Physique

Solution des exercices : Amplificateur opérationnel : montages dérivateur et intégrateur 1er S

Classe: 
Première

Exercice 1. 

1. Représentation symbolique d'un amplificateur opérationnel idéal
 
 
 
2. Identification de ces montages
 
 
 
 
 
La loi d'additivité des tensions s'écrit :
 
$-\ $Pour le premier montages (fig 1) :
 
$\begin{array}{rcl} U_{e}&=&U_{c}-U_{d}\\\Rightarrow\;U_{e}&=&\dfrac{q}{C}-0\\\Rightarrow\;q&=&CU_{e}\\\Rightarrow\dfrac{dq}{dt}&=&\dfrac{d}{dt}\left(CU_{e}\right)\\\Rightarrow\;i&=&C\dfrac{dU_{e}}{dt}\quad(1) \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{S}&=&-U_{R}-U_{d}\\\Rightarrow\;U_{S}&=&-Ri-0\\\Rightarrow\;U_{S}&=&-Ri\quad(2)\ ;\\(1)\text{ et }\quad(2)\Rightarrow\;U_{S}&=&-RC\dfrac{dU_{e}}{dt} \end{array}$
 
La tension de sortie est proportionnelle à l'opposée de la dérivée par rapport au temps de la tension d'entrée.
 
Le montage est donc un montage dérivateur
 
$-\ $Pour le deuxième montage (fig2) :
 
$\begin{array}{rcl} U_{e}&=&U_{R}-U_{d}\\\Rightarrow\;U_{d}\\\Rightarrow\;U_{e}&=&Ri\\\Rightarrow\;i&=&\dfrac{U_{e}}{R}\quad(1) \end{array}$
 
$$\begin{array}{rcl} U_{S}&=&-U_{c}-U_{d}\\\Rightarrow\;U_{S}&=&-\dfrac{q}{C}-\dfrac{q}{C}-0\\\Rightarrow\;U_{S}&=&-\dfrac{q}{C}\quad(2)\\\text{ or }q&=&\int\,idt\text{ et }i\\&=&\dfrac{U_{e}}{R}\quad(1)\\\Rightarrow\;q&=&\int\dfrac{U_{e}}{R}dt\text{ dans }\quad\\\Rightarrow\;U_{S}&=&-\dfrac{1}{RC}\int\,U_{e}dt \end{array}$$
 
La tension de sortie est proportionnelle à l'opposé de l'intégral par rapport au temps de la tension d'entrée.
 
Le montage est donc un montage intégrateur

Exercice 2

1. Représentation, sur de papier millimétrique, des variations de la tension $U_{e}$ en et de la tension $U_{s}$ à la sortie
 
Le montage est un montage dérivateur qui transforme la tension triangulaire de la forme $U_{e}=at+b$ en tension carrée de la forme $U_{S}=a$
 
 
2. Représentation des variations de l'intensité du courant dans le résistor (Voir figure)
 
$\begin{array}{rcl} U_{S}&=&R_{S}i\\\Rightarrow\;i&=&\dfrac{U_{S}}{R_{S}} \end{array}$
 
Les variations de l'intensité du courant i correspondent aux variations de la tension de sortie $U_{S}$ à une constante prés

Exercice 3

Représentation de la tension de sortie US(voir figure)
 
Ce montage est un montage intégrateur qui transforme une tension d'entrée $U_{e}$ carrée en tension de sortie $U_{S}$ triangulaire
 
$\begin{array}{rcl} \Rightarrow\;U_{S}&=&\dfrac{1}{RC}\int\,U_{e}dt \end{array}$
 
 
 
 
 

Exercice 4

1. Schéma d'un montage intégrateur
 
 
 
2. Représentation graphique des variations de $U_{S}(t)$
 

 
Exercice 5
 
 
1.1 En appliquant la loi des nœuds en $D$, montons $i_{R}=i_{C}$
 
La loi des nœuds en $D$ s'écrit : 
 
$\begin{array}{rcl} i_{C}&=&i_{R}+i_{-}\\\text{ or }i_{-}&=&0\\\Rightarrow\;i_{C}{R}&=&i_{C} \end{array}$
 
1.2. Exprimons $i_{R}$ en fonction de 
 
$\begin{array}{rcl} i_{R}&=&i_{C}\\\text{ or }i_{C}&=&\dfrac{dq}{dt}\\\Rightarrow\;i_{R}&=&\dfrac{dq}{dt} \end{array}$
 
Déduction de l'expression liant $i_{R}$ à $u_{C}$ et à $C$
 
$\begin{array}{rcl} i_{R}&=&i_{C}\\\text{ or }\,q&=&Cu_{c}\\\Rightarrow\;i_{R}&=&\dfrac{d\left(Cu_{c}\right)}{dt}\\\Rightarrow\;i_{R}&=&C\dfrac{du_{c}}{dt} \end{array}$
 
1.3. En appliquant la loi des tensions, établissons que $u_{c}=-u_{R}$ et que $u_{E}=u_{c}$
 
La loi d'additivité des tensions :
 
$\begin{array}{rcl} u_{S}+u_{R}+u_{E^{+}E^{-}}+u_{+}&=&0\\\text{ or }u_{E^{+}E^{-}}&=&0\\\Rightarrow\;u_{S}&=&-u_{R} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} u_{E}&=&u_{c}+u_{-}\\\text{ or }u_{-}&=&0\\\Rightarrow\;u_{E}&=&u_{C} \end{array}$
 
1.4 Expression de $u_{s}$ en fonction de $R$, $C$ et $\dfrac{du_{c}}{dt}$
 
$\begin{array}{rcl} u_{S}&=&-u_{R}\\&=&-Ri_{R}\\\text{ or }i_{R}&=&C\dfrac{du_{c}}{dt}\\\Rightarrow\;u_{s}&=&-RC\dfrac{du_{c}}{dt} \end{array}$
 
2. Oscillogramme obtenu en voie $B$
 
$\begin{array}{rcl} u_{s}&=&-RC\dfrac{du_{c}}{dt}\\\text{ or }u_{E}&=&u_{c}\\\Rightarrow\;u_{s}&=&-RC\dfrac{du_{E}}{dt} \end{array}$
 
Le montage est un montage dérivateur qui transforme la tension triangulaire de la forme $U_{e}=at+b$ en tension carrée de la forme $U_{s}=a$
 
 
3 Les caractéristiques de la tension de sortie $u_{s}$
 
$\begin{array}{rcl} u_{s}&=&-RC\dfrac{du_{E}}{dt}\\\text{ or }u_{E}&=&u_{Em}\cos\left(2\pi Nt\right)\\\Rightarrow\;u_{s}&=&2\pi NRCu_{Em}\sin\left(2\pi Nt\right) \end{array}$
 
La tension de sortie $u_{s}$ est une fonction sinusoidale du temps d'amplitude : $u_{sm}=2\pi NRCu_{Em}$ : de pulsation :
 
$\alpha=2\pi N$ et de fréquence $N$
 
Oscillogrammes obtenus en voie $A$ et en voie $B\cdot A$ l'origine des dates , le spot est à gauche de l'écran

Exercice 6

Soit le montage de la figure $1$
 
$L'A\cdot O$ est considéré comme idéal
 
 
1. Afin d'établir une relation entre $\dfrac{du_{s}}{dt}$ et $u_{E}$
 
1.1. Appliquons la loi des nœuds en $D$ et montrons que $i_{c}=i_{R}$
 
La loi des nœuds en $D$ s'écrit : 
 
$\begin{array}{rcl}i_{c}&=&i_{R}+i_{-}\\\text{ or }i_{-}&=&0\\\Rightarrow\;i_{R}&=&i_{c}\end{array}$
 
1.2. Expression de $i_{R}$ en fonction de $\dfrac{dq}{dt}$
 
 
$i_{R}=\dfrac{dq}{dt}$
 
Déduction d'une relation entre $i_{R}$, $\dfrac{du_{c}}{dt}$ et $C$
 
$\begin{array}{rcl} i_{R}&=&\dfrac{dq}{dt}\\\text{ or }q&=&Cu_{c}\\\Rightarrow\,i_{R}&=&\dfrac{d\left(Cu_{c}\right)}{dt}\\\Rightarrow\;i_{R}&=&C\dfrac{du_{c}}{dt} \end{array}$
 
1.3. En appliquant la loi des tensions, établissons que
 
 
$\begin{array}{rcl} u_{s}&=&-u_{c}\text{ et que }u_{R}=u_{E} \end{array}$
 
 
$\begin{array}{rcl} u_{S}+u_{C}+u_{E^{+}E^{-}} +u_{+}&=&0\\\text{ or }u_{E^{+}E^{-}}&=&u_{+}\\&=&0\\\Rightarrow\;u_{S}&=&-u_{C} \end{array}$
 
 
$\begin{array}{rcl} u_{E}&=&u_{R}+u_{-}\\\text{ or }u_{-}&=&0\\\Rightarrow\;u_{R}&=&u_{E} \end{array}$
 
1.4. A partir de la relation établie $1\cdot 2\cdot$ et des relations précédentes, en appliquant la loi d’Ohm au conducteur
ohmique, exprimer $\dfrac{du_{s}}{dt}$ en fonction de $R$, $C$ et $u_{E}$
 
$\begin{array}{rcl} u_{s}&=&-u_{c}\\\Rightarrow\dfrac{du_{s}}{dt}&=&\dfrac{du_{c}}{dt}\\\text{ or }i_{R}&=&C\dfrac{du_{c}}{dt}\\\text{ et }u_{R}&=&Ri_{R}=u_{E}\\\Rightarrow\;i_{R}&=&\dfrac{u_{E}}{R}\\\Rightarrow\;C\dfrac{du_{c}}{dt}&=&\dfrac{u_{E}}{R}\\\Rightarrow\dfrac{du_{c}}{dt}&=&\dfrac{u_{E}}{RC}\\\Rightarrow\dfrac{du_{s}}{dt}&=&-\dfrac{u_{E}}{RC} \end{array}$
 
2. L'oscillographe électronique mesure en voie A la tension d'entrée $u_{E}$ et en voie $B$, la tension de sortie $u_{S}$
ci-dessous
 
 
 
2.1. Montrons que sur l'intervalle de temps $t\in\left[0\,; \dfrac{T}{2}\right]$, $u_{s}$ peut se mettre sous la forme : $u_{s}=-\dfrac{1}{RC}u_{Em}t+b$ où $u_{Em}$ est la valeur maximale de $u_{E}$ et $b$ une constante
 
$\begin{array}{rcl} t\in\left[0\;,\dfrac{T}{2}\right]\;,u_{E}&=&u_{Em}\\\Rightarrow\dfrac{du_{s}}{dt}&=&-\dfrac{u_{Em}}{RC}\\\Rightarrow\;u_{S}&=&-\dfrac{1}{RC}u_{Em}t+b \end{array}$
 
