Exercice 1
On considère le circuit électrique schématisé dans la figure ci-dessous,
comportant : un générateur de tension continue $(G)$, de $f.é.m$ $U_{0}$ et de résistance interne négligeable ; un condensateur $(c)$ de capacité $C$ et d'armatures $A$ et $B$ ; une bobine $(B)$ d'inductance $L$ et de résistance négligeable ; deux interrupteurs $K_{1}$ et $K_{2}.$
1) $K_{2}$ étant ouvert, on ferme $K_{1}.$
Après une brève durée, le condensateur porte une charge maximale $Q_{0}$ et emmagasine une énergie électrostatique $E_{0}.$
a) Donner l'expression de $Q_{0}$ en fonction de $U_{0}$ et $C.$
b) Donner l'expression de $E_{0}$ en fonction de $Q_{0}$ et $C.$
2) Le condensateur étant chargé ; à $t=0$ on ouvre $K_{1}$ et on ferme $K_{2}.$
A $t$ quelconque, l'armature $A$ du condensateur porte une charge $q.$
a) Exprimer l'énergie électromagnétique $E$ en fonction de $L$, $C$, $q$ et $i.$
b) Montrer, sans faire aucun calcul que cette énergie se conserve et elle est égale à $\dfrac{Q_{0}^{2}}{2C}$
Déduire l'équation différentielle des oscillations électriques.
c) Déterminer l'expression de la période propre $T_{0}$ en fonction de $L$ et $C.$
d) Donner l'expression de la charge $q$ en fonction du temps.
3) Montrer que l'expression de cette énergie $E_{L}$ en fonction du temps s'écrit :
$$E_{L}=\dfrac{E_{0}}{2}\left[1+\cos\left(\dfrac{4\pi}{T_{0}}t+\pi\right)\right]$$
4) Une étude expérimentale a permis de tracer les courbes (1) et (2) (ci-dessous)
traduisant respectivement les variations de l'énergie magnétique $E_{L}$ en fonction de $i$ et en fonction du temps.
a) En exploitant la courbe (1), déduire les valeurs de $L$ et de $E_{0}.$
b) En exploitant la courbe (2), déduire la valeur de $T_{0}.$
5) Déterminer alors $C$, $Q_{0}$ et $U_{0}.$
Exercice 2
Avec un générateur de tension continue, de $f.e.m.$
$E_{0}$ constante et de résistance interne nulle, un condensateur de capacité $C$ et une bobine d'inductance $L$ et de résistance négligeable, on réalise le circuit de la :
A. L'interrupteur $K$ est dans la position (1)
1) Quel est le phénomène observé ?
2) Donner l'allure de la courbe de variation de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps.
B. L'interrupteur $K$ est basculé dans la position (2) :
1) a) Établir l'équation différentielle qui régit les oscillations de la charge $q(t).$
b) Montrer que $q(t)=Q_{m}\sin\left(\omega_{0}t+\phi_{q}\right)$ peut être une solution de l'équation différentielle précédente.
Donner l'expression de $\omega_{0}.$
2) a) Montrer que le circuit $(L\;,\ C)$ est conservatif et que son énergie totale est $E=\dfrac{1}{2C}Q_{m}^{2}.$
b) Montrer que l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur en fonction de $i^{2}$ est de la forme $E_{e}=\dfrac{1}{2C}Q_{m}^{2}-\dfrac{1}{2}L\cdot i^{2}.$
c) L'étude expérimentale a permis de tracer les courbes de la figure-5-,
donnant les variations de l'énergie électrostatique $E_{e}$ du condensateur en fonction de l'intensité $i$ du courant (fig-5a)
et de la tension $u_{L}$ aux bornes de la bobine en fonction de la charge $q.$ (fig-5b).
Justifier théoriquement l'allure de la courbe figure-5b en établissant la relation entre $u_{L}$ et $q.$
3) En exploitant ces deux courbes, déterminer :
a) L'inductance $L$ de la bobine.
b) La capacité $C$ du condensateur.
c) La pulsation propre $\omega_{0}$ du circuit.
d) La charge maximale $Q_{m}.$
e) En déduire la $f.e.m$ du générateur.
