Bac Complexe

BAC S COMPLEXE Réunion septembre 2004

\textbf{Partie A}

Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :

\[z^2 - 2z + 4 = 0.\]

Les solutions seront notées $z'$ et $z'',~z'$ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive.

Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.

Donner la valeur exacte $(z')^{2004}$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.

\textbf{Partie B}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{}; (unité graphique : 2~cm).

BAC S COMPLEXE Calédonie novembre 2004

Dans le plan complexe rapportŽ ˆ un repère orthonormal direct \Ouv, on considèrel'application $f$ du plan dans lui-même qui, ˆà tout point $M$
d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = z^2 - 4z.\]

Soient A et B les points d'affixes
$z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 3 + \text{i}$.

Calculer les affixes des points A$'$ et B$'$ images des points A
et B par $f$.

BAC S COMPLEXE Polynesie_sept 2004

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unitŽé
graphique.

Pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ on considère les points
$M'$ et $M''$ d'affixes respectives

\[z' = z - 2 \qquad \text{et} \qquad z'' = z^2.\]

DŽéterminer les points $M$ pour lesquels
$M''= M$.

DŽéterminer les points $M$ pour lesquels $M'' = M'$.

BAC S COMPLEXE Antilles_sept 2004

\Ouv{} est un repère orthonormal du plan $\mathcal{P}$.
Soit A le point d'affixe 1 ; soit B le point d'affixe $- 1$.
Soit $F$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de O dans $\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$
distinct de O, d'affixe $z$ , associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'= \dfrac{-1}{\overline{z}}$.

BAC S COMPLEXE Amérique du Nord mai 2004

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

On veut rŽésoudre dans $\mathbb{C}$ l'Žéquation

\[(\text{E})\qquad : z^3 + 4z^2 + 2z - 28 = 0.\]

DéŽterminer deux rŽéels $a$ et $b$ tels que l'Žéquation (E)
s'Žécrive :

\[(z-2)(z^2 + az + b) = 0.\]

RŽésoudre (E)

On note (H) l'ensemble des points $M$ du plan complexe d'affixe $z$ vŽérifiant :

\[z^2 - 4 = 4 - \overline{z}^2.\]

On note $x$ et $y$ les parties rŽéelle et imaginaire de l'affixe $z$ d'un point $M$.

BAC S COMPLEXE Antilles_juin 2004

{Pour chaque question, une seule réŽponse est exacte. Chaque rŽéponse juste rapporte $1$ point. Une absence de rŽéponse n'est pas sanctionnŽée. Il sera retiréŽ $0,5$ point par réŽponse fausse. On ne demande pas de justifier. La
note finale de l'exercice ne peut être infŽérieure ˆà zéŽro.}

On pose $z = - \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \text{i}\sqrt{2 - \sqrt{2}}$.

La forme algéŽbrique de $z^2$ est :

BAC S COMPLEXE Asie_juin 2004

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapportŽé au repère orthonormal direct
$\left(\text{O},~\overrightarrow{\text{e}_1},~\overrightarrow{\text{e}_2}\right)$,~
unitéŽ graphique 1 cm.

Soit A le point d'affixe 3i. On appelle $f$ l'application qui, ˆà tout point $M$ d'affixe $z$, distinct de $A$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ dŽéfinie par :

\[ z' = \dfrac{3\text{i}z - 7}{z - 3\text{i}}.\]

Recherche des points invariants par $f$.

DéŽvelopper $(z- 7\text{i}) (z+ \text{i})$.

BAC S COMPLEXE Etranger_juin 2004

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unitŽé graphique : 2 ~cm.

On appelle A le point d'affixe $- 2\text{i}$.

À tout point $M$ du plan d'affixe $z$, on associe le point
$M'$ d'affixe

\[z'= -2\overline{z} + 2\text{i}.\]

On considère le point B d'affixe $b = 3-2\text{i}$.

DŽéterminer la forme algŽébrique des affixes $a'$ et $b'$ des points $A'$ et
$B'$ associŽés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le
dessin.

BAC S COMPLEXE Metropole_juin 2004

Dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Montrer que $(1 + \text{i})^6 = - 8\text{i}$.

On considère l'équation (E) : $z^2 = - 8\text{i}$.

Déduire de \textbf{1.} une solution de l'équation (E).

L'équation (E) possède une autre solution ; écrire cette
solution sous forme algébrique.

Déduire également de \textbf{1.} une solution de l'équation (E') $z^3 = - 8\text{i}$.

BAC S COMPLEXE Liban_juin 2004

Le plan complexe est rapportŽé au repère \Ouv. On prendra pour unitéŽ graphique 2~cm.

RŽésoudre dans $\mathbb{C}$ l'Žéquation

\[(z-2\text{i})\left(z^2 - 2z + 2\right) = 0.\]

Donner les solutions sous forme algŽébrique et sous forme exponentielle (justifier
les rŽéponses).

Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 +
\text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}.$

à tout complexe $z$ diffŽérent de ${\text{A}}$ on associe le complexe

\[z' = \dfrac{z - 2\text{i}}{z - 1 - \text{i}}.\]

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