2.2. Montrons que sur l'intervalle de temps : $t\in[0\;,\dfrac{T}{2}]$, $u_{s}$ peut se mettre sous la forme : $u_{s}=\dfrac{1}{RC}u_{Em}t+c$ où $c$ est une constante
 
$\begin{array}{rcl} t\in(\dfrac{T}{2})&=&\dfrac{1}{RC}u_{Em}\dfrac{T}{2}+c\\&=&-\dfrac{1}{RC}u_{Em}\dfrac{T}{2}+b\cdot\\\text{ Pour } b&=&0\\\Rightarrow\;C&=&-\dfrac{2}{RC}u_{Em}\dfrac{T}{2}\\\Rightarrow\;u_{s}(t)&=&-\dfrac{1}{RC}u_{Em}(t+T) \end{array}$
 
2.4. Déduction de l'étude précédente, l'oscillogramme obtenu en voie $B;$ (Voir figure)
 
3.1. Montrons que la valeur instantanée de la tension de sortie uS peut se mettre sous la forme :
 
 
$u_{s}=U_{Sm}\sin(2\pi Nt)+d$
 
$$\begin{array}{rcl} U_{s}&=&-\dfrac{1}{RC}\int u_{E}dt\\\text{ or }u_{E}&=&-u_{Em}\cos(2\pi Nt)\\\Rightarrow\;U_{S}&=&\dfrac{1}{RC}\int u_{Em}\cos(2\pi Nt)dt
  \\\Rightarrow\;U_{S}&=&-\dfrac{1}{2\pi NRC}u_{Em}\cos(2\pi Nt)+d\\\Rightarrow\;U_{s}1+1 U_{Sm}\cos(2\pi  Nt)+d\\\Rightarrow\;U_{Sm}&=&\dfrac{1}{2\pi NRC}U_{Em} \end{array}$$
 
$U_{Sm}$ est la valeur maximale de la tension de sortie, d est une constante
 
Calcul de $U_{Sm}.$
 
En supposant qu'à $t=0$, $u_{s}=0$,
 
$\begin{array}{rcl} U_{Sm}&=&\dfrac{1}{2\pi \times 50\times 10\cdot10^{3}1.0\cdot10^{-6}}\times6.0\\\Rightarrow\;U_{Sm}&=&1.9\,V \end{array}$
 
Calcul de $d$
 
$\begin{array}{rcl} U_{x}(0)&=&-\dfrac{1}{2\pi NCR}u_{Em}\cos(2\pi N\times 0)+d\\&=&0\\\Rightarrow-\dfrac{1}{2\pi NRC}U_{Em}+d&=&0\\\Rightarrow\;d&=&\dfrac{1}{2\pi NRC}U_{Em}\\\Rightarrow\;d&=&1.9\,V \end{array}$
 
2.2. Oscillogrammes obtenus en voie $A$ et en voie $B$

Exercice 7

 
 
 
 
1. Rappel de l'expression qui lie $\dfrac{du_{E}}{dt}$, $R$, $C$, et $u_{S}$
 
$\begin{array}{rcl} u_{S}+u_{R}+u_{E^{+}E^{-}}+u^{+}&=&0\\\Rightarrow\;u_{S}+u_{R}+0+0&=&0\\\Rightarrow\;u_{S}&=&-u_{R}\\\Rightarrow\;u_{S}&=&-Ri_{R}\quad(1) \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} u_{E}+u_{C}+U^{-}&=&0\\\Rightarrow\;u_{E}&=&+u_{C}+0\\&=&0\\\Rightarrow\;u_{C}&=&-u_{E}\\\text{ or }i_{R}&=&\dfrac{dq}{dt}\\&=&\dfrac{dCu_{c}}{dt}\\&=&C\dfrac{du_{c}}{dt}\\&=&C\dfrac{du_{c}}{dt}\\\Rightarrow\;i_{R}&=&-C\dfrac{du_{E}}{dt}\quad (2) \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} (1)\text{ et }(2)&\Rightarrow&\;u_{s}\\&=&-RC\dfrac{du_{E}}{dt} \end{array}$
 
2. Oscillogramme obtenu (Voir figure)
 
Un montage à amplificateur opérationnel est en mode linéaire s'il est rebouclé sur l'entrée inverseuse de l'amplificateur opérationnel (montage en contre réaction)

Auteur: 
Sidy Mouhamed Ndiaye

Solution des exercices : Condensateurs : capacité, énergie emmagasinée - 1er s

Classe: 
Première

Exercice 1

1. Tracé du graphique $U=f(t)$
 
 
Le graphe $U=f(t)$ est une fonction linéaire du temps
 
2. Détermination de la variation de $U$ en fonction du temps.
 
$\begin{array}{rcl} U&=&kt\\\text{ avec }k&=&\dfrac{\Delta U}{\Delta t}\\&=&\dfrac{4.5-3.5}{(90-70)\cdot10^{-3}}\\\Rightarrow\;K&=&50\,V_{s}^{-1}\\\Rightarrow\;U&=&50\,t \end{array}$
 
Déduction de la capacité du condensateur
 
$\begin{array}{rcl} q&=&It\\&=&Cu\\\text{ or }u&=&50t\\\Rightarrow\;q&=&It\\&=&50Ct\\\Rightarrow\;C&=&\dfrac{I}{50}\\&=&\dfrac{0.5\cdot10^{-3}}{50}\\\Rightarrow\;C&=&1.0\cdot10^{-5}F \end{array}$

Exercice 2

1. Calcul la capacité équivalente pour chaque schéma
$\begin{array}{rcl} \text{a. }\quad\dfrac{1}{C_{\text{éq}}}&=&\dfrac{1}{C_{1}}+\dfrac{1}{C_{2}}+\dfrac{1}{C_{3}}\\\Rightarrow\dfrac{1}{C_{\text{éq}}}&=&\dfrac{C_{2}C_{3}}{C_{1}C_{2}C_{3}}+\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}C_{2}C_{3}}+\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}C_{2}C_{3}}\\\Rightarrow\;C_{\text{éq}}&=&\dfrac{C_{1}C_{2}C_{3}}{C_{1}C_{2}+C_{1}C_{3}+C_{2}C_{3}}\\\Rightarrow\;C_{\text{éq}}&=&\dfrac{10\cdot10^{-6}\times2\cdot10^{-6}\times1000\cdot10^{-9}}{10\cdot10^{-6}\times2\cdot10^{-6}+10\cdot10^{-6}\times1000\cdot10^{-9}+2\cdot10^{-6}\times1000\cdot10^{-9}}\\\Rightarrow\;C_{\text{éq}}&=&0.625\cdot10^{-6}F \end{array}$
 
 
$\begin{array}{rcl}\text{b.   } \quad C_{\text{éq}}&=&C_{1}+C_{2}+C_{3}\\&=&10\cdot10^{-6}+2\cdot10^{-6}+1000\cdot10^{-9}\\\Rightarrow\;C_{\text{éq}}&=&2.7\cdot10^{-6}F \end{array}$
 
 
$\begin{array}{rcl}\text{c. }\quad C_{\text{éq}}&=&\dfrac{C_{2}C_{1}}{C_{2}+C_{1}}+C_{3}\\&=&\dfrac{2\cdot10^{-6}\times10\cdot10^{-6}} {2\cdot10^{-6}+10\cdot10^{-6}}+1000\cdot10^{-9}\\\Rightarrow\;C_{\text{éq}}&=&2.7\cdot10^{-6}F \end{array}$
 
 
2. Déterminer la valeur de $C_{AB}$
 
 
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{C_{\text{éq}}}&=&\dfrac{1}{C_{1}+C_{3}}+\dfrac{1}{C_{2}}+\dfrac{1}{C_{3}}+\dfrac{1}{C_{6}+\dfrac{C_{4}C_{7}}{C_{4}+C_{7}}}\\\Rightarrow\;C_{\text{éq}}&=&\dfrac{1}{\dfrac{1}{C_{1}+C_{5}+\dfrac{1}{C_{2}+\dfrac{1}{C_{3}+\dfrac{1}{C_{6}+\dfrac{C_{4}C_{7}}{C_{4}+C_{7}}}}}}}\\\Rightarrow\;C_{\text{éq}}&=&\dfrac{1}{\dfrac{1}{4.36+5000}+\dfrac{1}{2000}+\dfrac{1}{200}+\dfrac{1}{10\dfrac{5000\times27}{5000+27}}} \\\Rightarrow\;C_{\text{éq}}&=&9.96\cdot10^{-11}F \end{array}$
 
Calcul de la capacité $C_{3}$
 
 
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{C_{\text{éq}}}&=&\dfrac{1}{C_{1}+C_{2}}+\dfrac{1}{C_{3}+C_{4}}+\dfrac{1}{C_{5}}\\\Rightarrow\dfrac{1}{C_{3}+C_{4}}&=&\dfrac{1}{C_{\text{éq}}}-\dfrac{1}{C_{1}+C_{2}}-\dfrac{1}{C_{5}}\\\Rightarrow\;C_{3}+C_{4}&=&\dfrac{\left(C_{1}+C_{2}\right)C_{5}C_{\text{éq}}}{\left(C_{1}+C_{2}\right)C_{5}-C_{\text{éq}}C_{5}-C_{\text{éq}}\left(C_{1}+C_{2}\right)}\\\Rightarrow\;C_{3}&=&\dfrac{\left(C_{1}+C_{2}+C_{5}\right)C_{\text{éq}}}{\left(C_{1}+C_{2}\right)C_{5}-C_{\text{éq}\left(C_{1}+C_{2}\right)}}-C_{4}\\\Rightarrow\;C_{3}&=&\dfrac{(100+100+1000)\times155}{(100+100)\times1000-155\times1000-155(100+100)}-470\\\Rightarrow\;C_{3}&=&2.21\mu\cdot F \end{array}$

Exercice 3

I. Calcul de :
 
1. La surface des armatures.
 
$\begin{array}{rcl} \Rightarrow\;C&=&\dfrac{\varepsilon S}{e}\\&=&\dfrac{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}S}{e}\\\Rightarrow\;S&=&\dfrac{Ce}{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}}\\&=&\dfrac{0.12\cdot10^{-6}\times0.2\cdot10^{-3}}{5\times8.84\cdot 10^{-12}}\\\Rightarrow\;S&=&0.54\,m^{2} \end{array}$
 
2. La charge du condensateur soumis à la tension de service.
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&CU_{S}\\&=&0.12\cdot10^{-6}\times100\\\Rightarrow\;Q&=&12\cdot10^{-6}C \end{array}$
 