Exercice 3
Au cours d'une séance de travaux pratiques, un élève réalise le circuit schématisé ci-dessous (figure 1).
Ce circuit est constitué des éléments suivants : un générateur délivrant une tension continue constante de valeur $E=4.0V$ ; une résistance $R$ réglable ; un condensateur de capacité $C=2.0\mu F$ ; une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r.$
Un commutateur $(K)$ permet de relier le dipôle $(RC)$ soit au générateur, soit à la bobine.
L'entrée $Y_{1}$ d'une interface, reliée à un ordinateur, est connectée à la borne $A$ ; l'autre entrée $Y_{2}$ est connectée à la borne $D.$
La masse de l'interface est connectée à la borne $B.$
Les entrées $Y_{1}$, $Y_{2}$ et la masse de l'interface sont équivalentes respectivement aux entrées $Y_{1}$, $Y_{2}$ et à la masse d'un oscilloscope.
Étude énergétique du condensateur
Au cours de cette question, on étudie la charge du condensateur.
À l'instant de date $t=0s$, le condensateur est déchargé et on bascule le commutateur en position 1.
1.1 Représenter, sur la figure 1, par des flèches : la tension $u_{DB}(t)$ aux bornes de la résistance ; la tension $u_{AB}(t)$ aux bornes du condensateur.
1.2 Donner, en le justifiant, le signe de la charge $q$ portée par l'armature $A$ du condensateur au cours de sa charge et la relation existant entre la charge $q$ et la tension $U_{AB}.$
En tenant compte de l'orientation du circuit, donner la relation vérifiée à chaque instant par l'intensité $i(t)$ du courant et la charge $q(t).$
A partir des expressions des tensions aux bornes des trois dipôles, établir l'équation différentielle vérifiée par $u_{AB}(t).$
Donner l'expression de $u_{AB}(t)$ solution de cette équation différentielle en fonction de $E$, $R$, $C$ et $t$
1.3 Donner en fonction de $u_{AB}(t)$ l'expression littérale de l'énergie électrique $E_{e}$ emmagasinée par le condensateur.
En déduire l'expression littérale $E_{e\;,\ max}$ de sa valeur maximale et calculer sa valeur.
2. Étude énergétique du circuit $RLC$
2.1 Une fois le condensateur chargé, l'élève bascule rapidement le commutateur $(K)$ de la position 1 à la position 2 : il prend l'instant du basculement comme nouvelle origine des dates.
Le condensateur se décharge alors dans la bobine.
L'acquisition informatisée des tensions permet de visualiser l'évolution des tensions $u_{AB}(t)$ et $u_{DB}(t)$ en fonction du temps.
Après transfert des données vers un tableur-grapheur, l'élève souhaite étudier l'évolution des différentes énergies au cours du temps.
2.1 a) Exprimer littéralement, en fonction de $i(t)$, l'énergie magnétique $E_{m}$ emmagasinée dans la bobine.
À partir de l'une des tensions enregistrées $u_{AB}(t)$ et $u_{DB}(t)$, donner l'expression de l'intensité instantanée $i(t)$
2.1 b) En déduire l'expression de l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine en fonction de l'une des tensions enregistrées.
2.1 c) En déduire l'expression de l'énergie totale $E_{T}$ du circuit en fonction des tensions $u_{AB}(t)$ et $u_{DB}(t).$
2.2 À partir du tableur-grapheur, l'élève obtient le graphe (figure 2)
qui montre l'évolution, en fonction du temps, des trois énergies : $E_{e}$ énergie électrique, $E_{m}$, énergie magnétique et $E_{T}$ énergie totale.
2.2 a) Identifier chaque courbe en justifiant.
Quel phénomène explique la décroissance de la courbe 1 ?
2.2 b) Montrer les transformations mutuelles de $E_{e}$ et de $E_{m}.$
2.2 c) Déterminer graphiquement :
$-\ $ La pseudo période $T.$
$-\ $ L'énergie dissipée par effet joule à la date $t=31.4\,ms.$
2.2 d) Pour réduire l'énergie dissipée par effet joule pendant chaque pseudopériode dans le circuit faut-il augmenter ou diminuer $R.$
Justifier.
