Bac Complexe

BAC S COMPLEXE Antilles_sept 2002

Dans le plan complexe rapportŽ au repère orthonormal direct \Ouv{}
(unité graphique : 5~cm), on considère les points A et B d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{B}}= -
\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}.\]

On dŽésigne par $(\mathcal{C})$ le cercle de centre O et de rayon 1.

Donner la forme trigonomŽétrique de $z_{\text{A}}$ et celle de $z_{\text{B}}$.

Dans la suite de l'exercice, $M$ dŽésigne un point de $(\mathcal{C})$
d'affixe $\text{e}^{\text{i}\alpha}$,

BAC S COMPLEXE AmeriqueSud_dec 2002

Dans le plan complexe, rapportŽé à ˆ un repère orthonorméŽ direct \Ouv{} on appelle A et B les points d'affixes respectives 2 et - 2. à tout point $M$ d'affixe $z,~z$ diffŽérent de 2, on associe le point $N$ d'affixe $\overline{z}$ et $M'$ d'affixe $z'$ tel que

\[ z' = \dfrac{2z - 4}{\overline{z} - 2} \]

Calculer $z'$ et $|\overline{z'}|$ lorsque $z = 5$ puis
lorsque $z = 1 + \text{i}$.

\vspace{0,3cm}

InterpréŽter gŽéoméŽtriquement $|z - 2|$ et
$|\overline{z'} - 2|$.

BAC S COMPLEXE AmeriqueSud_nov 2003

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unitŽé graphique 4 cm).

Soit I le point d'affixe 1. On note $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre
[OI] et on nomme son centre $\Omega$.

\textbf{Partie I}

On pose $a_0 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\:\text{i}$ et on note
A$_0$ son image.

Montrer que le point A$_0$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.

Soit B le point d'affixe $b$, avec $b = -1 + 2\text{i}$, et B$'$ le
point d'affixe $b'$ telle que $b'= a_0b$.

Calculer $b'$.

BAC S COMPLEXE Antilles_sept 2003

Soient A, B deux points distincts fixés d'un cercle $\mathcal{C}$ de centre I et $M$ un point quelconque de ce cercle $\mathcal{C}$.

Le point $D$ est défini par $\overrightarrow{\text{IA}}+ \overrightarrow{\text{IB}}+\overrightarrow{\text{I}M} = \overrightarrow{\text{I}D}$.

BAC S COMPLEXE Amérique du Nord juin 2003

Le plan est rapportŽé au repère orthonorméŽ \Ouv{} (unitŽé graphique : 2~cm).

On considère les points A, B et C d'affixes respectives
$z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3},$

$z_{\text{B}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = 2$.

Placer ces points sur un dessin.

VŽérifier que : $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}
}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}} } = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

En dŽéduire la nature du triangle ABC.

BAC S COMPLEXE Antilles_juin 2003

Le plan est rapportŽé au repère orthonormal \Ouv{} (unitŽé graphique : 2 cm). On considère les points A et B d'affixes respectives A($3 + 2$i) et B($-1 + 4$i). ExtŽérieurement au triangle OAB, on construit les deux carréŽs OA$_1$A$_2$A et OBB$_1$B$_2$.

En remarquant que A$_2$ est l'image de O par une rotation de centre A, dŽéterminer l'affixe de A$_2$. En dŽéduire l'affixe du centre I du carréŽ OA$_1$A$_2$A.

BAC S COMPLEXE Asie_juin 2003

$\Gamma$ est le cercle de centre O et de rayon $2\sqrt{2}$.

Le plan est rapportŽé ˆà un repère orthonormal \Ouv.

À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = z^2 - 2(1 + \text{i})z. \]

On pose $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$, où $x,~y,~x'$ et
$y'$ sont des nombres rŽéels.

Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.

BAC S COMPLEXE Metropole_juin 2003

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 2$,

$b = 1 - \text{i}$ et $c = 1 + \text{i}$.

Placer les points A, B et C sur une figure.

Calculer $\dfrac{c - a}{b - a}$. En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.

On appelle $r$ la rotation de centre A telle que
$r$(B) = C.

Déterminer l'angle de $r$ et calculer l'affixe $d$ du point D =
$r$(C).

Soit $\Gamma$ le cercle de diamètre [BC].

BAC S COMPLEXE Liban_juin 2003

RŽésoudre dans $\mathbb{C}$ l'Žéquation :

\[ 4z^2 - 12z + 153 = 0. \]

Dans le plan rapportŽé ˆà un repère orthonormŽé
\Ouv, d'unitŽé graphique 1 cm on considère les points A, B, C, P d'affixes
respectives :

$z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} +
6\text{i},~z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} - 6\text{i}~;~z_{\text{C}} = -
3 - \dfrac{1}{4}\text{i},~z_{\text{P}} = 3 + 2\text{i}$ et le vecteur
$\overrightarrow{w}$ d'affixe $z_{\overrightarrow{w}} = - 1 +
\dfrac{5}{2}\text{i}$.

BAC S COMPLEXE NlleCaledonie_mars 2003


On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.On considère la transformation ponctuelle $f$ qui, a tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = z^2 + 1.\]

 Déterminer  les antécédents du point O.

 Existe-t-il des points invariants par $f$ ? Si oui, préciser leurs affixes respectives.

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