\textbf{Partie A}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
Soit $z$ un nombre complexe d'argument $\dfrac{\pi }{3}$.
\textbf{Proposition 1} : \og $z^{100}$ est un nombre réel \fg.
Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ différente de 1 du plan telle que $\left| {\dfrac{z}{{1 - z}}} \right| = 1$.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonornial direct \Ouv ; l'unité graphique est 1~cm.
Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation:
\[z^2 + 4z + 8 = 0.\]
On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
On note A et B les points du plan d'affixes respectives : $a = 2 - 2\text{i}$ et $b = -a$. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 1~cm).
Soient A, B et I les points d'affixes respectives 1 + i, $3 - \text{i}$ et 2.
À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que
\mbox{$z' = z^2 - 4z$}. Le point $M'$ est appelé l'image de $M$.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour le dessin : $\left\|\overrightarrow{u}\right\| = 4$~cm.
$M$ est un point d'affixe $z$ non nul. On désigne par $M'$ le point d'affixe $z'$ telle que
\[z'= -\dfrac{1}{\overline{z}}.\]
où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$.
\textbf{A - Quelques propriétés}
La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l'exercice.
\textbf{Cette feuille est à rendre avec la copie.}
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, le point A a pour affixe i.
On nomme $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ avec $z\neq \text{i}$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
\[z' = \dfrac{-z^2}{z - \text{i}}\]
Le but de l'exercice est de construire géométriquement le point $M'$ connaissant le point $M$.
\textbf{Un exemple}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{}unité graphique : $4$~cm.
On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 2 + \text{i}$ et le cercle ($\Gamma$) de centre A et de rayon $\sqrt{2}$.
Faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice.
Déterminer les affixes des points d'intersection de ($\Gamma$) et de l'axe $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u}\right)$.
On désigne par B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{B}} = 1$ et $z_{\text{C}} = 3$.
\textbf{Partie A}
On suppose connus les résultats suivants :
Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_{A},~z_{B}$ et $z_{C}$ trois points $A,~ B$ et $C$.
Alors $\left|\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}} \right|= \dfrac{CB}{CA}$ et arg$\left(\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}} \right) = \left(\overrightarrow{CA},~\overrightarrow{CB} \right) \quad (2\pi)$.
Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un réel :
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
{Une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.
Une solution de l'équation $2z + \overline{z} = 9 + \text{i}$ est :
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. On prendra pour unité graphique 1 cm.
{Question de cours}
On rappelle que : \og Pour tout vecteur $\overrightarrow{w}$ non nul, d'affixe
$z$ on a :
$|z|= \|\overrightarrow{w}\|$ et arg $(z) = \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{w}\right)$ \fg.
Soient $M,~ N$ et $P$ trois points du plan, d'affixes respectives $m,~ n$ et $p$ tels que $m \neq n$ et $m \neq p$.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
On pose $a = 3,~b = 5 - 2\text{i}$ et $c = 5 + 2\text{i}$. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $a,~b$ et $c$.
Soit $M$ un point d'affixe $z$ du plan, distinct des points A et B.