,u_{AB}&=&L\dfrac{\mathrm{d}\left(-\dfrac{u_{CB}}{R}\right)}{\mathrm{d}t}\\\\\Rightarrow\,u_{AB}&=&-\dfrac{L}{R}\dfrac{\mathrm{d}u_{CB}}{\mathrm{d}t} \end{array}$

 

c) Justifions littéralement l'allure de la tension sur la voie $Y_{A}$

 

La tension aux bornes résistor est triangulaire de la forme : $u_{CB}=at+b$

 

$\dfrac{\mathrm{d}u_{CB}}{\mathrm{d}t}=a\Rightarrow\,u_{AB}=-\dfrac{L}{R}a$ 

 

La bobine transforme une tension triangulaire en tension carrée ; d'où l'allure de la tension sur la voie $Y_{A}$

 

2) a) Calcul de la période $T$ et la de fréquence $N$ des tensions

 

$T=0.2\cdot 10^{-3}\times 8\Rightarrow\,T=1.6\cdot 10^{-3}s$

 

$N=\dfrac{1}{1.6\cdot 10^{-3}}$

 

$\Rightarrow\,N=625Hz$

 

b) Détermination des expressions de $u_{AB}$ et de $u_{CB}$ en fonction du temps.

 

$\begin{array}{rcl} u_{AB}&=&1\times 0.2\\\\\Rightarrow\,u_{AB}&=&0.2V \end{array} $

 

$\begin{array}{rcl} u_{CB}&=&2\times 2\\\\\Rightarrow\,u_{CB}&=&4V \end{array} $

 

c) Valeur de l'inductance $L$ de la bobine

 

$\begin{array}{rcl} u_{AB}&=&-\dfrac{L}{R}\dfrac{\mathrm{d}u_{CB}}{\mathrm{d}t}\\\\\Rightarrow\,L&=&-Ru_{AB}\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u_{CB}}\\\\&=&-10\cdot 10^{3}\times 0.2\times\left(\dfrac{0.8\cdot 10^{-3}}{-4}\right)\\\\\Rightarrow\,L&=&0.4H \end{array}$

 

Signification physique de l'inductance :

 

L'inductance est une grandeur physique caractérisant l'aptitude d'une bobine à modérer les variations de tout courant électrique qui y circule.

 

1) a) Représentation du champ magnétique créé par la bobine $B_{2}.$ (voir figure)

 

b) Énoncé la loi de Lenz. 

 

Toute variation de flux à travers un circuit fermé entraine la circulation d'un courant induit qui, par ses effets électromagnétiques, s'oppose à la cause qui lui a donné naissance.  

 

Représentation du champ magnétique induit dans la bobine $B_{1}.$ (voir figure)

 

Le sens du courant induit. (voir figure)

 

c) La bobine $B_{2}$ est l'inducteur et $B_{1}$ l'induit

 

2) a) En diminuant l'intensité du courant débitée par le générateur la valeur du champ magnétique créé par la bobine $B_{2}$ diminue.

 

b) Représentation du champ magnétique créé par $B_{2}$ et de celui qui est induit dans $B_{1}.$

 

 

c) Sens du courant induit dans $B_{1}.$ (voir figure)

 

3) Représentation du  champ magnétique induit dans la bobine $B_{1}$ lorsque on modifie les bornes générateur

 

 

1) Schéma de principe du montage 

 

 

2) La tension aux bornes de la résistance permet d'observer l'allure de $i(t)$ car cette tension est proportionnelle à l'intensité du courant électrique. A une constante $R$ près, la voie $Y_{B}$ visualise les variations de l'intensité.

  

3) Détermination de la période $T$ de l'intensité du courant

 

$T=4\times 0.5\cdot 10^{-3}\Rightarrow\,R=2\cdot 10^{-3}s$

 

4) Détermination de l'amplitude $I_{m}$ (valeur maximale atteinte) de l'intensité du courant

 

$\begin{array}{rcl} u_{CB}&=&RI_{m}\\\\\Rightarrow\,I_{m}&=&\dfrac{u_{CB}}{R}\\\\&=&\dfrac{2\times 4}{10\cdot 10^{3}}\\\\\Rightarrow\,I_{m}&=&80\cdot 10^{-3}A \end{array}$ 

 

5) a) Détermination de la valeur de la tension $u_{L}$

 

$u_{L}=3\times 0.1\Rightarrow\,u_{L}=0.3V$

 

b) Détermination de la valeur de la dérivée par rapport au temps de l'intensité du courant

 

$\begin{array}{rcl} u_{CB}&=&-Ri\\\\\Rightarrow\,i&=&-\dfrac{u_{CB}}{R}\\\\\Rightarrow\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}&=&-\dfrac{1}{R}\dfrac{\mathrm{d}u_{CB}}{\mathrm{d}t}\\\\&=&-\dfrac{1}{10\cdot 10^{3}}\dfrac{(-4-4)}{10^{-3}}\\\\\Rightarrow\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}&=&0.8A\cdot s^{-1} \end{array}$

 

c) Valeur de $L$ de l'inductance de la bobine.

 

$\begin{array}{rcl} u_{L}&=&L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\\\\\Rightarrow\,L&=&u_{L}\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}i}\\\\&=&0.3\times\dfrac{l}{0.8}\\\\\Rightarrow\,L&=&0.4H \end{array}$

1) Détermination de la direction et le sens du vecteur champ magnétique. ( Voir figure)

 

 

2) a) Sens positif et tracé du vecteur surface $\overrightarrow{S}.$

    

b) Détermination de l'expression du flux magnétique à travers le circuit.  

 

$\Phi=\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{S}=BS\cos\left(\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{S}\right)$

 

or $\cos\left(\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{S}\right)=\cos 0=0$

 

$\Rightarrow\Phi=BS$

 

Montrons que ce flux s'écrit sous la forme : $\Phi=B\cdot L\cdot V\cdot t$

 

$\Phi=BS$

 

or $S=MN\times CM=L\times Vt$

 

$\Rightarrow\Phi=BLVt$ 

 

3) a) Calcul de la force électromotrice induite

 

$\begin{array}{rcl} e&=&-\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}\\\\\text{or}\quad\Phi&=&BLVt\\\\\Rightarrow\,e&=&-BLV\\\\&=&-1\times 25\cdot 10^{-2}\times 10\\\\\Rightarrow\,e&=&-0.25V \end{array}$

 

b) Calcul de l'intensité $i$ du courant induit

 

$\begin{array}{rcl} e&=&ri\\\\\Rightarrow\,i&=&\dfrac{e}{r}\\\\&=&\dfrac{-0.25}{0.5}\\\\\Rightarrow\,i&=&*-0.25A \end{array}$

 

c) Détermination du sens du courant induit. 