3. L'énergie emmagasinée.
 
$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{Q^{2}}{C}\\&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(12\cdot10^{-6}\right)^{2}}{0.12\cdot10^{-6}}\\\Rightarrow\;E&=&5.0\cdot10^{-4}J \end{array}$
 
II. Calcul de :
 
1. La charge total de l'ensemble formé par les deux condensateurs.
 
$Q=12\cdot10^{-6}C$
 
2. La tension commune aux deux condensateurs en régime permanent.
 
$U=100\,V$
 
3. L'énergie emmagasinée par le montage
 
$E=5.0\cdot10^{-4}J$

Exercice 4

1. Schéma du montage permettant de suivre l'évolution de $U_{c}$ au cours du temps
 
 
2. Détermination graphique de la capacité $C$ du condensateur.
 
$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{q^{2}}{C}\\\text{ or }q&=&It\\\Rightarrow\;E&=&\dfrac{1}{2}\dfrac{I^{2}}{C}t^{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{I^{2}}{C}\\&=&\dfrac{\Delta E}{\Delta t^{2}}\\\Rightarrow\;C&=&\dfrac{I^{2}\Delta t^{2}}{2\Delta E}\\&=&\dfrac{\left(50\cdot10^{-6}\right)^{2}\times(100-0)}{2\times\left(1.25\cdot10^{-2}-0\right)}\\\Rightarrow\;C&=&10^{-5}F \end{array}$
 
3. Calcul de la permittivité relative du condensateur.
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{\varepsilon S}{e}\\&=&\dfrac{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}S}{e}\\\Rightarrow\varepsilon_{r}&=&\dfrac{Ce}{S\varepsilon_{0}}\\&=&\dfrac{10^{-5}\times0.1\cdot10^{-3}}{1\times8.85\cdot10^{-12}}\\\Rightarrow\varepsilon_{r}&=&113 \end{array}$

Exercice 5

1.La capacité C du condensateur en $\mu F$
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{Q}{U}\\\text{ or }Q&=&I_{0}t\\\Rightarrow\;C&=&\dfrac{I_{0}t}{U}\\&=&\dfrac{0.30\cdot10^{-3}\times8}{12}\\&=&2\cdot10^{-4}F\\\Rightarrow\;C&=&200\mu F \end{array}$
 
2. Valeur de la charge $q$ portée par son armature positive
 
$\begin{array}{rcl} q&=&CU\\&=&150\cdot10^{-3}\times500\\\Rightarrow\;q&=&75.0\,C \end{array}$
 
L'énergie $E$ stockée par ce condensateur
 
$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{1}{2}CU^{2}\\&=&\dfrac{1}{2}\times150\cdot10^{-3}\times500^{2}\\\Rightarrow\;E&=&18.8\cdot10^{3}J \end{array}$

Exercice 6

1. Calcul de la valeur de l'énergie $W_{1}$ emmagasinée par $C_{1}$
 
$\begin{array}{rcl} W_{1}&=&\dfrac{1}{2}C_{1}U_{1}^{2}\\&=&\dfrac{1}{2}\times470\cdot10^{-6}\times24^{2}\\\Rightarrow\;W_{1}&=&0.14J \end{array}$
 
2. La valeur de l'énergie $W_{2}$ emmagasinée par $C_{2}.$
 
$\begin{array}{rcl} W_{2}&=&\dfrac{1}{2}C_{1}U_{2}^{2}\\&=&\dfrac{1}{2}\times1000\cdot10^{-6}\times0^{2}\\\Rightarrow\;W_{2}&=&0\cdot J \end{array}$
 
3. Détermination de la valeur de la tension $U$ aux bornes des deux condensateurs
 
$U=24\,V$
 
4. Calcul de la valeur de l'énergie $W_{12}$ emmagasinée
 
$\begin{array}{rcl} W_{12}&=&\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}U^{2}\\&=&\dfrac{470\cdot10^{-6}\times1000\cdot10^{-6}}{470\cdot10^{-6}+1000\cdot10^{6}}\times24^{2}\\\Rightarrow\;W_{12}&=&0.18\,J \end{array}$
 
5. Comparons $W_{12}$ avec $W_{1}+W_{2}$ et donnons une explication au résultat.
 
$W_{12}=.18\,J$  
 
 
$W_{1}=0.14\,J$ 
 
 
$\begin{array}{rcl} W_{1}+W_{2}&=&0.14+0\\\Rightarrow\;W_{1}+W_{2}&=&0.14 \end{array}$
 
 
$W_{12}\succ W_{1}+W_{2}$
 
Le condensateur $C_{2}$ n'était pas totalement déchargé

Exercice 7 : Charge d'un condensateur à courant constant

1. Rappel de l'expression de la charge $Q(i\;,\ t)$ et les unités utilisées.
 
$Q=it$ avec $i$ en ampères, $t$ en secondes et $Q$ en coulombs
 
2. Rappel de l'expression de la tension $Q(C\;,\ U)$ et les unités utilisées.
 
$Q=CU$ avec $C$ en farads, $U$ en vols et $Q$ en coulombs
 
3. Détermination de la charge $Q$ portée par une armature du condensateur à l'instant $t=t_{1}$
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&It_{1}\\&=&250\cdot10^{-6}\times7\times60\\\Rightarrow\;Q&=&0.105\,C \end{array}$
 
4.Tracé de la courbe $U(Q)$
 
 
5. Déduction de la capacité $C$ du condensateur.
 
$\begin{array}{rcl}C&=&\dfrac{\Delta Q}{\Delta U}\\&=&\dfrac{(105-0)\cdot10^{-3}}{31.8-0}\\\Rightarrow\;C&=&3.30\cdot10^{-3}F \end{array}$
 
6. Calcul de l'énergie $W$ emmagasinée par le condensateur à la l'instant $t_{1}$
 
$\begin{array}{rcl} W&=&\dfrac{1}{2}QU\\&=&\dfrac{1}{2}\times0.105\times31.8\\\Rightarrow\;W&=&1.67\,J \end{array}$

Exercice 8: Association de condensateurs

1. Expression de la capacité équivalente $C_{S}$
 
$\begin{array}{rcl} C_{S}&=&\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}\\&=&\dfrac{2.2\times3.3}{2.2+3.3}\\\Rightarrow\;C_{S}&=&1.32\;m\cdot F \end{array}$
 
2. Expression de la capacité équivalente $C_{p}$
 
$\begin{array}{rcl} C_{p}&=&C_{1}+C_{2}\\&=&2.2+3.3\\\Rightarrow\;C_{p}&=&5.5\,m\cdot F \end{array}$
 
3. Détermination de la charge $Q_{1}$ portée par une armature de ce condensateur.
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&C_{1}U\\&=&2200\cdot10^{-6}\times30\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&66\cdot10^{-3}C \end{array}$
 
4. Détermination de la charge portée par l'ensemble.
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&Q_{1}\\\Rightarrow\;Q&=&66\cdot10^{-3}C \end{array}$
 
5. Déduction de la tension U' aux bornes de l'ensemble.
 
$\begin{array}{rcl} U'&=&\dfrac{Q}{C_{p}}\\&=&\dfrac{66\cdot10^{-3}}{5.5\cdot10^{-3}}\\\Rightarrow\;U^{'}&=&12\,V \end{array}$

Exercice 9 : Association de condensateurs en parallèle

1.1. La capacité équivalente du groupe de deux condensateurs
 
$\begin{array}{rcl} C_{EQ}&=&C_{1}+C_{2}\\&=&6\cdot10^{-6}+10\cdot10^{-3}\\\Rightarrow\;C_{EQ}&=&10^{-2}F \end{array}$
 
1.2. La $d\cdot d\cdot p\cdot$ aux bornes des condensateurs en parallèle 
 
$\begin{array}{rcl} U&=&\dfrac{Q}{C}\\&=&\dfrac{200\cdot10^{-3}}{10^{-2}}\\\Rightarrow\;U&=&20\,V \end{array}$
 
1.3 Charge accumulée sur les armatures du condensateur de $6\,m\cdot F$
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&CU\\&=&6\cdot10^{-3}\times 20\\\Rightarrow\;Q&=&12\cdot10^{-2}C \end{array}$
 
1.4. Charge accumulée sur les armatures du condensateur de $10\,m\cdot F$
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&CU\\&=&10\cdot10^{-3}\times20\\\Rightarrow\;Q&=&2.0\cdot10^{-1}C \end{array}$
 
2.1 Détermination des charges $Q_{1}$ et $Q_{2}$ 
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&C_{1}U\\&=&3.3\cdot10^{-3}\times20\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&6.6\cdot10^{-2}C \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} Q_{2}&=&C_{2}U'\\&=&2200\cdot10^{-6}\times10\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&22\cdot10^{-3}C \end{array}$
 
2.2 La charge $Q$ portée par l'ensemble
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&Q_{1}+Q_{2}\\&=&6.6\cdot10^{-2}+2.2\cdot10^{-2}\\\Rightarrow\;Q&=&8.8\cdot10^{-2}C\end{array}$
 
2.3. Déduction de la tension $U"$ aux bornes de l'ensemble
 
$\begin{array}{rcl} U"&=&\dfrac{Q}{C_{1}+C_{2}}\\&=&\dfrac{8.8\cdot10^{-2}}{3.3\cdot10^{-2}+2200\cdot10^{-6}}\\\Rightarrow\;U"&=&1.6\,V \end{array}$

Exercice 10 : Association de condensateurs en série.

