Dans le plan complexe on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = -2,\, b = 5\text{i}$ et $c = 4$ ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U.
La figure est donnée en \textbf{annexe 2}.
Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.En déduire que le point J a pour affixe $- 7 + 2\text{i}$.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2~cm pour unité graphique. On appelle $J$ le point d'affixe $i$.
On considère les points $A$, $B$, $C$, $H$ d'affixes respectives $a=-3-\text{i}$, $b=-2+4\text{i}$, $c=3-\text{i}$ et $h= - 2$.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives :
\[z_{\text{A}} = 1 - \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{B}} = 2 + \sqrt{3} + \text{i}.\]
Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
Écrire $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique.
Montrer que $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
En déduire la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$.
BAC S COMPLEXE Amérique du Nord mai 2011
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
Soit A, B et P les points d'affixes respectives $a = 5 + 5\text{i},~b = 5 - 5\text{i}$ et $p = 10$.
On considère un point $M$, distinct de O, d'affixe $z$.
On note $U$ le point d'affixe $u$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{A}}$ de centre A et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{2}$.
On note $T$ le point d'affixe $t$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{B}}$ de centre B et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 2~cm.
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
\[z_{\text{A}} = -2\text{i},\quad z_{\text{B}} = -\sqrt{3} + \text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = \sqrt{3} + \text{i}.\]
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ (unité : 1~cm).
On fera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.
On considère les points A, B, S et $\Omega$ d'affixes respectives $a = -2 + 4\text{i},~b = -4 + 2\text{i},$
$s = -5 + 5\text{i}$ et $\omega = -2 + 2\text{i}$.
Soit $h$ l'homothétie de centre S et de rapport $3$.
On appelle C l'image du point A par $h$ et D l'image du point B par $h$.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right),.
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Prérequis
Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = a + b\text{i}$ où $a$ et $b$ sont deux nombre réels.
On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z} = a - b\text{i}$.
Questions
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère le point A d'affixe 2 et le cercle $\mathcal{C}$ de centre O passant par A.
Dans tout l'exercice on note $\alpha$ le nombre complexe $\alpha = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $\overline{\alpha}$ le nombre complexe conjugué du nombre complexe $\alpha$.
Démontrer que $\alpha^2 - 4\alpha = 2\overline{\alpha} - 8$.
Démontrer que les points B et C d'affixes respectives $\alpha$ et $\overline{\alpha}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
Soient A, B et C trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$.
On suppose que A et B sont distincts, ainsi que A et C.
On rappelle que $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$.
Montrer que $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$.
\textbf{Partie II :}