 

Le sens du courant induit est de sens contraire du sens positif

 

d) Représentation de $i$ sur le schéma. (voir figure)

1) a) Établissement de l'expression de l'inductance $L$ du solénoïde.

 

 

$\begin{array}{rcl} \Phi&=&N\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{S}\\\\&=&N\overrightarrow{B}\cdot S\vec{n}\\\\&=&NBs\\\\&=&\dfrac{\mu_{0}N^{2}S}{l}i\\\\&=&Li\\\\\Rightarrow\,L&=&\dfrac{\mu_{0}N^{2}S}{l} \end{array}$

 

Calcul de la valeur de l'inductance

 

$\begin{array}{rcl} L&=&\dfrac{\mu_{0}N^{2}S}{l}\\\\&=&\dfrac{\mu_{0}N^{2}\pi R^{2}}{l}\\\\&=&\dfrac{4\pi 10^{-7}\times\left(10^{3}\right)^{2}\pi\times\left(5\cdot 10^{-2}\right)^{2}}{40\cdot 10^{-2}}\\\\\Rightarrow\,L&=&0.025H \end{array}$

 

b) Expression de $i(t)$ dans chaque intervalle de temps. 

 

$t\in\left[0\ ;\ 2ms\right]$ ;

 

$\begin{array}{rcl} i_{0}&=&0\ ;\\\\ a&=&\dfrac{\Delta i}{\Delta t}\\\\&=&\dfrac{0.04-0}{2}\\\\&=&2\cdot 10^{-2}\\\\\Rightarrow\,i(t)&=&2\cdot 10^{-2}t \end{array}$

 

$t\in\left[2ms\ ;\ 6ms\right]$ ;

 

$\begin{array}{rcl} i_{0}&=&0.04\cdot 10^{-3}\ ;\\\\ a&=&\dfrac{\Delta i}{\Delta t}\\\\&=&\dfrac{0-0.4}{6-2}\\\\&=& 10^{-2}\\\\\Rightarrow\,i(t)&=&-10^{-2}t+0.04\cdot 10^{-3} \end{array}$

 

c) Le phénomène qui se produit dans le solénoïde est le phénomène d'induction.

 

Le solénoïde est le siège d'un courant d'intensité variable, donc une variation du flux qui entraine la création d'un courant induit ou d'une f.é.m induite. 

 

d) Calcul de la f.é.m. induite dans le solénoïde dans des intervalles de temps 

 

$e=-L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$

 

$\begin{array}{rcl} [0\ ;\ 2ms]\ ;\ i{t}&=&2\cdot 10^{-2}t\\\\\Rightarrow\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}&=&2\cdot 10^{-2}\\\\\Rightarrow\,e&=&-0.025\times 2\cdot 10^{-2}\\\\\Rightarrow\,e&=&-50\cdot 10^{-2}V \end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} [2ms\ ;\ 6ms]\ ;\ i{t}&=&-10^{-2}t+0.04\cdot 10^{-3}t\\\\\Rightarrow\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}&=&-10^{-2}\\\\\Rightarrow\,e&=&-0.025\times -10^{-2}\\\\\Rightarrow\,e&=&-25\cdot 10^{-3}V \end{array}$

 

b) Représentation de f.é.m. au cours du temps. (voir figure) 

 

 

2) a) Représentation du sens du courant induit et du sens du courant principal. sur la spire et sur le solénoïde dans chacun des intervalles

 

 

3) a) Calcul de la tension aux bornes du solénoïde.

 

$u_{S}=ri$

 

 

1) a) Détermination de l'expression littérale de la vitesse $v$ en $A$ d'un ion de masse $m$ et de charge $q$ en fonction de $m$, $e$ et $U$

 

Système étudié : l'ion 

 

Référentiel d'étude : terrestre

 

Bilan des forces appliquées : 

 

$-\ $la force électrique $\overrightarrow{F}$ 

 

$-\ $le poids négligeable $\overrightarrow{P}$ devant la force électrique

 

Le théorème de l'énergie cinétique entre $S$ et $A$ s'écrit :

 

\begin{eqnarray} \Delta E_{C} &=&\sum\,W_{\overrightarrow{F}_{\text{EXT}}}\nonumber\\\\\Rightarrow E_{CA}-E_{CS} &=&W_{SA}\left(\overrightarrow{F}\right)\nonumber\\\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv_{A}^{2}-0 &=&2eU\nonumber\\\\\Rightarrow v_{A} &=&\sqrt{\dfrac{2eU}{m}} \end{eqnarray} 

 

b) Montrons que les deux ions $_{80}^{200}Hg^{2+}$ et $_{80}^{202}Hg^{2+}$ émis par $S$ arrivent en $A$ avec des vitesses différentes.

 

Ayant la même charge et accélérés par le même champ, la vitesse des ions ne dépend que de leur masse. Ce qui explique bien la différence de vitesse des ions lorsqu'ils arrivent en $A.$

 

2) a) Établissement de l'expression de $R$ en fonction de $m$, $e$, $||\overrightarrow{B}||$ et $||\overrightarrow{V}||$ puis en fonction de $m$, $e$, $||\overrightarrow{B}||$ et $U.$

 

 

Système étudié : l'ion 

 

Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen

 

Bilan des forces appliquées : 

 

$-\ $la force magnétique $\overrightarrow{F}_{m}$  

 

$-\ $le poids négligeable $\overrightarrow{P}$ devant la force magnétique

 

La deuxième de Newton s'écrit : 

 

$\overrightarrow{F}_{m}=m\vec{a}$

 

$\Rightarrow\,2e\vec{v}\wedge\overrightarrow{B}$

 