Exercice 4
On considère le dipôle suivant, constitué d'un conducteur ohmique de résistance $r_{1}=100\Omega$ et d'un condensateur de capacité inconnue $C$ :
1) Pour mesurer son impédance, on applique à ce dipôle une tension sinusoïdale de fréquence $50\,Hz.$
On relève les valeurs efficaces de l'intensité $i_{AB}$ et de la tension $u_{AB}$ :
on trouve $I_{AB}= 9.40\,mA$ et $U_{AB}=6.0V.$
Calculer l'impédance $Z$ du dipôle $AB$ ; en déduire la capacité $C$ du condensateur (on pourra utiliser, en les adaptant, les formules rappelées en fin d'exercice au cas étudié ici).
2) Dans une autre expérience, on associe en série le dipôle $AB$ à une bobine de résistance $r=10\Omega$ et d'inductance $L$ variable.
On maintient entre les bornes de l'ensemble une tension sinusoïdale de valeur efficace constante $6\,V$ et de fréquence $100\,Hz.$ (différente de celle du 1)
Quand $L$ varie, l'intensité efficace $I$ passe par un maximum pour $L=0.5\,H.$
Calculer à nouveau la capacité $C$ du condensateur et la valeur maximale de l'intensité efficace $I.$
3) On conserve le montage de la question précédente (conducteur ohmique, condensateur et bobine associés en série), mais on fait varier l'inductance de la bobine ; la nouvelle valeur est $L'=0.33\,H.$
La tension d'alimentation reste inchangée $(6\,V\ -\ 100\,Hz).$
3.1 Calculer l'impédance $Z'$ du montage, puis l'intensité efficace $I'$ du courant qui circule.
3.2 Déterminer le déphasage que présente la tension $u$ par rapport à l'intensité $i$ prise comme référence.
Donner les expressions de $i$ et $u.$
3.3 On dispose d'un oscillographe bicourbe.
On envoie sur la voie $A$ la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance $r_{1}$ et sur la voie $B$ la tension aux bornes de l'ensemble du montage.
Représenter les deux courbes que l'on observe sur les voies $A$ et $B$ de l'oscillographe (on se limitera à représenter une période) :
le balayage est réglé sur $1\,ms/cm$, la sensibilité verticale vaut $2\,V/cm.$
Que peut-on vérifier grâce à cette observation ?
Exercice 5
On désire mesurer la résistance interne $R$ et l'inductance $L$ d'une bobine réelle de deux façons différentes.
Partie A Dans un premier temps, la bobine est alimentée en régime continu.
Lorsque la tension à ses bornes vaut $U_{1}=10\,V$, l'intensité du courant qui la traverse vaut $I_{1}=0.2\,A.$
Dans un deuxième temps, la bobine est alimentée par un générateur basse fréquence délivrant une tension alternative sinusoïdale de fréquence $f=200\,Hz$, de valeur efficace $U=5\,V$ ; l'intensité efficace est alors $I=10\,mA.$
a) Calculer la valeur de $R.$
b) Calculer l'impédance $Z_{L}$ de la bobine réelle
c) En déduire la valeur de l'inductance $L.$
Partie B Ces résultats vont être vérifiés par une seconde méthode.
On réalise un dipôle $AB$ constitué par l'association série de la bobine réelle et d'un condensateur de capacité $C=1\mu F.$
La bobine sera assimilée à un résistor $R$ en série avec une bobine parfaite d'inductance $L.$
Le voltmètre nous indique la valeur efficace de la tension d'alimentation ; elle sera maintenue constante et vaut $U=5\,V.$
L'ampèremètre de résistance interne nulle nous indique la valeur de l'intensité efficace correspondante.