1. Détermination de la capacité équivalente $C_{EQ}.$
 
$\begin{array}{rcl} C_{EQ}&=&\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}\\&=&\dfrac{20\times33}{20+33}\\\Rightarrow\;C_{EQ}&=&12\,n\cdot F \end{array}$
 
2. Calcul de la charge $Q$ portée par la capacité équivalente.
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&C_{EQ}U\\&=&12\cdot10^{-9}\times20\\\Rightarrow\;Q&=&24\cdot10^{-8}C \end{array}$
 
3. La charge $q$ portée par un condensateur.
 
$\begin{array}{rcl} q&=&Q\\\Rightarrow\;q&=&24\cdot10^{-8}C \end{array}$
 
4. Déduction de la tension $U_{1}$ aux bornes de $C_{1}$ et de la tension $U_{2}$ aux bornes de $C_{2}.$
 
$\begin{array}{rcl} U_{1}&=&\dfrac{q}{C_{1}}\\&=&\dfrac{24\cdot10^{-8}}{20\cdot10^{-9}}\\\Rightarrow\;U_{1}&=&12\,V \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{2}&=&\dfrac{q}{C_{2}}\\&=&\dfrac{24\cdot10^{-8}}{33\cdot10^{-9}}\\\Rightarrow\;U_{2}&=&7.3\,V \end{array}$
 
5. Calcul de l'énergie $W$ emmagasinée par l'ensemble.
 
$\begin{array}{rcl} W&=&\dfrac{1}{2}QU\dfrac{1}{2}\times24\cdot10^{-8}\times20\\\Rightarrow\;W&=&24\cdot10^{-7}J \end{array}$

Exercice 11

 
1. Les caractéristiques de la force électrique $\overrightarrow{F}$ qui s'exerce sur chaque ion entre les deux plaques $A$ et $B$
Direction et sens (voir figure)
 
Intensité :

$\begin{array}{rcl} F&=&2eE\\&=&2e\dfrac{U_{AB}}{d}\\&=&2\times1.6\cdot10^{-19}\times\dfrac{4\cdot10^{4}}{0.10}\\\Rightarrow\;F&=&12.8\cdot10^{-14}N\end{array}$
 
2. Evaluons le rapport $\dfrac{P}{f'}$
 
$\begin{array}{rcl} \dfrac{F}{P}&=&\dfrac{F}{mg}\\&=&\dfrac{12.8\cdot10^{-14}}{1.16\cdot10^{-25}\times10}\\\Rightarrow\dfrac{F}{P}&=&11\cdot10^{10}\\\Rightarrow\;F&\succ& P \end{array}$
 
Le poids $P$ est négligeable devant la force $F$
 
3. Calcul de l'énergie cinétique de chaque ion arrivant en $B'$, en Joules et en électronvolts :
 
3.1. Par utilisation du théorème de l'énergie cinétique.
 
$\begin{array}{rcl} E_{C_{B}}-E_{C_{A}}&=&W\left(\overrightarrow{F}\right)\\\Rightarrow\;E_{C_{B}}&=&W\left(\overrightarrow{F}\right)+E_{C_{A}}\\&=&2eU_{AB}+\dfrac{1}{2}mV_{A}^{2}\\&=&2\times1.6\cdot10^{-19}\times4\cdot10^{4}+\dfrac{1}{2}\times1.16\cdot10^{-25}\times\left(10^{5}\right)^{2}\\\Rightarrow\;E_{C_{B}}&=&1.34\cdot10^{-14}J\\\Rightarrow\;E_{C_{B}}&=&84\,e\cdot V \end{array}$
 
3.2 Par utilisation de la conversation de l'énergie total $\left(E_{c}+E_{p}\right)$ de l'ion,
 
$\begin{array}{rcl} E_{m_{B}}&=&E_{m_{B}}\\\Rightarrow\;E_{C_{B}}+E_{P_{B}}&=&E_{C_{A}}+E_{P_{A}}\\\Rightarrow\;E_{C_{B}}+2eV_{B}&=&\dfrac{1}{2}mV_{A}^{2}+2eV_{A}\\\Rightarrow\;E_{C_{B}}&=&2e\left(V_{A}-V_{B}\right)+\dfrac{1}{2}mV_{A}^{2}\\\Rightarrow\;E_{C_{B}}&=&2eU_{AB}+\dfrac{1}{2}mV_{A}^{2}\\&=&2\times1.6\cdot10^{-19}\times4\cdot10^{4}+\dfrac{1}{2}\times1.16\cdot10^{-25}\times\left(10^{5}\right)^{2}\\\Rightarrow\;E_{C_{B}}&=&1.34\cdot10^{-14}\\\Rightarrow\;E_{C_{B}}&=&84\;e\,V \end{array}$
 
3.3 Déduction de la vitesse d'un ion en $B'$
 
$\begin{array}{rcl} E_{C_{B}}&=&\dfrac{1}{2}mV_{B}^{2}\\\Rightarrow\;V_{B}&=&\sqrt{\dfrac{2E_{C_{B}}}{m}}\\&=&\dfrac{2\times1.34\cdot10^{5}m\cdot s^{-1}}{1.16\cdot10^{-25}}\\\Rightarrow\;V_{B}&=&4.8\cdot10^{5}m\cdot s \end{array}$

Exercice 12

a. La tension entre ses bomes à la fin de la charge
 
$\begin{array}{rlc} U_{C}&=&E\\\Rightarrow\;U_{C}&=&6\;V \end{array}$
 
b. L'énergie emmagasinée par ce condensateur
 
$\begin{array}{rcl} W&=&\dfrac{1}{2}C_{1}U_{c}^{2}\\&=&\dfrac{1}{2}\times2\cdot10^{-6}\times6^{2}\\\Rightarrow\;W&=&36\cdot10^{-6}J \end{array}$
 
2. a. Le courant s'annule dans le circuit formé par $C_{1}$ et $C_{2}$ lorsque la tension du condensateur $C_{2}$ est égale à la
tension du condensateur $C_{1}$
 
b. Calcul des charges électriques finales de chacun de deux condensateurs.
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&C_{1}U_{c}\\&=&2\cdot10^{-6}\times6\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&12\cdot10^{-6}C \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} Q_{2}&=&C_{2}U_{C}\\&=&1\cdot10^{-6}\times6\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&6\cdot10^{-6}C\end{array}$
 
3. La capacité du condensateur équivalent à l'association de condensateurs $C_{1}$ et $C_{2}$ dans chacun des cas
 
a. Les condensateurs $C_{1}$ et $C_{2}$ sont branchés en série
 
$\begin{array}{rcl} C_{EQ}&=&\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}\\&=&\dfrac{2\times1}{2+1}\\\Rightarrow\;C_{EQ}&=&0.7\mu\,F \end{array}$
 
b. Les condensateurs $C_{1}$ et $C_{2}$ sont branchés en parallèle
 
$\begin{array}{rcl} C_{EQ}&=&C_{1}+C_{2}\\&=&2+1\\\Rightarrow\;C_{EQ}&=&3\mu\,F \end{array}$
 

Auteur: 
Sidy Mouhamed Ndiaye

Solution des exercices : Énergie électrique mise en jeu dans un circuit électrique 1er s

Classe: 
Première

Exercice 1

1. Définitions
 
Générateur : Un générateur est un dipôle assurant la conversion de l'énergie chimique, mécanique ou d'une autre forme d'énergie en énergie électrique fournie à un circuit récepteur.
 
Un récepteur est un dipôle électrique qui reçoit de l'énergie électrique pour la convertir en d'autres formes d'énergie.
 
2. L'alternateur est un des dispositifs permettant de transformer l'énergie mécanique en énergie électrique.
 
3.1. Schéma du montage
 
 
Expression de l'intensité $I$ en fonction de $e'$, $e$, $r'$, $r$ et $R$
 
La loi d'additivité de tension s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} U_{G}+U_{E}+U_{R}&=&0\\\text{ or }U_{G}&=&rI-e\;,\\U_{E}&=&e'+r'I\\\text{ et }U_{R}&=&RI\\\Rightarrow\;rI -e+e'+r'I+RI&=&0\\\Rightarrow\left(R+r+r'\right)I&=&e-e'\\\Rightarrow\;I&=&\dfrac{e-e'}{R+r+r'} \end{array}$
 
3.2. Valeur de $R$
 
$\begin{array}{rcl} I&=&\dfrac{e-e'}{R+r+r'}\\\Rightarrow\;R+r+r'&=&\dfrac{e-e'}{I}\\\Rightarrow\;R&=&\dfrac{e-e'}{I}-\left(r-r'\right)\\\Rightarrow\;R&=&\dfrac{15-1.8}{2}-(0.8+4.8)\\\Rightarrow\;R&=&1.5\Omega \end{array}$
 
Calcul du rendement du générateur et le rendement de l'électrolyseur.
 
Pour le générateur :

$\begin{array}{rcl} r'&=&\dfrac{P_{u}}{P_{e}}\\&=&\dfrac{U_{G}I}{eI}\\&=&\dfrac{U_{G}}{e}\\&=&\dfrac{e-r'I}{e}\\&=&\dfrac{15-0.8\times 2}{15}\\ \Rightarrow\;r'&=&0.89\\\Rightarrow\;r&=&89\% \end{array}$
 
3.4. Calcul de la puissance chimique (puissance utile) de l'électrolyseur et de la puissance totale du générateur.
 
$\begin{array}{rcl} P_{u}&=&e'I\\&=&1.8\times 2\\\Rightarrow\;P_{u}&=&3.6\,W \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} P_{G}&=&(e-rI)I\\&=&(15-0.8\times 2)\times\\\Rightarrow\;P_{G}&=&26.8\,W \end{array}$
 
3.5. En $5$ minutes, quelle est Énergie dissipée par effet Joule dans le circuit ?
 
$\begin{array}{rcl} W_{J}&=&\left(R+r+r'\right)I^{2}t\\&=&(1.5+0.8+4.3)\times2^{2}\times5\times60\\\Rightarrow\;J&=&7.9\cdot^{3}J \end{array}$
 

Exercice 2

Schématisation du circuit
 
 
Justification théorique du résultat expérimental en donnant l'expression de la puissance mécanique développée par le moteur en fonction de l'intensité $I$ et la $f\cdot c\cdot é\cdot m\cdot E';$
 
$P_{m}=E'I$
 
Le graphe représentant puissance mécanique développée par le moteur en fonction de l'intensité I est une droite linéaire, ce qui confirme le résultat expérimental
 
Calcul de la $f\cdot c\cdot é\cdot m\cdot E'$ du moteur.
 
$\begin{array}{rcl} P_{m}&=&E'I\\\Rightarrow\;E'&=&\dfrac{\Delta P_{m}}{\Delta I}\\&=&\dfrac{3-0}{0.5-0}\\\Rightarrow\;E'&=&6\,V \end{array}$
 
Calcul pour $I=0.5\,A$ et pendant $30\text{min}$
 
1. L'énergie mécanique développée par le moteur.
 
$\begin{array}{rcl} W_{m}&=&E'It\\&=&6\times0.5\times30\times60\\\Rightarrow\;W_{m}&=&4.5\cdot10^{2}J \end{array}$
 
2. L'énergie électrique consommée par le resistor résistance $R$
 
$\begin{array}{rcl} W_{R}&=&RI^{2}t\\&=&10\times0.5^{2}\times30\times60\\\Rightarrow\;W_{R}&=&4.5\cdot10^{2}J \end{array}$
 
3.3. L'énergie électrique totale fournie par le générateur au circuit extérieur.
 
$\begin{array}{rcl} W_{G}&=&U_{G}It\\&=&(E-rI)It\\&=&(12-1\times0.5)\times0.5\times30\times60\\\Rightarrow\;W_{G}&=&10.4\cdot10^{3}J \end{array}$
 
4. L'énergie électrique totale consommée par le moteur.
 
$\begin{array}{rcl} E_{m}&=&W_{G}-W_{R}\\&=&10.4\cdot10^{3}-4.5\cdot10^{2}\\\Rightarrow\;E_{m}&=&99.5\cdot10^{2} \end{array}$
 
Déduction du rendement du moteur.
 
