Bac Complexe

BAC S COMPLEXE Liban_juin 2001

{Les deux parties sont indépendantes.}

\textbf{Partie A}

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct
\Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 3$ + i et $z_{\text{B}} = 1 + 2$i.

Exprimer le complexe $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme
algébrique puis sous forme trigonométrique.
En déduire une mesure en radians de l'angle
$\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OB}}
\right).$

\textbf{Partie B}

BAC S COMPLEXE Métropole juin 2001

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
$(O,\vec{u},\vec{v})$ [unité graphique : 6~cm].

On considère la suite $(\alpha_n)$ de nombres réels définie par
$\alpha_0 = \dfrac{\pi}{2}$ et,
pour tout entier naturel $n,~ \alpha_{n + 1} = \alpha_n + \dfrac{5\pi}{6}$.

BAC S COMPLEXE Asie juin 2001

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z~ (z \neq -~1)$
associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
\[z' = \dfrac{\text{i}z- 2}{z+ 1}.\]
Soient A, B et C les points d'affixes respectives $a = -~1,~ b = 2$i et
$c = $i.

BAC S COMPLEXE Antilles_juin 2001

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Ouv, on désigne par $M(z)$ le point $M$ ayant pour affixe $z$.

Placer sur une figure les points A(2 + i), B(2i),
C$(- 4 + 3\text{i})$ et D$(- 8)$, en prenant 1 cm pour unité graphique.
Soit $f$ la transformation du plan qui, à tout point $M(z)$, associe
le point $M'(z')$ tel que :
\[z' = (1 + 2\text{i})z - 4 - 2\text{i}.\]

BAC S COMPLEXE Polynesie_sept 2001

Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 4~cm, on considère les points A, B, C, D d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 2\text{i}, \quad z_{\text{B}} = \text{i}, \quad
z_{\text{C}} = -1 + \text{i},\quad z_{\text{D}} =1 + \text{i}.\]

\textsl{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure
de l'exercice.}

Soit la fonction $f$ de $\mathcal{P}$ - \{B\} dans $\mathcal{P}$
qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$
où

BAC S COMPLEXE Metropole_sept 2001

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} direct.

Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe $- \text{i}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$
par :

\[ f(z) =\dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}}.\]

Vérifier que pour tout $z$ de
$\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$

\[f\left(z\right) = - \text{i} + \frac{2}{z - \text{i}}.\]

Démontrer que - i n'a pas d'antécédent par $f$.

Déterminer les antécédents de $0$ et de i par $f$.

BAC S COMPLEXE Antilles_sept 2001

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes
l'équation d'inconnue $z$ :

\[z^2 + 8z\sqrt{3} + 64 = 0.\]

On considère les points A et B qui ont pour affixes
respectives les nombres complexes $a = - 4\sqrt{3} - 4$i et $b = - 4\sqrt{3} + 4$i.

Calculer les distances OA, OB et AB.

En déduire la nature du triangle OAB.

BAC S COMPLEXE Antilles_sept 2001

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $Ouv$.
Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes
l'équation d'inconnue $z$ :
\[z^2 + 8z\sqrt{3} + 64 = 0.\]
On considère les points $A$ et $B$ qui ont pour affixes respectives les nombres complexes $a = - 4\sqrt{3} - 4$i et $b = - 4\sqrt{3} + 4$i.

Calculer les distances $OA$, $OB$ et $AB$.

BAC S COMPLEXE Pondichery_avril 2002

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} ; unité
graphique 2~cm. On désigne par A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1$,
et par $(\mathcal{C})$ le cercle de centre A et de rayon 1.

\textbf{Partie A}

Soit F le point d'affixe 2, B le point d'affixe $z_{\text{B}} = 1 +
\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et E le point d'affixe
$(1 + z_{\text{B}}^2)$.

Montrer que le point B appartient au cercle
$(\mathcal{C})$.

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