1) Donner l'expression littérale de l'impédance totale du circuit $AB.$
2) Pour $f=f_{0}=252\,Hz$, la valeur de l'intensité efficace passe par une valeur maximale $I_{0}=0.1\,A.$
a) Comment appelle-t-on ce phénomène ?
b) Que vaut l'impédance totale du circuit à $f_{0}$ ?
c) Calculer $R$ et $L$
d) Quelle est dans ces conditions la valeur de la tension efficace $U_{C}$ aux bornes du condensateur ?
Comparer les valeurs efficaces de la tension d'alimentation $U$ et de la tension $U_{C}$ : commenter.
3) On se place à présent à $f_{1}=200\,Hz.$
a) Calculer la valeur de l'impédance totale du circuit.
b) En déduire la valeur de l'intensité efficace $I.$
c) Calculer le déphasage $\varphi$ de la tension instantanée $u(t)$ par rapport à l'intensité $i(t).$
Conclure quant au caractère inductif ou capacitif du dipôle $AB$ à la fréquence $f_{1}.$
d) Donner les expressions de $u(t)$ et de $i(t).$
On prendra $i(t)=I\sqrt{2}\sin(\omega\,t).$
Exercice 6 : Circuit $R\;,\ L\;,\ C$ Résonance d'intensité
Un circuit comprenant une résistance $R$, une inductance pure $L$, un condensateur $C$ montés en série, est alimenté sous une tension alternative sinusoïdale, de valeur efficace $U$ de fréquence réglable.
Données :
$U=2.00\,V$
$R=14.0\Omega$
$L=69.6\,mH$
$C=10.0\mu F$
1.
1.1 Pour une pulsation $\omega$ correspondant à une fréquence $f$, exprimer l'impédance $Z$ du circuit, l'intensité efficace $I$ du courant et le déphasage $\varphi_{u/i}$ de la tension d'alimentation par rapport au courant.
Calculer $Z$, $I$ et $\varphi_{u/i}$ si $f=175\,Hz.$
1.2 Donner les expressions de $u(t)$ et de $i(t)$ ; on prendra $i$ comme référence pour la phase.
2. La valeur efficace $U$ de la tension d'alimentation est maintenue constante et égale à $2.00\,V.$
Pour des fréquences variant de $90$ à $300\;Hz$, on relève les valeurs correspondantes de l'intensité efficace du courant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline f(Hz)&90&120&150&160&170&180&185&190&195&200&210&250&300\\ \hline I(mA)&14.9&22.8&38.5&60.4&83.2&116.3&132.7&142.5&141.7&135.4&93.5&40.9&25.7\\ \hline \end{array}$$
2.1
2.1 a) Tracer la courbe représentant $I$ en fonction de $f$, sur papier millimétré avec les échelles suivantes : $1\,cm$ pour $20\,Hz$ et $1\,cm$ pour $10\,mA.$
On portera un soin tout particulier à cette représentation graphique.
2.1 b) Déterminer graphiquement la fréquence $f_{0}$ et l'intensité efficace $I_{0}$ du courant correspondant à la résonance.
2.2 Calculer ces valeurs et comparer à celles déterminées graphiquement.
3.
3.1
3.1 a) Pour la fréquence de résonance $f_{0}$, donner l'expression littérale de la tension efficace $U_{C}$ aux bornes du condensateur.
3.1 b) Montrer que cette tension peut se mettre sous la forme $U_{C}=Q\times U$ où $Q$ est indépendant de $U.$
3.1 c) $Q$ est appelé le coefficient de surtension.
Indiquer un autre nom possible pour $Q.$
3.2
3.2 a) Calculer numériquement $Q$ et $U_{C}.$
3.2 b) Indiquer l'inconvénient que peut présenter le phénomène de surtension.