$\begin{array}{rcl} \eta&=&\dfrac{W_{m}}{E_{m}}\\&=&\dfrac{5.4\cdot10^{3}}{9.95\cdot10^{3}}\\\Rightarrow\eta&=&0.54\\\Rightarrow\eta&=&54\% \end{array}$
 
5. Calculer $r'$ la résistance interne de moteur.
 
$\begin{array}{rcl} W_{r}&=&rI^{2}t\\&=&E_{m}-W_{m}\\\Rightarrow\;r&=&\dfrac{E_{m}-W_{m}}{I^{2}t}\\&=&\dfrac{9.95\cdot10^{3}-5.4\cdot10^{3}}{0.5^{2}\times30\times60}\\\Rightarrow\;r&=&1.0\Omega \end{array}$

Exercice 3

1. Schéma du circuit
 
 
2.1 Montrons que l'ampèremètre indique un curant d'intensité $I=lA$
 
$\begin{array}{rcl}W_{E}&=&U_{E}ITt\\\Rightarrow\;I&=&\dfrac{W_{E}}{U_{E}t}\\&=&\dfrac{5100}{17\times5\times60}\\\Rightarrow\;I&=&lA\end{array}$
 
2.2 Déduction de la résistance intense $r'$ du moteur.
 
$\begin{array}{rcl} U_{E}&=&E'+r'I\\\Rightarrow\;r'&=&\dfrac{U_{E}-E'}{I}\\&=&\dfrac{17-12}{l}\\\Rightarrow\;r'&=&5\Omega \end{array}$
 
2.3 Détermination de $R$
 
$\begin{array}{rcl} U_{G}&=&U_{E}+U_{R}\\\Rightarrow\;E-rI&=&U_{E}+RI\\\Rightarrow\;R&=&\dfrac{E-rI-U_{E}}{I}\\&=&\dfrac{24-2\times 1-17}{l}\\\Rightarrow\;R&=&5\Omega \end{array}$
 
3. Détermination de, pour une durée de $5\;min$ :
 
3.1 L'énergie électrique totale fournie par le générateur au circuit extérieur.
 
$\begin{array}{rcl} W_{G}&=&U_{G}It\\&=&(E-rI)It\\&=&(24-2\times1)\times1\times5\times60\\\Rightarrow\;W_{G}&=&6.6\cdot10^{3}J \end{array}$
 
3.2 L'énergie thermique dissipée dans tout le circuit.
 
$\begin{array}{rcl} W_{j}&=&\left(R+r+r'\right)I^{2}t\\&=&(5+2+5)\times1^{2}\times5\times60\\\Rightarrow\;W_{j}&=&3.6\cdot10^{3}J \end{array}$
 
3.3. L'énergie mécanique et l'énergie électrique reçue par le moteur.
 
$\begin{array}{rcl} W_{m}&=&E'It\\&=&12\times1\times5\times60\\\Rightarrow\;W_{m}&=&3.6\cdot10^{3}J \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} W_{é}&=&W_{m}+W_{j}^{'}\\&=&E'It+r'It^{2}\\&=&3.6\cdot10^{3}+5\times1(5\times60)^{2}\\\Rightarrow\;W_{é}&=&45.4\cdot10^{4}J \end{array}$

Exercice 4

11. Schéma du circuit électrique comprenant le moteur et le générateur.
 
 
2. Expression de l'intensité du courant $I$ en fonction de $E$, $r$, $E'$ et $r'.$
 
La loi d'additivité des tensions s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} U_{G}+U_{E}&=&0\\\text{ or }U_{G}&=&rI\\\text{ et }U_{E}&=&E'+r'I\\\Rightarrow\;rI-E+E'+r'I&=&0\\\Rightarrow\left(r+r'\right)I&=&E-E'\\\Rightarrow\;I&=&\dfrac{E-E'}{r+r'} \end{array}$
 
4. Calcul de :
 
$-\ $La puissance électrique $P_{e}$ reçue par le moteur ;
 
$\begin{array}{rcl} P_{E}&=&U_{E}I\\&=&\left(E'+r'I\right)I\\&=&(7.2+11\times0.72)\times0.72\\\Rightarrow\;P_{E}&=&10.9\,W \end{array}$
 
$-\ $La puissance mécanique $P_{m}$ développée par le moteur ;
 
$\begin{array}{rcl} P_{m}&=&E'I\\&=&7.2\times0.72\\\Rightarrow\;P_{m}&=&5.2W \end{array}$
 
$-\ $La puissance $P_{j}$ dissipée par effet Joule dans l'ensemble du circuit.
 
$\begin{array}{rcl} P_{j}&=&\left(r+r'\right)I^{2}\\&=&(1.2+11)\times0.72^{2}\\\Rightarrow\;P_{j}&=&6.3\,W \end{array}$
 
5. Calcul de :
 
$-\ $Le rendement du générateur ; $\rho_{G}$
 
$\begin{array}{rcl} \rho_{G}&=&\dfrac{U_{G}I}{EI}\\&=&\dfrac{E-rI}{E}\\&=&\dfrac{16.0-1.2\times0.72}{16}\\\Rightarrow\rho_{G}&=&0.95\\\Rightarrow\rho_{G}&=&95\% \end{array}$
 
$-\ $du rendement du moteur ; $\rho_{M}$
 
$\begin{array}{rcl} \rho_{M}&=&\dfrac{E'I}{\left(E'+r'I\right)I}\\&=&\dfrac{E'}{\left(E'+r'I\right)}\\&=&\dfrac{7.2}{7.2+11\times0.72}\\\Rightarrow\rho_{M}&=&0.48\\\Rightarrow\rho_{G}&=&48\% \end{array}$
 
$-\ $du rendement du circuit ; $\rho=\rho_{M}\times\rho_{G}$
 
$\begin{array}{rcl} \rho&=&\rho_{M}\rho_{G}\\&=&0.48\times0.95\\\Rightarrow\rho&=&0.46\\\Rightarrow\rho&=&46\% \end{array}$
 

Exercice 5 : Transferts de puissance

1.1.1 Schéma du circuit électrique
 
 
1.2. Définitions de la $f\cdot é\cdot m.$ d'un générateur de tension et de la $f\cdot c\cdot é\cdot m.$ d'un récepteur
 
1.3. Expression de la tension aux bornes du générateur de tension en fonction de $E$, $r$ et $I.$
 
$U_{G}=E-rI$
 
1.4. Expression de la tension aux bornes du récepteur en fonction de $E'$, $r'$ et $I.$
 
$U_{E}=E'+r'I$
 
1.5 Déduction de l'expression de $I$ en fonction de $E$, $E'$, $r$ et $r'.$
 
La loi des tensions s'écrit : 
 
$\begin{array}{rcl} U_{E}&=&U_{G}\\\Rightarrow\;E'+r'I&=&E-rI\\\Rightarrow\left(r+r'\right)I&=&E-E'\\\Rightarrow\;I&=&\dfrac{E-E'}{r+r'} \end{array}$
 
2. On se place dans le cas où $E'=0.$
 
2.1. Le récepteur se comporte alors comme un conducteur ohmique (ou un résistor)
 
2.2. Expression de la puissance $P_{j}$  dissipée par effet Joule dans le récepteur en fonction de $E$, $r$ et $r'.$
 
$\begin{array}{rcl} P_{j}&=&r'I^{2}\\\text{ or }I&=&\dfrac{E}{r+r'}\\\Rightarrow\;P_{j}&=&r'r'\left(\dfrac{E}{r+r'}\right)^{2}\\\Rightarrow\;P_{j}&=&\dfrac{r'E^{2}}{\left(r+r'\right)^{2}} \end{array}$
 
2.3. Expression de la puissance $P_{\text{géné}}$ générée par le générateur de tension.
 
$\begin{array}{rcl} P_{\text{géné}}&=&EI\\\text{ or }I&=&\dfrac{E}{r+r'}\\\Rightarrow\;P_{\text{géné}}&=&\dfrac{E^{2}}{r+r'} \end{array}$
 
2.4. Déduction de la définition du rendement global η du circuit
 
C'est le rapport entre la puissance $P_{j}$ dissipée par effet joule par le récepteur et la puissance $P_{\text{géné}}$ générée
par le générateur de tension
 
Expression, rendement global $\eta$ du circuit du, appelé encore rendement du transfert de puissance.
 
$\begin{array}{rcl} \eta&=&\dfrac{P_{u}}{P_{\text{géné}}}\\&=&\dfrac{\dfrac{r'E^{2}}{r+r'}}{\dfrac{E^{2}}{r+r'}}\\\Rightarrow\eta&=&\dfrac{r'}{r+r'} \end{array}$
 
2.5. Relation entre $r$ et $r'$ pour que le rendement $\eta$ proche de $1.00$
 
$\begin{array}{rcl} \\\Rightarrow\eta&=&1.00\\\Rightarrow\dfrac{r'}{r+r'}&=&1.00\\\Rightarrow\;r'&=&r+r'\\\Rightarrow\;r&=&r'-r'\\\Rightarrow\;r&=&0\Omega \end{array}$
 
2.6 Expression de $P_{j}$ et de $P_{\text{géné}}$ lorsque $r=r'$
 
$\begin{array}{rcl} P_{j}&=&\dfrac{r'E^{2}}{\left(r+r'\right)^{2}}\;,r\\&=&r'\\\Rightarrow\;P_{j}&=&\dfrac{rE^{2}}{(2r)^{2}}\\\Rightarrow\;P_{j}&=&\dfrac{rE^{2}}{(2r)^{2}}\\\Rightarrow\;P_{j}&=&\dfrac{E^{2}}{4r} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} P_{\text{géné}}&=&\dfrac{E^{2}}{r+r'}\;,r'&=&r'\\\Rightarrow\;P_{\text{géné}}&=&\dfrac{E^{2}}{2r}\\\Rightarrow\;P_{\text{géné}}&=&\dfrac{rE2} {(2r)^{2}}\\\Rightarrow\;P_{\text{géné}}&=&\dfrac{E^{2}}{4r} \end{array}$
 
Valeur numérique du rendement $\eta$ du transfert de puissance.
 