$\Rightarrow\,\vec{a}=\dfrac{2e\vec{v}\wedge\overrightarrow{B}}{m}$

 

\begin{eqnarray} \vec{v}\perp\overrightarrow{F_{_{m}}}\Rightarrow\vec{a}_{t} &=&\vec{0}\nonumber\\\\\Rightarrow\vec{a} &=&\overrightarrow{a}_{n}\nonumber\\\\\Rightarrow\,a_{n} &=&\dfrac{v^{2}}{R}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{2evB}{m}\nonumber\\\\\Rightarrow R &=&\dfrac{mv}{2eB}\nonumber\\\\\text{or}\quad v &=&\sqrt{\dfrac{2eU}{m}}\nonumber\\\\\Rightarrow R &=&\dfrac{m\sqrt{\dfrac{2eU}{m}}}{2eB}\nonumber\\\\\Rightarrow R &=&\dfrac{1}{2B}\sqrt{\dfrac{2mU}{e}} \end{eqnarray} 

 

b) Calcul de $R_{1}$ et $R_{2}$

 

\begin{eqnarray} R_{1} &=&\dfrac{1}{2B}\sqrt{\dfrac{2m_{1}U}{e}}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{1}{2\times 0.2}\sqrt{\dfrac{2\times 3.32\cdot 10^{-25}\times 600}{1.6\cdot 10^{-19}}}\nonumber\\\\\Rightarrow R_{1} &=&0.124\,m \end{eqnarray} 

 

\begin{eqnarray} R_{2} &=&\dfrac{1}{2B}\sqrt{\dfrac{2m_{2}U}{e}}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{1}{2\times 0.2}\sqrt{\dfrac{2\times 3.35\cdot 10^{-25}\times 600}{1.6\cdot 10^{-19}}}\nonumber\\\\\Rightarrow R_{2} &=&0.125\,m \end{eqnarray}

 

La distance $IF$ entre les deux points d'impact

 

\begin{eqnarray} IF &=& 2\left(R_{2}-R_{1}\right)\nonumber\\\\ &=&2(0.125-0.124)\nonumber\\\\\Rightarrow IF &=&0.002\,m \end{eqnarray}

 

1.1. Expression de la force agissant sur le proton en $O$ 

 

$\overrightarrow{F}_{m}=q_{P}\overrightarrow{v_{0}}\wedge\overrightarrow{B}$ soit en module $F_{m}=q_{P}v_{0} B$

 

1.2. Montrons que la valeur de la vitesse est constante

 

\begin{eqnarray} \vec{v}\perp\overrightarrow{F_{m}}\Rightarrow\vec{a}_{t} &=&\vec{0}\nonumber\\\\\Rightarrow\,a_{t} &=&\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\nonumber\\\\ &=&0\nonumber\\\\\Rightarrow v &=&cte \end{eqnarray} 

 

1.3. Montrons que la trajectoire est circulaire de rayon $R_{0}=\dfrac{m_{P}}{q_{P}B}V_{0}$ 

 

\begin{eqnarray} \overrightarrow{a_{t}} &=& \vec{0}\nonumber\\\\\Rightarrow\overrightarrow{a} &=&\overrightarrow{a_{n}}\nonumber\\\\\Rightarrow\,a_{n} &=&\dfrac{v_{0}^{2}}{R_{0}}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{q_{P}v_{0}B}{m}\nonumber\\\\\Rightarrow\,R_{0} &=&\dfrac{m_{P}v_{0}}{q_{P}B} \end{eqnarray}

 

Le rayon est constant, le mouvement est donc circulaire

 

2.1. Expression de la longueur parcourue par un proton sur le demi-tour de rayon $R_{0}$

$$l=\pi\,R_{0}=\dfrac{\pi m_{P}v_{0}}{q_{P}B}$$

 

2.2. Expression du temps t mis par ce proton pour effectuer ce demi-tour

 

\begin{eqnarray} t &=&\dfrac{l}{v_{0}}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{\dfrac{\pi m_{P}v_{0}}{q_{P}B}}{v_{0}}\nonumber\\\\\Rightarrow\,t &=&\dfrac{\pi m_{P}}{q_{P}B} \end{eqnarray}

 

2.3. Ce temps est indépendant de la vitesse d'entrée du proton dans le «dee»

Calcul de la valeur de $t.$

 

\begin{eqnarray} \Rightarrow\,t &=&\dfrac{\pi m_{P}}{q_{P}B}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{\pi\times 1.67\cdot 10^{-27}}{1.6\cdot 10^{-19}\times 1.0}\nonumber\\\\\Rightarrow t &=&3.3\cdot 10^{-8}s \end{eqnarray}

 

3. Calcul de la fréquence $f$

 

\begin{eqnarray} f &=&\dfrac{1}{2t}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{1}{2\times 3.3\cdot 10^{-8}}\nonumber\\\\\Rightarrow f &=&15\cdot 10^{-8}s \end{eqnarray}

 

4.1. Expression littérale de la variation d'énergie cinétique $\Delta E_{c}$ du proton

 

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit :

 

\begin{eqnarray} \Delta E_{c} &=&\sum\,W_{\overrightarrow{F}_{\text{EXT}}}\nonumber\\\\\Rightarrow\Delta E_{c} &=& W_{SA}\left(\overrightarrow{F}\right)\nonumber\\\\ &=& q_{P}U_{M} \end{eqnarray}

 

Calcul de la variation d'énergie cinétique $\Delta E_{c}$ du proton

 

\begin{eqnarray}  \Delta E_{c} &=&q_{P}U_{M}\nonumber\\\\ &=& 1.6\cdot 10^{-19}\times 2\cdot 10^{3}\nonumber\\\\\Rightarrow\Delta E_{c} &=& 3.2\cdot 10^{-16}J \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} \Delta E_{c} &=&\dfrac{q_{P}U_{M}}{e}\nonumber\\\\\Rightarrow\Delta E_{c} &=& 2\cdot 10^{3}eV \end{eqnarray}

 

$\left(e=q_{P}=1.6\cdot 10^{-19}C\right)$

 

4.2. Le rayon de la trajectoire du proton augmente à chaque fois qu'il traverse l'intervalle étroit puisque le rayon de la trajectoire augmente avec la vitesse. 

 

5. Calcul du nombre de tours que le proton décrits dans le cyclotron.

 

Le nombre de tours correspond à l'énergie finale de la particule divisée par l'énergie acquise à chaque tour.