4. On appelle bande passante en fréquence l'intervalle de fréquence pour lequel l'intensité efficace $I$ est supérieure ou égale à $\dfrac{I_{0}}{\sqrt{2}}.$
4.1 Déterminer graphiquement la bande passante $B=f_{2}-f_{1}\;,\ f_{2}\text{ et }f_{1}$ étant les fréquences pour lesquelles $I=\dfrac{I_{0}}{\sqrt{2}}$
4.2 Comparer cette largeur de la bande ainsi déterminée à celle calculée à partir de la relation $B=\dfrac{f_{0}}{Q}$
Exercice 7
On réalise un circuit électrique schématisé sur la figure -1- et comprenant un générateur $B.F.$
délivrant une tension sinusoïdale $u(t)=U_{m}\sin(2\pi\;f\;t)$ d'amplitude $U_{m}$ constante de fréquence $f$ variable, aux bornes duquel sont disposés en série le condensateur de capacité $C=1\mu F$, une bobine de résistance $r$ et d'inductance $L=0.01H$ et un résistor de résistance $R.$
On se propose de visualiser sur l'écran d'un oscilloscope à deux voies :
$-\ $ la tension $u(t)\ \longrightarrow\ voie(1).$
$-\ $ la tension $u_{R}t\ \longrightarrow\ voie(1).$
1) Établir à l'aide d'un tracé clair les connexions nécessaires entre le circuit électrique de la figure-1- et l'oscilloscope.
2) Établir l'équation reliant $i$, sa dérivée première $\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ et sa primitive $\int\,i\mathrm{d}t.$
Soit $i(t)=I_{m}\sin(2\pi\;f\;t+\varphi_{i})$ la solution de cette équation .
3) a) Expérience $n^{\circ}1$
On ajuste la fréquence $f$ à la valeur $f_{0}$ correspondant à la fréquence propre du dipôle $(L\;,\ C).$
On obtient les diagrammes de la figure-2-.
$-\ $ Montrer que, parmi les deux signaux qui constituent cette figure, celui ayant l'amplitude la plus élevée correspond à la tension $u(t).$
$-\ $ Établir que $\dfrac{R}{R+r}=\dfrac{2}{3}$
b) Expérience $n^{\circ}2$
A partir de cette valeur $f_{0}$, on fait varier la fréquence $f$ de la tension excitatrice $u(t)$ jusqu'à rendre cette dernière déphasée de $\dfrac{\pi}{6}$ par rapport au courant $i(t).$
La nouvelle de la fréquence est alors $f_{1}=1524\,Hz.$
$-\ $ Dire, en le justifiant, si le circuit est inductif ou capacitif.
$-\ $ Faire la construction de Fresnel en tenant compte des données de cette expérience $n^{\circ}2$ et montrer que $R+r=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{2\pi\;f_{1}\cdot C}-2\pi\;f_{1}\cdot L\right).$
$-\ $ Calculer $R$ et $r.$
c) Déterminer le facteur de qualité $Q$ de cet oscillateur
Exercice 8
Deux dipôles $D_{1}$ et $D_{2}$ inconnus, mais chacun d'eux peut être : un résistor de résistance $R'$.
Une inductance pure $L$ ou un condensateur parfait de capacité $C.$
On veut identifier $D_{1}$ et $D_{2}$ et déterminer ses grandeurs caractéristiques, on dispose alors d'un résistor de résistance $R=155.5\Omega$, d'un oscilloscope bicourbe et d'un générateur basse fréquence.
Pour atteindre cet objectif, on a réalisé le montage de la figure 1.
Le circuit est alimenté par une tension alternative sinusoïdale $u(t)=U_{m}\sin(2\pi\;N\,t).$
$-\ $ Dans une première expérience on a visualisé la tension $u_{NM}$ sur la voie 2 de l'oscilloscope et la tension $u_{PM}$ sur la voie 1 on a obtenu les courbes de la figure 2.
$-\ $ Au cours d'une deuxième expérience on a visualisé la tension $u_{NM}$ sur la voie 2 de l'oscilloscope et la tension $u_{QM}$ sur la voie 1 on a obtenu les courbes de la figure 3.
On donne :
Sensibilité horizontale : $1\,ms$ par division.
Sensibilité verticale Voie 1 : $5\,V$ par division
Voie 2 : $2\,V$ par division
1) a) A partir de l'oscillogramme de la figure 2, Montrer que le dipôle $D_{1}$ est une inductance.
b) Étudier l'oscillogramme de la figure 3 et montrer que le dipôle $D_{2}$ est un condensateur.
