Bac Complexe

BAC S COMPLEXE Nouvelle-Calédonie, mars 2012

On considère le polynôme $P$ défini sur $\mathbb{C}$ par

\[P(z) = z^3 - \left(2 + \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + 2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)z - 2\text{i}\sqrt{2}.\]

Montrer que le nombre complexe $z_{0} = \text{i}\sqrt{2}$ est solution de l'équation

$P(z) = 0$.

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z ) = \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right)$.
En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $P(z) = 0$.

Partie B

BAC S COMPLEXE Amérique du Sud novembre 2011

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation

\[z^2 - 2z + 5 = 0.\]

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ où :

\[z_{\text{A}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},\quad z_{\text{C}} = 1 + \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\]

Placer les points A et B dans le repère \Ouv.

BAC S COMPLEXE Polynésie septembre 2011

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On prendra 1~cm pour unité graphique.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$.
Soit A, B, C et D les points d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}\quad ; \quad z_{\text{C}} = 2z_{\text{B}} \quad;\quad z_{\text{D}} = 3.\]

BAC S COMPLEXE Polynésie 10 juin 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. L'unité graphique est 1~cm.

On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 - 3\text{i}, \:z_{\text{B}} = \text{i}$ et $z_{\text{C}} = 6 - \text{i}$.

On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

Partie A

Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$.
En déduire la nature du triangle ABC.

Partie B

BAC S COMPLEXE Métropole septembre 2011

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.

On désigne par A le point d'affixe i et par $f$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$, distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}.\]

BAC S COMPLEXE Polynésie 10 juin 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

Soient A le point d'affixe $2 - 5\text{i}$ et B le point d'affixe $7 - 3\text{i}$.

BAC S COMPLEXE Métropole 22 juin 2011

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.

On désigne par A, B, C, D les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1,\, z_{\text{B}} = \text{i},\, z_{\text{C}} = - 1,\, z_{\text{D}} = - \text{i}$.

BAC S COMPLEXE La Réunion juin 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Soient $A, B$ deux points du plan d'affixes respectives $a$ et $b$.

On rappelle que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{ize}
[*~~] $\left(\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{AB}\right) = \arg (b - a) + 2k\pi\, \text{où}\, k \in \Z$.
[*~~] L'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\theta$ est le point $C$ défini par :

BAC S COMPLEXE Centres étrangers 16 juin 2011

{Les cinq questions sont indépendantes.\\
Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n'est pas justifiée ne sera pas prise en compte.\\
Toute justification incomplète sera valorisée.}

Question 1

On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Oij, les points A, B et C d'affixes respectives :

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