 

\begin{eqnarray} n &=&\dfrac{\Delta E_{cf}}{2\Delta E_{c}}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{\dfrac{1}{2}m_{P}v^{2}-0}{2\Delta E_{c}}\nonumber\\\\\Rightarrow n &=&\dfrac{1.67\cdot 10^{-27}\times\left(2\cdot 10^{7}\right)^{2}}{4\times 3.2\cdot 10^{-16}}\nonumber\\\\ &=& 552\text{tours} \end{eqnarray}

 

6. Calcul de la valeur du rayon 

 

\begin{eqnarray} R &=&\dfrac{m_{P}v}{q_{P}B}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{1.67\cdot 10^{-27}\times 2\cdot 10^{7}}{1.6\cdot 10^{-19}\times 1.0}\nonumber\\\\\Rightarrow R &=&0.21\,m \end{eqnarray}

 

1) Expression de la force magnétique s'exerçant sur l'ion $X^{+}.$

 

$\overrightarrow{F_{m}}=e\vec{v}\wedge\overrightarrow{B}$ soit en module $F_{m}=evB$

 

Représentation sur un schéma du vecteur force $\overrightarrow{F_{m}}$ (Voir figure)

 

Sens du vecteur champ magnétique $\overrightarrow{B}$ (Voir figure)

 

2) Démontrons que le mouvement de l'ion $X^{+}$ dans la zone $IV$ est plan et uniforme

 

Système étudié : l'ion 

 

Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen

 

Bilan des forces appliquées : 

 

$-\ $la force magnétique $\overrightarrow{F_{m}}$ 

 

$-\ $le poids négligeable $\overrightarrow{P}$ devant la force magnétique

 

Le théorème du centre d'inertie s'écrit :

 

\begin{eqnarray} \overrightarrow{F_{m}} &=&m\vec{a}\nonumber\\\\\Rightarrow e\vec{v}\wedge\overrightarrow{B}\nonumber\\\\ &=&m\vec{a}\nonumber\\\\\Rightarrow \vec{a} &=&\dfrac{e\vec{v}\wedge\overrightarrow{B}}{m} \end{eqnarray}

 

$\vec{a}\perp\overrightarrow{B}\ ;\ \vec{v}\perp\overrightarrow{B}\text{ et }\vec{a}\perp\overrightarrow{v}$ 

 

La trajectoire est contenue dans un plan orthogonal $\overrightarrow{B}.$ 

 

Le mouvement est donc plan.

 

$\vec{a}\perp\vec{v}\Rightarrow\overrightarrow{a_{t}}=\vec{0}$

 

$\Rightarrow\,a_{t}=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0\Rightarrow\,v=cte$ 

 

Le mouvement est uniforme

 

3) Montrons que l'ion $X^{+}$ décrit dans cette zone un arc de cercle.

 

\begin{eqnarray} \overrightarrow{a_{t}} &=&\vec{0}\nonumber\\\\\Rightarrow\overrightarrow{a_{n}} &=&\overrightarrow{a}\nonumber\\\\\Rightarrow a_{n} &=&a\nonumber\\\\\Rightarrow\dfrac{v'^{2}}{R} &=&\dfrac{ev'B}{m}\nonumber\\\\\Rightarrow\,R &=&\dfrac{mv'}{eB}\nonumber\\\\ &=& cte \end{eqnarray}

 

L'ion $X^{+}$ décrit donc dans cette zone un arc de cercle

 

4) Expression le rayon du cercle trajectoire en fonction de $U'$, $m$, $e$ et $B.$

 

\begin{eqnarray} R &=&\dfrac{mv'}{eB}\nonumber\\\\\text{or }v' &=&\sqrt{\dfrac{2eU'}{m}}\nonumber\\\\\Rightarrow\,R &=&\dfrac{m\sqrt{\dfrac{2eU'}{m}}}{eB}\nonumber\\\\\Rightarrow\,R &=&\dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2mU'}{e}} \end{eqnarray}

 

5) Masse de l'ion $X^{+}$

 

\begin{eqnarray} O_{3}A &=&2R\nonumber\\\\ &=&\dfrac{2}{B}\sqrt{\dfrac{2mU'}{e}}\nonumber\\\\\Rightarrow\,O_{3}A^{2} &=&\dfrac{4}{B^{2}}\times\dfrac{2m U'}{e}\nonumber\\\\\Rightarrow m &=&\dfrac{eB^{2}O_{3}A^{2}}{8U'}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{1.6\cdot 10^{-19}\times(1.80)^{2}\times(0.069)^{2}}{8\times 8.00\cdot 10^{3}}\nonumber\\\\\Rightarrow m &=&3.86\cdot 10^{-26}Kg \end{eqnarray} 

 

Identification de la substance $X.$

 

\begin{eqnarray} m &=& Am_{P}\nonumber\\\\\Rightarrow A &=&\dfrac{m}{m_{P}}\nonumber\\\\\Rightarrow A &=&\dfrac{3.86\cdot 10^{-26}}{1.67\cdot 10^{-27}}\nonumber\\\\ &=&23 \end{eqnarray} 

 

L'élément est le sodium de symbole $Na$  

 

a) Valeur du champ électrique $\overrightarrow{E}$

 

Les particules ne sont pas déviées lorsque les deux forces électrique et magnétique auxquelles sont soumises se compensent.

 

\begin{eqnarray} \overrightarrow{F_{e}}+\overrightarrow{F_{m}} &=&\vec{0}\nonumber\\\\\Rightarrow q\overrightarrow{E}+q\vec{v}\wedge\overrightarrow{B} &=&\vec{0}\nonumber\\\\\Rightarrow\overrightarrow{E} &=&-\vec{v}\wedge\overrightarrow{B}\nonumber\\\\\Rightarrow\,E &=&vB\nonumber\\\\\Rightarrow\,v &=&\dfrac{E}{B}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{6.4\cdot 10^{6}}{0.32}\nonumber\\\\\Rightarrow\,v &=&20.10^{6}m\cdot s^{-1} \end{eqnarray}

 

Il ne se passe rien si q change de signe puisque cette vitesse est indépendante de la charge.