$\begin{array}{rcl} \eta&=&\dfrac{P_{j}}{P_{\text{géné}}}\\&=&1 \end{array}$
 
3.1 Expression de $P_{\text{géné}}$ en fonction de $E$, $E'$, $r$ et $r'.$
 
$\begin{array}{rcl} P_{\text{géné}}&=&EI\\\text{ or }I&=&I\\&=&\dfrac{E-E^{'}}{r+r'}\\\Rightarrow\;P\text_{{géné}}&=&\dfrac{E(E-E')}{r+r'} \end{array}$
 
3.2 Expression  de la puissance utile $P_{u}$ convertie par le récepteur.
 
$\begin{array}{rcl} P_{u}&=&E'I\\\text{ or }I&=&\dfrac{E-E'}{r+r'}\\\Rightarrow\;P_{u}&=&\dfrac{\left(E-E'\right)E'}{r+r'} \end{array}$
 
3.3. Déduction de l'expression du rendement  $\eta$ du transfert de puissance du circuit.
 
$\begin{array}{rcl} \eta&=&\dfrac{P_{u}}{P_{\text{géné}}}\\&=&\dfrac{\dfrac{\left(E-E'\right)E'}{r+r'}}{\dfrac{E\left(E-E'\right)}{r+r'}}\\\Rightarrow\eta&=&\dfrac{E'}{E} \end{array}$
 
Si $E'>E$, le récepteur ne fonctionne pas
 
3.4 Condition entre $E$ et $E'$ pour laquelle le rendement $\eta'$  est proche de $1.00$ 
 
$\begin{array}{rcl} \eta'&=&\\\Rightarrow\eta&=&\dfrac{E'}{E}\\&=&1.00\\\Rightarrow\;E'&=&E \end{array}$
 
3.5 Valeur numérique du rendement $\eta$
 
$\begin{array}{rcl} \eta&=&\dfrac{E'}{E}\\\Rightarrow\;E'&=&0.500E\\\Rightarrow\eta&=&\dfrac{0.500E}{E}\\\Rightarrow\eta&=&0.500\\\Rightarrow\eta&=&500\% \end{array}$

Exercice 6

1. Justifions théoriquement la courbe obtenue
 
$P=RI^{2}$
 
La courbe représentant $P=f\left(I^{2}\right)$ est une droite qui passe par l'origine.
 
Ce qui est confirmé par la courbe expérimentale
 
2. Déduction de la valeur de $R$
 
$\begin{array}{rcl} R&=&\dfrac{\Delta P}{\Delta I^{2}}\dfrac{4-0}{0.08-0}\\\Rightarrow\;R&=&50\Omega \end{array}$
 
3. Calcul de $I$ lorsque la puissance consommée par le resistor
 
$\begin{array}{rcl} P&=&RI^{2}\\\Rightarrow\;I&=&\sqrt{\dfrac{P}{R}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2.25}{50}}\\\Rightarrow\;I&=&0.21\,A \end{array}$
 
4. Calcul de :
 
a. La puissance électrique totale fournie par le générateur au circuit extérieur.
 
$\begin{array}{rcl} P&=&(E-rI)I\\&=&(24-2\times 0.2)\times 0.2\\\Rightarrow\;P_{G}&=&4.72\,W \end{array}$
 
b. La puissance consommée par le résistor. 
 
$\begin{array}{rcl} P&=&RI^{2}\\&=&50\times0.2^{2}\\\Rightarrow\;P&=&2\,W \end{array}$
 
c. La puissance électrique totale consommée par le moteur.
 
$\begin{array}{rcl} P_{G}&=&P+P_{m}\\\Rightarrow\;P_{m}&=&P_{G}-P\\&=&4.72-2\\\Rightarrow\;P_{m}&=&2.72\,W \end{array}$
 
Calcul de :
 
$-\ $La puissance mécanique développée par le moteur.

$\begin{array}{rcl} \rho&=&\dfrac{P_{\text{MECANIQ}}}{P_{m}}\\\Rightarrow\;P_{\text{MECANIQ}}&=&\rho P_{m}\\&=&0.92\times2.72\\\Rightarrow\;P_{\text{MECANIQ}}&=&2.5\,W \end{array}$
$-\ $La $f\cdot c\cdot é\cdot m\cdot E'$ et la résistance interne $r'$ du moteur.
 
$\begin{array}{rcl} P_{\text{MECANIQ}}&=&EI\\\Rightarrow\;E&=&\dfrac{P_{\text{MECANIQ}}}{I}\\&=&\dfrac{2.5}{0.2}\\\Rightarrow\;E&=&12.5\,V \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} \Rightarrow\;P_{m}&=&\left(E'+r'\right)I\\\Rightarrow\;E'+r'I&=&\dfrac{P_{m}}{I}\\\Rightarrow\;r'&=&\dfrac{P_{m}}{I^{2}}-\dfrac{E'}{I}\\&=&\dfrac{2.72}{0.2^{2}}-\dfrac{12.5}{0.2}\\ \Rightarrow\;r'&=&5.5\Omega \end{array}$
 
5. Tracé sur la même feuille l'allure de la courbe représentative de la variation de la puissance électrique
 
consommée par le résistor de résistance $R'$ et celle consommée par R en fonction de $I^{2}$
 

Exercice 7

 
1.a. Détermination de l'intensité du courant dans le circuit.
 
$\begin{array}{rcl} W_{M}&=&W_{u}+W_{j}\\\Rightarrow\;W_{u}&=&W_{M}-W_{j}\\\Rightarrow\;W_{u}&=&E'It\\&=&W_{M}-W_{j}\\\Rightarrow 12I\times5\times 60&=&17I\times5\times 60 -1500\\\Rightarrow 36I&=&51I-15\\\Rightarrow 15I&=&15\\\Rightarrow\;I&=&1.0\,A \end{array}$
 
b. Déduction de la résistance interne $r'$ du moteur.
 
$\begin{array}{rcl} W_{j}&=&r'I^{2}t\\\Rightarrow\;r'&=&\dfrac{W_{j}}{I^{2}t}\\&=&\dfrac{1500}{1.0^{2}\times 5\times 60}\\\Rightarrow\;r'&=&5.0\Omega \end{array}$
 
2. Détermination de 
 
a. L'énergie électrique totale fournie par les deux piles.
 
$\begin{array}{rcl} W_{p}&=&U_{1}It+U_{2}It\\\text{ or }U_{1}&=&U_{2}\\\Rightarrow\;W_{p}&=&2U_{1}It\\&=&2(E-rI)It\\&=&2(12-1\times1.0)\times1.0\times5\times60\\\Rightarrow\;W_{p}&=&6.6\cdot10^{3}J \end{array}$
 
b. L'énergie thermique dissipée dans tout le circuit.
 
$\begin{array}{rcl} W_{j}&=&\left(R+r+r'\right)I^{2}t\\&=&(5+1+5)\times1.0^{2}\times5\times60\\\Rightarrow\;W_{j}&=&3.3\cdot10^{3}J \end{array}$
 
c. L'énergie mécanique et l'énergie électrique reçue par le moteur.
 
$\begin{array}{rcl} W_{M}&=&W_{p}-W_{j}\\&=&6.6\cdot10^{3}-3.3\cdot10^{3}\\\Rightarrow\;W_{M}&=&3.3\cdot10^{3}J \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} W_{E}&=&W_{M}+r'It^{2}\\&=&3.3\cdot10^{3}+5\times1.0\times(5\times 60)^{2}\\\Rightarrow\;W_{E}&=&4.8\cdot10^{3}J \end{array}$
 
Déduction du rendement du moteur.
 
$\begin{array}{rcl} \eta&=&\dfrac{W_{M}}{W_{E}}\\&=&\dfrac{3.3\cdot10^{3}}{4.8\cdot10^{3}}\\\Rightarrow\eta&=&0.69\\\Rightarrow\eta&=&69\% \end{array}$

Exercice 8

1.1 Expression de la tension $U_{PN}$ aux bornes de la pile lorsqu'elle débite un courant d'intensité $I.$
 
$U_{PN}=E-rI$
 
1.2 Déduction de la valeur de $E$ et de $r$
 
$\begin{array}{rcl} U_{PN}&=&E-rI\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3.9&=&E-0.3\,r\quad(1)\\ 3.5&=&E-0.5\,r\quad(2) \end{array}\right.\\(1)-(2)&\Rightarrow&0.4=0.2\,r\\\Rightarrow\; r&=&2\,0\Omega\ ;\ (1)3.9\\&=&E-0.3\times2\\\Rightarrow\;E&=&4.5\,V \end{array}$
 
2. Calculer l'intensité $I$ du courant lorsque la tension aux bornes de la pile est $U_{PN}=2.5\,V.$
 
$\begin{array}{rcl} U_{PN}&=&E-rI\\\Rightarrow\;I&=&\dfrac{E-U_{PN}}{r}\\&=&\dfrac{4.5-2.5}{2.0}\\\Rightarrow\;I&=&1.0\,A. \end{array}$
 
3.1 Calcul du nombre $N$ des piles associées en série.
 
$\begin{array}{rcl} E&=&N\cdot E_{0}\\\Rightarrow\;N&=&\dfrac{E}{E_{0}}\\&=&\dfrac{13.5}{4.5}\\\Rightarrow\;N&=&3\text{piles} \end{array}$
 
3.2 Calculer la résistance $r$ du générateur équivalent.
 
$\begin{array}{rcl} r&=&Nr_{0}\\&=& 3\times 2\\\Rightarrow\;r&=&6\Omega \end{array}$
 
3.3 Ces $N$ piles montées en série sont branchées aux bornes d'un résitor de résistance $R=50\Omega$
 
$\bullet $Schéma du montage 
 
 
$\bullet $Calcul de l'intensité $I$ du courant dans le circuit.
Appliquons la loi de Pouillet :
 
$\begin{array}{rcl} I&=&\dfrac{\sum E_{i}}{\sum r_{i}}\\&=&\dfrac{E_{0}+E_{0}+E_{0}}{r+r+r+R}\\&=&\dfrac{3E_{0}}{3r+R}\\&=&\dfrac{3\times4.5}{3\times 2+50}\\\Rightarrow\;I&=&0.24\,A \end{array}$

Exercice 9

Calcul de :
 
1. La puissance électrique transformée en puissance thermique dans le moteur.
 
$\begin{array}{rcl} P_{Th}&=&\dfrac{W_{Th}}{t}\\&=&\dfrac{12\cdot10^{3}}{60}\\\Rightarrow\;P_{Th}&=&2.0\cdot10^{2}W \end{array}$
 
2. La puissance électrique totale consommée par le moteur.
 
$\begin{array}{rcl} P&=&P_{Th}+P_{M}\\&=&2.0\cdot10^{2}+1000\\\Rightarrow\;P&=&1.2\cdot10^{2}W \end{array}$
 
3. L'énergie électrique consommée par le moteur en $lh.$
 
$\begin{array}{rcl} W&=&Pt\\&=&1.2\cdot10^{2}\times 1\times60\times60\\\Rightarrow\;W&=&47\cdot10^{4}J \end{array}$
 
4. Le rendement du moteur 
 
$\begin{array}{rcl} r&=&\dfrac{P_{M}}{P}\\&=&\dfrac{1000}{1.2\cdot10^{2}}\\\Rightarrow\;r&=&0.83\\\Rightarrow\;r&=&83\%\end{array}$

Exercice 10

1. L'association les deux piles en parallèles ne permet pas d'alimenter le moteur car la tension d'alimentation du circuit $(E=4.5\,V)$ nécessaire pour faire fonctionner le moteur.
 
