Bac Complexe

BAC S COMPLEXE Réunion juin 2000

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité : 2~cm).
On dit qu'un triangle équilatéral ABC est
direct si et seulement si $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~
\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{3}~~[2\pi]$. On pose
j $= \text{e}^{2\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

Vérifier que 1 ,~j et j$^2$
sont solutions de l'équation $z^3 = 1$.

Calculer $(1 - \text{j})(1 +\text{j}+\text{j}^2)$ ; en déduire que $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$.

BAC S COMPLEXE Metropole_juin 2000

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct
\Ouv, unité graphique 4~cm, on
considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et B d'affixe $z_{\text{B}}
= 2$.
Soit un réel $\theta$ appartenant à l'intervalle $]0 ~;~ \pi[$.
On note $M$ le point d'affixe $z = 1 + \text{e}^{2\text{i}\theta}$.

BAC S COMPLEXE Asie juin 2000

Dans le plan complexe $(P)$ muni d'un repère orthonormal direct \Oij, d'unité 2~cm, on considère les points A,~ B,~ C et D d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = -~\text{i}~;~ z_{\text{B}} = 3~;~ z_{\text{C}} = 2 +
3\text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{D}} = -~1 + 2\text{i}.\]

Placer sur une figure les points A,~ B,~ C et D.

BAC S COMPLEXE Antilles_juin 2000

Pour tout nombre complexe $z$, on pose $P(z) = z^3 - 3 z^2 + 3z +
7$.

Calculer $P(-~1)$ .
Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$, on ait :

\[P(z) = (z+1)(z^2 + az + b).\]

Résoudre dans C l'équation $P(z) = 0$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. (Unité graphique : 2~cm.) On désigne par $A,~B,~C$ et $G$
les points du plan d'affixes respectives

BAC S COMPLEXE Amérique du Nord juin 2000

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.
Dans tout l'exercice, $z$ est un nombre complexe non nul.
à tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z' =
-~\dfrac{1}{z}$, puis le point $I$ milieu du segment $[MM']$ . L'affixe de
$I$ est donc $\dfrac{1}{2}\left(z - \dfrac{1}{z}\right)$.
Note : les questions \textbf{2., 3.} et \textbf{4.} sont largement indépendantes.

BAC S COMPLEXE NlleCaledonie_dec 2000

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation

\[ z^2 - 2z + 2 = 0.\]

Préciser le module et un argument de chacune des solutions.

En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation

\[(-\text{i}z + 3\text{i} + 3)^2 - 2(-\text{i}z+3\text{i}+3)+2 = 0.\]

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
$z_{\text{A}} = 1 + \text{i},~ z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},~z_{\text{C}}= 2z_{\text{B}}$.

BAC S COMPLEXE AmeriqueSud_nov 2000

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2 cm).

Donner l'écriture algébrique du nombre complexe de
module 2 et dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$.
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation i$z - 2 = 4\text{i} - z$. On donnera
la solution sous forme algébrique.

On désigne par I, A et B les points d'affixes respectives 1, 2i et 3 + i.

BAC S COMPLEXE Pondichery_avril 2001

On considère l'application $f$ qui à tout nombre complexe $z$ différent de 1, associe le nombre complexe

\[f(z) = \frac{2 - \text{i}z}{1 - z}.\]

L'exercice étudie quelques propriétés de $f$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité
graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions \textbf{1.} et \textbf{2.}.

A est le point d'affixe 1 et B celui d'affixe $- 2$i.

On pose $z =x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels.

BAC S COMPLEXE Polynésie juin 2001

Dans le plan complexe $P$ rapporté au repère orthonormal direct
\Ouv, unité graphique 2 cm, on considère les points A et B, d'affixes respectives
$z_{\text{A}}$ = - 1 et $z_{\text{B}}$ = 3i.
Soit la fonction $f$ de $P$ privée du point A dans $P$ qui à tout point $M$
d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : $z' =
\text{i}\left(\dfrac{z - 3\text{i}}{z + 1}\right)$ \quad (1).

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