 

b) i) Montons que les particules de même rapport $\dfrac{q}{m}$ décrivent des trajectoires circulaires de même rayon $R.$ 

 

\begin{eqnarray} \overrightarrow{F_{m}} &=&q\vec{v}\wedge\overrightarrow{B}\nonumber\\\\ &=&m\vec{a}\nonumber\\\\\Rightarrow|q|vB &=&ma_{n}\nonumber\\\\\Rightarrow|q|vB &=&m\dfrac{|v^{2}|}{R}\nonumber\\\\\Rightarrow\dfrac{|q|}{m} &=&\dfrac{v}{RB} \end{eqnarray} 

 

$v=cte\;,\ m=cte\ ;\ \text{si }\dfrac{|q|}{m}=cte\Rightarrow\,R=cte$

 

Les particules de même rapport $q/m$ décrivent des trajectoires circulaires de même rayon $R.$

 

Calcul de $R.$

 

Le signe $q$ détermine le sens de la déviation.

 

ii) Montrons que $R=\left(d^{2}+a^{2}\right)/2d.$

 

\begin{eqnarray} R^{2} &=&a^{2}+x^{2}\nonumber\\\\\text{ or }R &=&d+X\nonumber\\\\\Rightarrow X &=&R-d\nonumber\\\\\Rightarrow R^{2} &=&a^{2}+(R-d)^{2}\nonumber\\\\\Rightarrow R^{2} &=&a^{2}+R^{2}-2dR+d^{2}\nonumber\\\\\Rightarrow 2dR &=&a^{2}+d^{2}\nonumber\\\\\Rightarrow R &=&\dfrac{a^{2}+d^{2}}{2d} \end{eqnarray} 

 

Valeur de $q/m$

 

\begin{eqnarray} \dfrac{q}{m} &=&\dfrac{v}{RB}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{2dv}{B\left(a^{2}+d^{2}\right)}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{2\times 10\cdot 10^{-2}\times 20\cdot 10^{6}}{0.32\times\left(\left(5.0\cdot 10^{-2}\right)^{2}+\left(10\cdot 10^{-2}\right)^{2}\right)}\nonumber\\\\\Rightarrow\dfrac{q}{m} &=&48\cdot 10^{6}CKg^{-1} \end{eqnarray}

 

Identification des particules

 

\begin{eqnarray} \dfrac{q}{m} &=& 48\cdot 10^{6}CKg^{-1}\nonumber\\\\\Rightarrow m &=&\dfrac{q}{48\cdot 10^{6}}\nonumber\\\\\Rightarrow Am_{P} &=&\dfrac{q}{48\cdot 10^{6}}\nonumber\\\\ A &=&\dfrac{q}{48\cdot 10^{6}m_{P}}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{q}{48\cdot 10^{6}\times 1830m_{e}}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{1.6\cdot 10^{-19}}{48\cdot 10^{6}\times 1830\times 9.1\cdot 10^{-31}}\nonumber\\\\\Rightarrow A &=&2 \end{eqnarray}  

 

Les particules sont des deutériums 

 

1) Établissement de l'expression de $r_{1}$ et $r_{2}$ en fonction de $q$, $m$, $B$ et des vitesses respectives $v_{1}$ et $v_{2}$ de la particule.

 

\begin{eqnarray} F_{m} &=&ma_{n}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{mv^{2}}{r}\nonumber\\\\ &=&qvB\nonumber\\\\\Rightarrow\,r &=&\dfrac{mv}{qB}_nonumber\\\\\Rightarrow\,r_{1} &=&\dfrac{mv_{1}}{qB}\nonumber\\\\\text{et}\quad r_{2} &=&\dfrac{mv_{2}}{qB} \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} \dfrac{r_{1}}{3} &=&r_{2}\nonumber\\\\\Rightarrow r_{2} &=&3r_{1}\nonumber\\\\\Rightarrow r_{2} &>& r_{1}\nonumber\\\\\Rightarrow\dfrac{mv_{2}}{qB} &>&\dfrac{mv_{1}}{qB}\nonumber\\\\\Rightarrow v_{2} &>& v_{1} \end{eqnarray}

 

Lorsque la particule ralentit, sa vitesse diminue. La particule se déplace de $II$ vers de $I$

Détermination de $v_{1}$ et $v_{2}.$

 

$v_{2}=2\cdot 10^{7}m\cdot s^{-1}$

 

$r=\dfrac{mv}{qB}\Rightarrow\dfrac{qB}{m}=\dfrac{v}{r}$

 

\begin{eqnarray} \dfrac{v_{1}}{r_{1}} &=&\dfrac{v_{2}}{r_{2}}\nonumber\\\\\Rightarrow v_{1} &=&\dfrac{r_{1}v_{2}}{r_{2}}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{1}{3}\times 2\cdot 10^{7}\nonumber\\\\\Rightarrow v_{1} &=& 6.7\cdot 10^{6}m\cdot s^{-1} \end{eqnarray} 

 

2) Le signe de la particule est positif. Le trièdre doit être direct et la particule se déplace   de $II$ vers de $I$

 

3) Calcul de la charge massique $\dfrac{q}{m}$

 

\begin{eqnarray} \dfrac{q}{m} &=&\dfrac{v}{r_{2}B}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{2.0\cdot 10^{7}}{3\times 14\cdot 10^{-2}\times 0.50}\nonumber\\\\\Rightarrow\dfrac{q}{m} &=&9.5\cdot 10^{7}CKg^{-1} \end{eqnarray}

 

Identification de la particule

 

\begin{eqnarray} \dfrac{q}{m} &=&9.5\cdot 10^{7}CKg^{-1}\nonumber\\\\\Rightarrow q &=&9.5\cdot 10^{7}m\nonumber\\\\\Rightarrow Ze &=&9.5\cdot 10^{7}m\nonumber\\\\\Rightarrow Z &=&\dfrac{9.5\cdot 10^{7}m}{e}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{9.5\cdot 10^{7}\times 1.67\cdot 10^{-27}}{1.6\cdot 10^{-19}} \end{eqnarray} 

 

$Z=1$ La particule est un proton 

 

1) a) La tension doit être établie de façon que la plaque $P_{2}$ soit chargée négativement.

 

b) Montrons que l'énergie cinétique, est indépendante de l'isotope envisagé.