IL faut une source d'alimentation plus élevée, et l'association en série convient
 
2. Schéma du circuit qui permet au moteur de tourner
 
3. Expression de l'intensité du courant qui traverse le circuit.
 
La loi des mailles s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} U_{1}+U_{2}+U_{M}&=&0\\\Rightarrow\;r_{1}I-E_{1}+r_{2}I-E_{2}+E'+r'I&=&0\\\Rightarrow\left(r_{1}+r_{2}+r'\right)I&=&E_{1}+E_{2}-E'\\\Rightarrow\;I&=&\dfrac{E_{1}+E_{2}-E'}{r_{1}+r_{2}+r'} \end{array}$
 
Calcul de l'intensité :
 
$\begin{array}{rcl} \\\Rightarrow\;I&=&\dfrac{4.5+4.5-5}{1.5+1.5+2}\\\Rightarrow\;I&=&0.8\,A \end{array}$
 
4. Bilan énergétique et calcul de ces énergies électriques après une heure de fonctionnement
 
\begin{eqnarray} W_{1}&=&U_{1}It\nonumber\\&=&\left(E_{1}-r_{1}I\right)It\nonumber\\&=&(4.5-1.5\times 0.8)\times 0.8\times 1\times 60\times 60\nonumber\\\Rightarrow\;W&=&9.5\cdot 10^{3}J \end{eqnarray}
 
$\begin{array}{rcl} W_{2}&=&W_{1}\\\Rightarrow\;W_{2}&=&9.5\cdot10^{3}J \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} W_{M}&=&U_{M}It\\&=&\left(E_{M}+r'I\right)It\\&=&(5+2\times0.8)\times 0.8\times 1\times60\times60\\\Rightarrow\;W_{M}&=&19\cdot10^{3}J \end{array}$
 
 
5. Rappel de l'expression de la puissance électrique consommée par un dipôle et signification physique de chaque terme.
 
$\begin{array}{rcl} P&=&E'I+rI^{2}\\&=&P_{u}+P_{j}\text{ avec }P_{u}&=&E'I\ ;\ \\P_{u}&=&rI^{2} \end{array}$
 
$P_{u}=E'I$ : est la puissance utile
 
$P_{u}=rI^{2}$ : est la puissance dissipée,par effet Joule
 
6.1 Nature du dipôle $D$
 
Le dipôle D transforme entièrement l'énergie électrique qu'il reçoit en énergie thermique. 
 
$D$ est un résistor (ou conducteur ohmique)
 
6.2 Déduction de sa grandeur électrique caractéristique
 
$\begin{array}{rcl} P_{u}&=&rI^{2}\\ \Rightarrow\;r&=&\dfrac{P_{u}}{I^{2}}\\&=&\dfrac{200}{2^{2}}\\\Rightarrow\;r&=&50\Omega \end{array}$
 
7.1 Détermination de l'énergie électrique $W_{1}$ consommée par le moteur
 
$\begin{array}{rcl} W_{1}&=&\left(E'+r'I\right)It\\&=&(6+2\times2)\times2\times10\times60\\\Rightarrow\;W_{1}&=&12\cdot10^{3}J \end{array}$
 
7.2 $W_{1}$ est transformée en énergie mécanique et en énergie thermique
 
Détermination de la valeur de chacune de ces énergies.
 
$\begin{array}{rcl} W_{\text{méc}}&=&E'It\\&=&6\times2\times10\times60\\\Rightarrow\;W_{\text{méc}}&=&7.2\cdot10^{3}J \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} W_{j}&=&r'I^{2}t\\&=&2\times2^{2}\times10\times60\\\Rightarrow\;W_{j}&=&4.8\cdot10^{3}J \end{array}$
 
8.1.Détermination, pendant la même durée, de l'énergie électrique produite par le générateur $G.$
 
L'énergie électrique produite par le générateur $G$ est transférée au moteur et au conducteur ohmique
 
$\begin{array}{rcl} W_{G}&=&W_{1}+rI^{2}t\\\Rightarrow\;W_{G}&=&12\cdot10^{3}+50\times2^{2}\times10\times60\\\Rightarrow\;W_{G}&=&13.2\cdot10^{4}J \end{array}$
 
8.3 Retrouvons,  la valeur de $E$ par application de la loi de Pouillet.
 
$\begin{array}{rcl} I&=&\dfrac{\sum E_{i}}{\sum r_{i}}\\&=&\dfrac{E-E^{'}}{r+r'}\\\Rightarrow\;E E'&=&\left(r+r'\right)I\\ \Rightarrow\;E&=&\left(r+r'\right) I+E'\\\Rightarrow\;E&=&(50+2)\times2+6\\\Rightarrow\;E&=&110\,V \end{array}$

Exercice 11

1. Rappel des lois d'ohm relatives à chaque dipôle. 
 
Pour le générateur : $U_{PN}=E_{1}-r_{1}I$
 
Pour le resistor : $U_{R}=RI$
 
Pour le moteur : $U_{m}=E'+r'I$
 
2. L'ampèremètre indique $I_{1=}0A$
 
On peut dire que la $f\cdot c\cdot é\cdot m E'$ du moteur est supérieure à la tension générateur $U_{PN}=E_{1}-r_{1}I$ 
 
3. Déduction des valeurs de $E'$ et $r'$
 
$\begin{array}{rcl} U_{PN}=U_{R}+U_{M}\Rightarrow;E_{1}-r_{1}=RI+E'+r'&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} E_{2}-1.5I_{2}&=&RI_{2}+E'+r'I_{2}\\ E_{2}-1.5I_{3}&=&RI_{3}+E'+r'I_{3} \end{array}\right. \\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} 16-1.5\times0.6&=&5\times0.6+E'+0.6r'\\ 16-1.5\times1.8&=&E'+1.8r' \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} E'+0.6r'&=&12.1\quad(1)\\ E'+1.8r'&=&13.3\quad(2) \end{array}\right.\\(2)-(1)&\Rightarrow&1.2r'=1.2\\&\Rightarrow&\;r'=1.0\Omega\\&\Rightarrow&\;E'+0.6\times1.0=12.1\\&\Rightarrow&\;E'=11.5\,V \end{array}$
 
4.1. Détermination du dipôle équivalent de l'association étudiée 
 
Déterminations le générateur équivalent
$\left.\begin{array}{lllll}G_{1}(E_{1}&=&12V\quad ;\quad r_{1}&=&1\Omega)\\G_{1}(E_{2}&=&16V\quad;\quad r_{2}&=&1.5\Omega) \end{array}\right\rbrace$
 
$\begin{array}{rcl} &\Rightarrow&\;G\left(E=E_{1}+E_{2}=12V\quad ;\quad r=r_{1}+r_{2}=1\Omega+1.5\Omega\right)\\&\Rightarrow&\;G\left(E=28V\quad ;\quad r=2.5\Omega\right) \end{array}$
 
Détermination la résistance équivalente
 
$\begin{array}{rcl} R&=&R_{1}+R_{2}+R_{3}\\&=&5\Omega+5\Omega+5\Omega\\&\Rightarrow&\,R=15\Omega \end{array}$
 
 
4.2.Détermination de l'intensité du courant qui circule dans le circuit
Par application de la loi de Pouillet, on a :
 
$\begin{array}{rcl} I&=&\dfrac{\sum E_{i}}{\sum r_{i}}\\&=&\dfrac{E-\left(E'+E'\right)}{r+r'+r'+R}\\&=&\dfrac{28-(11.5+10}{2.5+1+2+15}\\\Rightarrow\,I&=&0.32\,A \end{array}$

Exercice 12

1. Écriture de la loi d'Ohm aux bornes de chaque dipôle.
 
$\begin{array}{rcl} U_{G}&=&E-rI_{1}\\&=&R_{1}I_{1}\\\Rightarrow\;E-2r&=&4\times 2\\\Rightarrow\;E-2r&=&8 \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{G}&=&E-rI_{2}\\&=&R_{2}I_{1}\\\Rightarrow\;E-4r&=&1\times 4\\\Rightarrow\;E-4r&=&4 \end{array}$
 
2. Détermination des grandeurs caractéristiques $(E\ ;\ r)$ du générateur.
 
$\begin{array}{rcl} \left\lbrace\begin{array}{lcl} E-2r&=&2\quad(1)\\E-4r&=&4\quad(2) \end{array}\right.\ ;\ \\(1)-(2)\Rightarrow& 2r&=&4\\\Rightarrow&\;r&=&2\Omega\\\Rightarrow&\;E-2\times2&=&8\\\Rightarrow&\;E&=&12V \end{array}$
 
3. 
 