2) A partir de l'oscillogramme de la figure 3, déterminer :
a) La fréquence $N$ et la valeur efficace $U$ de la tension $u(t)$ délivrée par le générateur.
b) L'intensité efficace $I$ du courant qui traverse le circuit (le résultat doit être donné avec trois chiffres après la virgule).
En déduire l'impédance $Z$ du circuit.
c) Le déphasage $\Delta\varphi$ de la tension aux bornes de tout le circuit par rapport à l'intensité du courant qui le traverse.
Quelle est la nature du circuit ?
d) Écrire l'expression de $i(t).$
3) L'équation différentielle régissant les variations de l'intensité du courant dans le circuit est $\dfrac{L\;\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+Ri+\dfrac{1}{c}\int\,i\mathrm{d}t=u.$
a) Faire correspondre à chaque fonction un vecteur de Fresnel.
Sachant que la valeur de l'inductance est $L=0.2H$, Faire la construction de la figure 4 page 4 $(1V$ est représenté par $1\,cm).$
b) Déduire la valeur de la capacité $C$ du condensateur.
4) On règle la fréquence du générateur $B.F$ à une valeur $N_{1}$ de manière que la tension efficace $U_{QN}=0.$
a) Montrer que le circuit est le siège d'une résonance d'intensité.
En déduire la valeur de la fréquence $N_{1}.$
b) Calculer dans ces conditions le rapport $\dfrac{U_{QP}}{U_{QM}}.$
Que représente ce rapport.
5) La fréquence de la tension excitatrice est réglée à une valeur quelconque $N_{2}.$
a) Montrer que la puissance électrique moyenne de ce circuit s'écrit sous la forme $P=\dfrac{RU^{2}}{\left(R^{2}+A^{2}\right)}.$
On donnera l'expression de $A$ en fonction de $\omega$ et des grandeurs caractéristiques de $D_{1}$ et de $D_{2}.$
b) Pour quelle valeur de $R$ cette puissance moyenne est maximale ?
c) Montrer que pour cette valeur de $R$, le déphasage courant-tension est indépendant de $\omega$, de $L$ et de $C$ et qu'il est toujours égal à $±\dfrac{\pi}{4}rad$
Exercice 9
Un dipôle $AB$ constitué d'une résistance $R$ et d'une réactance $X$ est branché en série avec une résistance pure $r=50\Omega.$
Un générateur de tension sinusoïdale, de fréquence $f=50\,Hz$, alimente le circuit.
Les tensions sinusoïdales $u_{1}$ et $u_{2}$ sont observées sur l'écran d'un oscillographe bicourbe.
Les sensibilités des voies $Y_{1}$ et $Y_{2}$ sont respectivement de $1\,V/carreau$ et de $5\,V/carreau.$
L'observation de l'écran fournit une amplitude de $3.4$ carreaux pour $u_{1}$ et $2.3$ carreaux pour $u_{2}.$
Le décalage dans le temps des deux courbes permet de mesurer le déphasage $\varphi$ de $u_{1}$ par rapport à $u_{2}.$
1) Calculer les valeurs maximales des tensions $u_{1}$ et $u_{2}$ et les valeurs efficaces correspondantes.
2) Considérant la tension de référence $u_{2}$ en phase avec le courant $i$, déduire le sens du déphasage $\varphi$ de $u_{1}$ par rapport à $u_{2}.$
Quelle est la nature de la réactance $X$ (inductive ou capacitive) à la fréquence considérée ?
3) Calculer la valeur maximale et la valeur efficace du courant $i$ traversant le circuit.
4) Déterminer le déphasage de $u_{1}$ par rapport au courant.
5) Calculer l'impédance totale $Z$ du circuit série formé par le dipôle $AB$ et $r.$
6) Calculer la résistance $R$ constitutive du dipôle $AB$ [on rappelle que $|\cos\varphi|=\dfrac{R_{(totale)}}{Z_{(totale)}}$
7) Calculer la réactance $X$ et la valeur de l'inductance $L$ constitutive du dipôle $AB.$
1-1.2 L'atome d'hydrogène est à l'état excité correspondant au niveau d'énergie $(n = 2)$.