 

Système étudié : l'ion 

 

Référentiel d'étude : terrestre

 

Bilan des forces appliquées : 

 

$-\ $la force électrique $\overrightarrow{F}$

  

$-\ $le poids négligeable $\overrightarrow{P}$ devant la force électrique

 

Le théorème de l'énergie cinétique entre $P_{1}$ et $P_{2}$ s'écrit :

 

\begin{eqnarray} \Delta E_{c} &=& W\left(\overrightarrow{F}\right)\nonumber\\\\ &=&2eU\nonumber\\\\\Rightarrow E_{C_{p_{2}}}-0 &=&2eU\nonumber\\\\\Rightarrow E_{C_{p_{2}}} &=&2eU  \end{eqnarray}

 

L'énergie cinétique, ne dépend que de la tension accélératrice

 

\begin{eqnarray} E_{C_{p_{2}}} &=& 2eU\nonumber\\\\ &=&2\times 1.6\cdot 10^{-19}\times 1000\nonumber\\\\\Rightarrow\,E_{C_{p_{2}}} &=&3.2\cdot 10^{-16}J \end{eqnarray}

 

c) Calcul de la vitesse acquise par les ions $_{54}^{129}Xe^{+}$

 

\begin{eqnarray} \dfrac{1}{2}mv^{2} &=& E_{C_{p_{2}}}\nonumber\\\\\Rightarrow\,v &=&\sqrt{\dfrac{2E_{C_{p_{2}}}}{129m_{P}}}\nonumber\\\\ &=&\sqrt{\dfrac{2\times 3.2\cdot 10^{-16}}{129\times 1.67\cdot 10^{-27}}}\nonumber\\\\\Rightarrow\,v &=&5.45\cdot 10^{4}m\cdot s^{-1} \end{eqnarray} 

 

d) Expression, en fonction de $x$ et $v$, de la vitesse $v'$ acquise par les ions $_{54}^{x}Xe^{+}$ en $O_{2}$

 

$\dfrac{1}{2}\times 129m_{P}v^{2}=2eU$ ;

 

\begin{eqnarray} \dfrac{1}{2}xm_{P}v'^{2} &=& 2eU\nonumber\\\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}xm_{P}v'^{2} &=&\dfrac{1}{2}\times 129m_{P}v^{2}\nonumber\\\\\Rightarrow\,v' &=&v\sqrt{\dfrac{129}{x}} \end{eqnarray}

 

2) Séparation des ions

 

a) Montrons que le mouvement est plan, circulaire et uniforme

 

Système étudié : l'ion

 

Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen

 

Bilan des forces appliquées : 

 

$-\ $la force magnétique $\overrightarrow{F_{m}}$

 

$-\ $le poids négligeable $\overrightarrow{P}$ devant la force magnétique

 

Le théorème de centre d'inertie s'écrit :

 

\begin{eqnarray} \overrightarrow{F_{m}} &=&m\vec{a}\nonumber\\\\\Rightarrow\,e\vec{v}\wedge\overrightarrow{B} &=&m\vec{a}\nonumber\\\\\Rightarrow\vec{a} &=&\dfrac{e\vec{v}\wedge\overrightarrow{B}}{m} \end{eqnarray}

 

$\vec{a}\perp\overrightarrow{B}\ ;\ \vec{v}\perp\overrightarrow{B}\quad\text{et}\quad\vec{a}\perp\vec{v}$ 

 

La trajectoire est contenue dans un plan orthogonal $\overrightarrow{B}$  

 

Le mouvement est donc plan

 

\begin{eqnarray} \vec{a}\perp\vec{v}\Rightarrow\vec{a_{t}} &=&\vec{0}\nonumber\\\\\Rightarrow\,a_{t} &=&\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\nonumber\\\\ &=&0\nonumber\\\\\Rightarrow\,v &=&cte \end{eqnarray}

 

Le mouvement est uniforme

 

\begin{eqnarray} \vec{a_{t}} &=&\vec{0}\nonumber\\\\\Rightarrow\,\vec{a_{n}} &=&\vec{a}\nonumber\\\\\Rightarrow\,a_{n} &=& a\nonumber\\\\\Rightarrow\dfrac{v^{2}}{R} &=&\dfrac{evB}{m}\nonumber\\\\\Rightarrow\,R &=&\dfrac{mv}{eB}\nonumber\\\\ &=&cte \end{eqnarray}

 

Le mouvement est circulaire

 

Expression du rayon de courbure $R.$ 

 

\begin{eqnarray} R &=&\dfrac{mv}{eB}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{129\times 1.67\cdot 10^{-27}\times 5.45\cdot 10^{4}}{1.6\cdot 10^{-19}\times 0.1}\nonumber\\\\\Rightarrow\,R &=&0.734m \end{eqnarray}

 

b) Valeur de $x$

 

\begin{eqnarray} AB &=&2R'-2R\nonumber\\\\ &=&2\left(\dfrac{xm_{P}v'}{eB}-\dfrac{129m_{P}v}{eB}\right)\nonumber\\\\ &=& 2\left(\dfrac{xm_{P}}{eB}v\sqrt{\dfrac{129}{x}}-\dfrac{129m_{P}v}{eB}\right)\nonumber\\\\ &=&2\left(\dfrac{m_{P}}{eB}v\sqrt{129x}-\dfrac{129m_{P}v}{eB}\right)\nonumber\\\\\Rightarrow\dfrac{m_{P}}{eB}v\sqrt{129x} &=&\dfrac{AB}{2}+\dfrac{129m_{P}v}{eB}\nonumber\\\\\Rightarrow\sqrt{129x} &=&\dfrac{eB\cdot AB}{2m_{P}v}+129\nonumber\\\\\Rightarrow\,x &=&\dfrac{1}{129}\left(\dfrac{eB\cdot AB}{2m_{P}v}+129\right)^{2}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{1}{129}\left(\dfrac{1.6\cdot 10^{-19}\times 0.1\times 8\cdot 10^{-2}}{2\times 1.67\cdot 10^{-27}\times 5.45\cdot 10^{4}}+129\right)^{2}\nonumber\\\\\Rightarrow\,x &=&143 \end{eqnarray}

 

 

1) Calcul des énergies correspondant à $n=1\;,\ 2\;,\ 3$ et $\infty$

 

$E_{n}=\dfrac{-13.6}{n^{2}}$

 

$E_{1}=\dfrac{-13.6}{1^{2}}=-13.6\,eV$

 

$E_{2}=\dfrac{-13.6}{2^{2}}=-3.40\,eV$

 

$E_{3}=\dfrac{-13.6}{3^{2}}=-1.51\,eV$

 

$E_{\infty}=\dfrac{-13.6}{\infty}=0\,eV$

 

Représentation du diagramme des niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène.

