Bac Complexe

Le plan complexe est rapporté àun repère orthonormal direct \Ouv{}
[unité graphique : 2~cm].

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0$.
On pose $a=\sqrt{3}+\text{i}$ et $b=\sqrt{3}-\text{i}$. Écrire $a$ et $b$ sous
forme exponentielle et placer les points A et B d'affixes
respectives $a$ et $b$.

Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Calculer l'affixe $a'$ du point $A'$ image du point A par $r$. Écrire $a'$ sous forme algébrique et placer $A'$ sur la figure précédente.

Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ rapporté au repère
orthonormal direct \Ouv, on considère les quatre points A, B, C et D d'affixes respectives $3,~ 4\text{i},~ - 2 + 3\text{i}$ et $1 - \text{i}$.

Placer les points A, B, C et D dans le plan.

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.

On considère dans l'ensemble des complexes les équations :
\[z^2 -(1 + 3\text{i})z -6 + 9\text{i} = 0~~ (1) \quad \text{et} \quad
z^2 -(1 + 3\text{i})z + 4 + 4\text{i} = 0~~ (2)\]

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unité graphique.

\vspace{0,2cm}

On considère l'application F du plan dans lui même qui, à tout point $M$ d'affixe
$z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :
\[z'= (1 + \text{i})z + 2.\]

Soit A le point d'affixe $-2 + 2$i.

Déterminer les affixes des points $\text{A}'$ et B vérifiant respectivement
A$'$ = F(A) et F(B) = A.

Méthode de construction de l'image de $M$.

On considère le polynô™me $P$ de la variable complexe $z$, dŽéfini par :

\[P(z) = z^3 + (14 - \text{i}\sqrt{2})z^2 + \left(74 -
14\text{i}\sqrt{2}\right)z - 74\text{i}\sqrt{2}.\]

DéŽterminer le nombre rŽéel $y$ tel que i$y$ soit solution de l'Žéquation $P(z) = 0$.

Trouver deux nombres rŽéels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, on ait $P(z) = (z - \text{i}\sqrt{2})(z^2 + az + b)$

RŽésoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'Žéquation

$P(z)=0$.