 

 

2) L'énergie minimale que l'on doit fournir à un atome d'hydrogène pour qu'il passe de l'état fondamental à un état excité correspond à une transition électronique de l'état fondamental au premier état excité $($niveau $n=2)$

 

$E=E_{2}-E_{1}=-3.40-(-13.6)$

 

$\Rightarrow E=10.2eV$

 

 

3) Calcul de la longueur d'onde correspondant à cette transition.

 

\begin{eqnarray} E &=&\dfrac{hC}{\gamma}\nonumber \\\\\Rightarrow\gamma&=&\dfrac{hC}{E}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{6.62\cdot 10^{-34}\times 3.0\cdot 10^{8}}{10.2\times 1.6\cdot 10^{-19}}\nonumber\\\\\Rightarrow\gamma &=&1.22\cdot 10^{-7}m \end{eqnarray} 

 

4) Calcul de la longueur d'onde de la radiation susceptible d'ioniser l'atome d'hydrogène

 

\begin{eqnarray}  E_{\infty-E_{1}} &=&\dfrac{hC}{\gamma}\nonumber\\\\\Rightarrow\gamma&=&  \dfrac{hC}{E_{\infty}-E_{1}}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{6.62\cdot 10^{-34}\times 3.0\cdot 10^{8}}{(0-(-13.6))\times 1.6\cdot 10^{-19}}\nonumber\\\\\Rightarrow\gamma&=&9.13\cdot 10^{-8}m \end{eqnarray}  

1) a) Montrons que le mouvement de l'électron est uniforme

 

 

Système étudié : l'électron

 

Référentiel d'étude : de laboratoire

 

Bilan des forces appliquées : la force électrostatique $\overrightarrow{F}$ et le poids négligeable $\overrightarrow{P}$ devant la force électrostatique

 

Le théorème du centre d'inertie s'écrit : 

 

\begin{eqnarray} \overrightarrow{F} &=&m\vec{a}\nonumber\\\\\Rightarrow -\dfrac{ke^{2}}{r^{2}}\overrightarrow{u_{OP}} &=&m\vec{a} \end{eqnarray} 

 

Projetons cette relation dans le repère de Frenet $\left(O\;,\ \overrightarrow{u_{t}}\;,\ \overrightarrow{u_{n}}\right)$ 

 

$-\ $suivant : $\overrightarrow{u_{t}}$ : 

 

\begin{eqnarray} 0 &=&ma_{t}\nonumber\\\\\Rightarrow m\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} &=&0\nonumber\\\\\Rightarrow v &=&\text{constante} \end{eqnarray}

 

; le mouvement est donc uniforme

 

b) Expression de la vitesse $v$ en fonction de $k$, $e$, $r$ et $m$

 

$-\ $suivant : $\overrightarrow{u_{n}}$

 

\begin{eqnarray} \dfrac{ke^{2}}{r^{2}} &=&ma_{n}\nonumber\\\\\Rightarrow m\dfrac{v^{2}}{r} &=&\dfrac{ke^{2}}{r^{2}} \nonumber\\\\\Rightarrow v &=&\sqrt{\dfrac{ke^{2}}{mr}} \end{eqnarray}

  

c) Expression de l'énergie cinétique en fonction de $k$, $e$, $r$ et $m$

 

\begin{eqnarray} E_{C} &=&\dfrac{1}{2}mv^{2}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{1}{2}m\left(\sqrt{\dfrac{ke^{2}}{mr}}\right)^{2} \nonumber\\\\\Rightarrow E_{C} &=&\dfrac{1}{2}\dfrac{ke^{2}}{r} \end{eqnarray}

 

d) Exprimer en énergie mécanique $E$ en fonction de $k$, $e$ et $r$  

 

\begin{eqnarray} E &=& E_{C}+E_{P}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{1}{2}\dfrac{ke^{2}}{r}-\dfrac{ke^{2}}{r}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{1}{2}\dfrac{ke^{2}}{r}-\dfrac{2ke^{2}}{2r} \nonumber\\\\\Rightarrow E &=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{ke^{2}}{r}\nonumber\\\\ E_{r\;\rightarrow\;+\infty} &=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{ke^{2}}{r}=0 \end{eqnarray}

 

2) a) Détermination de l'expression de $r_{n}$ en fonction des constantes $k$, $K$, $m$, $e$ et $n.$

 

\begin{eqnarray} m\dfrac{v^{2}}{r} &=&\dfrac{ke^{2}}{r^{2}}\nonumber\\\\\Rightarrow v^{2}&=&\dfrac{ke^{2}}{mr} \end{eqnarray}  

 

\begin{eqnarray} v_{n}r_{n}&=&\dfrac{nK}{m}\nonumber\\\\\Rightarrow\left(v_{n}r_{n}\right)^{2}&=&\left(\dfrac{nK}{m}\right)^{2}\nonumber\\\\\Rightarrow v_{n}^{2}r_{n}^{2}&=&\dfrac{n^{2}K^{2}}{m^{2}}\nonumber\\\\\Rightarrow \dfrac{ke^{2}}{mr_{n}}r_{n}^{2}&=&\dfrac{n^{2}K^{2}}{m^{2}}\nonumber\\\\\Rightarrow r_{n}&=&\dfrac{n^{2}K^{2}m}{ke^{2}m^{2}}\nonumber\\\\\Rightarrow r_{n}&=&\dfrac{K^{2}}{ke^{2}m}n^{2} \end{eqnarray}

 

Expression de $r_{n}$ en fonction de $r_{1}.$

 

\begin{eqnarray} r_{n}&=&\dfrac{K^{2}}{ke^{2}m}n^{2}\nonumber\\\\\Rightarrow r_{1}&=&\dfrac{K^{2}}{ke^{2}m}\nonumber\\\\\Rightarrow r_{n}&=&r_{1}n^{2} \end{eqnarray} 

 

Calculer $r_{1}$

 

\begin{eqnarray} r_{1}&=&\dfrac{K^{2}}{ke^{2}m}\nonumber\\\\&=&\dfrac{\left(1.054\cdot 10^{-34}\right)^{2}}{9.000\cdot 10^{9}\times\left(1.602\cdot 10^{-19}\right)^{2}\times9.109\cdot 10^{-31}}\nonumber\\\\\Rightarrow r_{1}&=&5.200\cdot 10^{-11}m \end{eqnarray} 

 

b) Détermination de l'expression de $E_{n}$, énergie mécanique de l'électron  sur le cercle de rayon $r_{n}$, en fonction de $k$, $K$, $m$, $e$ et $n$

 

\begin{eqnarray} E&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{ke^{2}}{r}\nonumber\\\\\Rightarrow E_{n}&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{ke^{2}}{\dfrac{K^{2}}{ke^{2}m}}n^{2}\nonumber\\\\\Rightarrow E_{n}&=&-\dfrac{k^{2}e^{4}m}{2K^{2}n^{2}} \end{eqnarray} 

 

Expression de $E_{n}$ en fonction de $E_{1}$

 

\begin{eqnarray} E_{n}&=&-\dfrac{k^{2}e^{4}m}{2K^{2}n^{2}}\nonumber\\\\\Rightarrow E_{1}&=&-\dfrac{k^{2}e^{4}m}{2K^{2}}\nonumber\\\\\Rightarrow E_{n}&=&-\dfrac{E_{1}}{n^{2}} \end{eqnarray}  

 

c) Calculer $E_{1}$ et $E_{2}$ en électronvolts.

 

\begin{eqnarray} E_{1}&=&-\dfrac{k^{2}e^{4}m}{2K^{2}}\nonumber\\\\ E_{1}&=&-\dfrac{\left(9.000\cdot 10^{9}\right)^{2}\left(1.602\cdot 10^{-19}\right)^{4}\times 9.109\cdot 10^{-31}}{2\times\left(1.054\cdot 10^{-34}\right)^{2}}\times\dfrac{1}{1.602\cdot 10^{-19}}\left(1eV=1.602\cdot 10^{-19}J\right)\nonumber\\\\\Rightarrow E_{1}&=&-13.6eV \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} E_{2}&=&-\dfrac{E_{1}}{2^{2}}\nonumber\\\\ &=&-\dfrac{13.6}{2^{2}}\nonumber\\\\\Rightarrow E_{2}&=&-3.4eV \end{eqnarray}

 

L'absorption de l'énergie par l'atome d'hydrogène est la cause du passage de l'énergie de l'électron de $E_{1}$ à $E_{2}.$

 

1) Le nom du nombre noté $"n"$ qui apparaît dans le diagramme est le nombre quantique principal.

 

2) On dit qu'un atome est dans son état fondamental lorsqu'il se trouve dans le plus bas niveau d'énergie (niveau stable).

 

L'état fondamental de l'atome d'hydrogène correspond à $n=1.$

 

3) Lorsqu'une population d'atomes d'hydrogène est au repos, sans apport d'énergie de la part de l'extérieur, alors ces atomes se trouvent dans l'état fondamental.

 

4) Le niveau noté : $n=\infty$ représente l'atome à l'état ionisé.

 

5) Énergie minimale nécessaire pour ioniser un atome d'hydrogène à partir de  son état fondamental

 

$\Delta E=E_{\infty}-E_{1}=0-(-13.6)\Rightarrow\Delta E=13.6eV$

 

6) Un atome d'hydrogène qui a la configuration électronique $n=3$ n'est pas dans son état fondamental, mais dans un état appelé état excité.

 

7) L'atome d'hydrogène ne peut pas se trouver dans un état situé entre les niveaux $n=1$ et $n=2$, puisque le premier état excité correspond à $n=2.$

 

8)

 

$\bullet\ $On peut exciter cet atome par un photon de lumière dont l'énergie correspond à une transition électronique du niveau $n=3$ à un niveau supérieur.

 

$\bullet\ $Montrons qu'en se dés excitant vers le niveau $2$, il émet un photon de longueur d'onde : $\lambda=656.1\,nm.$

 

\begin{eqnarray} E_{2}-E_{3}&=&-\dfrac{hC}{\gamma}\nonumber\\\\\Rightarrow\gamma&=&\dfrac{hC}{E_{3}-E_{2}}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{6.62\cdot 10^{-34}\times 3.0\cdot 10^{8}}{(-1.51-(-3.40))\times1.6\cdot 10^{-19}}\nonumber\\\\\Rightarrow\gamma&=&6.567\cdot 10^{-7}m\nonumber\\\\\Rightarrow\gamma&=&656.7nm \end{eqnarray} 

 

Cette radiation est visible, car sa longueur d'onde dans le vide est comprise entre $400\,nm$ et $800\,nm.$

 

9) Détermination de la transition électronique correspondant à l’émission de cette radiation. 

 

\begin{eqnarray} E_{2}-E_{n}&=&-E\nonumber\\\\\Rightarrow E_{n}&=& E_{2}+E \nonumber\\\\\Rightarrow n^{2} &=&\dfrac{E_{1}}{-E-E_{2}}\nonumber\\\\\Rightarrow n &=& \sqrt{\dfrac{-E_{1}}{E+E_{2}}}\nonumber\\\\\Rightarrow n &=&\sqrt{\dfrac{-13.6}{2.54+(-3.40)}}\nonumber\\\\\Rightarrow n&=&4 \end{eqnarray} 

 

Calcul de la longueur d'onde correspondante

 

\begin{eqnarray} \dfrac{hC}{\gamma} &=&E\nonumber\\\\\Rightarrow\gamma&=&\dfrac{hC}{E}\nonumber\\\\ &=&\dfrac{6.62\cdot 10^{-34}\times 3.0\cdot 10^{8}}{2.54\times 1.6\cdot 10^{-19}}\nonumber\\\\\Rightarrow\gamma&=&4.89\cdot 10^{-7}m\nonumber\\\\\Rightarrow\gamma&=&489 nm \end{eqnarray}

 

10) Une lampe à décharge à hydrogène émet un spectre discontinu.

1.1.1 Détermination de l'énergie minimale pour ioniser l'atome d'hydrogène  à partir de son état fondamental $(n=1).$

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7 : Étoile Vega et son spectre

Exercice 8