 
3.1. Schéma du circuit.
 
 
3.2 Retrouvons, à partir du graphe, les valeurs des grandeurs caractéristiques du générateur.
 
$E=12\,V$
 
$\begin{array}{rcl} r&=&-\dfrac{\Delta U}{\Delta I}\\&=&-\dfrac{6-12}{3-0}\\\Rightarrow\,r&=&2\Omega \end{array}$
 
3.3 . Détermination graphique et par calcul de la valeur de l'intensité du courant électrique de court-circuit
 
Par méthode graphique : $I_{cc}=6\,A$
 
Par calcul :
 
$\begin{array}{rcl} U&=&E-rI\\&=&0\\\Rightarrow12-2I&=&0\\\Rightarrow2I&=&12\\\Rightarrow\;I&=&6A \end{array}$
 
4.1. Détermination de l'intensité du courant électrique qui circule dans le circuit par application de la loi de Pouillet
 
$\begin{array}{rcl} U_{G}&=&U_{E}\\\Rightarrow\;E-rI&=&E'+r'I\\\Rightarrow12-2I&=&8+2I\\\Rightarrow4I&=&4\\\Rightarrow\,I&=&1\,A  \end{array}$
 
4.2. Déduction des coordonnées du point de fonctionnement $P.$
 
$\begin{array}{rcl} P\left\lbrace\begin{array}{lcl} I_{p}&=&1\,A\\ U_{p}&=&12-2\times1 \end{array}\right.\\\Rightarrow\;P\left\lbrace\begin{array}{lcl} I_{p}&=&1\,A\\ U_{p}&=&10\,V \end{array}\right. \end{array}$
 
Les deux dipôles sont adaptés
 

Exercice 13 : Fonctionnement d'une lampe de poche

 
1. On peut faire varier l'intensité I du courant électrique dans le circuit en déplaçant le curseur du rhéostat
 
2. Schéma, sens conventionnel du courant électrique et bornes des appareils de mesure
 
 
3. Calcul de $U_{PN}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{PN}1&=&E-rI\\&=&4.5-1.5\times0.2\\\Rightarrow\,U_{PN}&=&4.2\,V \end{array}$
 
 
$-\ $Valeur de la résistance $R$du rhéostat
 
$\begin{array}{rcl} U_{BC}&=&U_{PN}-U_{CD}\\\Rightarrow\,RI&=&U_{PN}-U_{CD}\\\Rightarrow\;R&=&\dfrac{U_{PN}-U_{CD}}{I}\\\Rightarrow\;R&=&\dfrac{4.2-2.0}{0.20}\\\Rightarrow\,R&=&11\Omega \end{array}$
 
$-\ $Valeur $P_{1}$ de la puissance fournie par le générateur au circuit extérieur
 
$\begin{array}{rcl} P_{1}&=&U_{PN}I\\&=&4.2\times0.20\\\Rightarrow\;P_{1}&=&0.84\,W \end{array}$
 
$-\ $Puissance $P_{2}$ dissipée par effet joule dans le générateur
 
$\begin{array}{rcl} P_{2}&=&rI^{2}\\&=&1.5\times(0.20)^{2}\\\Rightarrow\;P_{2}&=&0.06\,W \end{array}$
 
4. Rappel de la relation donnant la puissance électrique $P_{3}$ consommée dans l'ampoule.
 
$P_{3}=U_{CD}I$
 
5. Détermination de la tension U aux bornes de l'ampoule.
 
$\begin{array}{rcl} P&=&1.0\,W\\\Rightarrow\,U_{CD}&=&3.6\,V \end{array}$
 
Déduction de la valeur de l'intensité I du courant électrique qui la traverse
 
$\begin{array}{rcl} P&=&U_{CD}I\\\Rightarrow\;I&=&\dfrac{P}{U_{CD}}\\&=&\dfrac{1.0}{3.6}\\\Rightarrow\;I&=&0.28\,A \end{array}$
 
L'indication portée par l'ampoule : $1\,W\ ;\ 0.3\,A$ est cohérente avec les résultats

Exercice 14:  Caractéristique d'un électrolyseur

1. Schéma du montage
 
 
2 Représentation graphique de la tension $U_{AB}$ en fonction de l'intensité $I$ du courant électrique
 
 
3. Pour la partie linéaire de la courbe de la forme : $U=a+bI$ :
 
$-\ a$ représente la force contre électromotrice $(f\cdot c\cdot é\cdot m) $ $E’$ de lélectrolyseur
 
$-\  b$ représente la résistance interne  $r'$ de l'électrolyseur
 
Détermination graphique a et b en détaillant soigneusement les calculs.
 
$a=1.8\,V$
 
$\begin{array}{rcl} b&=&\dfrac{\Delta U_{AB}}{\Delta I}\\&=&\dfrac{2.75-2.25}{(400-200)\cdot10^{-3}}\\\Rightarrow\;b&=&2.5\Omega \end{array}$
 
Équation numérique $U=f(I)$
 
$U=1.8+2.5I$
 
4. Expression de la puissance électrique reçue par l'électrolyseur
 
$\begin{array}{rcl} P&=&UI\\&=&(1.8+2.5I)I \end{array}$
 
Calcul de sa valeur
 
$\begin{array}{rcl} P&=&\left(1.8+2.5\times200\cdot10^{-3}\right)\times200\cdot10^{-3}\\\Rightarrow\;P&=&0.46\,W \end{array}$
 
$=200\,m\cdot A$
 
5.5. Énergie, exprimée en $kWh$, reçue par l'électrolyseur
 
$\begin{array}{rcl} W&=&Pt\\&=&0.46\times 5\times 60\times 60\\\Rightarrow\;W&=&8.28\cdot10^{3}J\\\Rightarrow\;W&=&\dfrac{8.28}{3600}\\\Rightarrow\;W&=&2.3\cdot10^{-3}kW \end{array}$

 

Solution des exercices : le Travail et la Puissance mécaniques - 3e

Classe: 
Troisième

Exercice 1

En effet, soit $\vec{F}$ une force constante dont le déplacement rectiligne de son point d'application $A$ vers un point $B$ est $d=AB$ et soit $\alpha$ l'angle entre la force et le déplacement.
 
 
Alors, le travail $W(\vec{F})$ de cette force $\vec{F}$ est donné par :
$$W(\vec{F})=F\times d\times\cos\alpha$$
Par suite, calculons le travail d'une force de $12.0\;N$ dont le point d'application se déplace de $7.00\;m$, si l'angle $\alpha$ entre la force et le déplacement vaut : 
 
a) $\alpha=0.00^{\circ}$
 
 
 
Dans l'expression de $W(\vec{F})$, en remplaçant $F\;,\ d\ $ et $\ \alpha$ par leur valeur, on trouve :
 
$\begin{array}{rcl} W(\vec{F})&=&12.0\times 7.00\times\cos 0^{\circ}\\\\&=&84\times 1\\\\&=&84\end{array}$
 
D'où, $\boxed{W(\vec{F})=84\;J}$
 
b) $\alpha=60.0^{\circ}$
 
 
 
Dans l'expression de $W(\vec{F})$, remplaçons $F\;,\ d\ $ et $\ \alpha$ par leur valeur.
 
On obtient alors :
 
$\begin{array}{rcl} W(\vec{F})&=&12.0\times 7.00\times\cos 60^{\circ}\\\\&=&84\times 0.5\\\\&=&42\end{array}$
 
Donc, $\boxed{W(\vec{F})=42\;J}$
 
c) $\alpha=90.0^{\circ}$
 
 
 
Dans l'expression de $W(\vec{F})$, en remplaçant $F\;,\ d\ $ et $\ \alpha$ par leur valeur, on trouve :
 
$\begin{array}{rcl} W(\vec{F})&=&12.0\times 7.00\times\cos 90^{\circ}\\\\&=&84\times 0\\\\&=&0\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{W(\vec{F})=0\;J}$
 
d) $\alpha=145^{\circ}$
 
 
 
Dans l'expression de $W(\vec{F})$, en remplaçant $F\;,\ d\ $ et $\ \alpha$ par leur valeur, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} W(\vec{F})&=&12.0\times 7.00\times\cos 145^{\circ}\\\\&=&84\times(-0.82)\\\\&=&-68.88\end{array}$
 
D'où, $\boxed{W(\vec{F})=-68.88\;J}$
 
e) $\alpha=180^{\circ}$
 
 
 
Dans l'expression de $W(\vec{F})$, en remplaçant $F\;,\ d\ $ et $\ \alpha$ par leur valeur, on trouve :
 
$\begin{array}{rcl} W(\vec{F})&=&12.0\times 7.00\times\cos 180^{\circ}\\\\&=&84\times(-1)\\\\&=&-84\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{W(\vec{F})=-84\;J}$

Solution des exercices : Travail de la force électrostatique - Énergie potentielle électrostatique - 1er s

Classe: 
Première

Exercice 1
 

 
 
1. Direction et sens (voir figure)
 
Intensité du champ électrique $\overrightarrow{E}$ qui règne dans le domaine situé $D$ entre les deux plaques
 
$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{U}{d}\\&=&\dfrac{500}{10\cdot10^{-2}}\\\Rightarrow\;E&=&50\cdot10^{2}Vm^{-1} \end{array}$
 
2. Calcul des $d\cdot d\cdot p V_{O}-V_{M}$ ;
 
$V_{O}-V_{N}$ et $V_{M}-V_{N}$
 
$\begin{array}{rcl} V_{0}-V_{M}&=&\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{OM}\\&=&E\times OM\\&=&50\cdot10^{2}\times2\cdot10^{-2}\\\Rightarrow\;V_{0}-V_{M}&=&100V \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} V_{0}-V_{N}&=&\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{ON}\\&=&E\times ON\\&=&E\times ON\\&=&50\cdot10^{2}\times7\cdot10^{-2}\\\Rightarrow\;V_{0}-V_{M}&=&3.5\cdot10^{2}V \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} V_{M}-V_{N}&=&\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{MN}\\&=&E\times MN\\&=&50\cdot10^{2}\times\left|7\cdot10^{-2}-2\cdot10^{-2}\right|\\\Rightarrow\;V_{M}-V_{N}&=&2.5\cdot10^{2}V \end{array}$
 
3.1 Caractéristiques de la force électrostatique $\overrightarrow{F}$ qui s'exerce sur l'électron
 
Direction et sens (voir figure)
 
Intensité : 
 
$\begin{array}{rcl} F&=&qE\\&=&1.6\cdot 1.6\cdot10^{-19}\times50\cdot10^{2}\\\Rightarrow\;F&=&80\cdot10^{-17}N \end{array}$
 
3.2 Vitesse de l'électron à son passage en $N$, $M$, puis en $O$
 
Appliquons le théorème de l'énergie cinétique : 
Entre $R$ et $N$ :
 
$\begin{array}{rcl} E_{C_{N}}-E_{C_{R}}&=&W_{NR}\left(\overrightarrow{F}\right)+W_{NR}\left(\overrightarrow{P}\right)\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}m_{e}V_{N}^{2}-0&=&-eU_{RN}+0\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}m_{e}V_{N}^{2}-0&=&-e\times-\left(U-U_{ON}\right) \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} V_{N}&=&\sqrt{\dfrac{2e\left(U-U_{ON}\right)}{me}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times1.6\cdot10^{-19}\times\left(500-3.5\cdot10^{2}\right)}{9.1\cdot10^{-31}}}\\\Rightarrow\;V_{N}&=&7.3\cdot10^{6}m\cdot s^{-1} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} V_{M}&=&\sqrt{\dfrac{2e\left(U-U_{OM}\right)}{m_{e}}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times1.6\cdot10^{-19}\times(500-100)}{9.1\cdot10^{-31}}}\\\Rightarrow\;V_{N}&=&11\cdot10^{6}m\cdot s^{-1} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} V_{O}&=&\sqrt{\dfrac{2e\left(U-U_{OO}\right)}{m_{e}}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times1.6\cdot10^{-19}\times(500-0)}{9.1\cdot10^{-31}}}\\\Rightarrow\;V_{o}&=&13\cdot10^{6}m\cdot s^{-1} \end{array}$
 
4. Calculer le travail $W\left(\overrightarrow{F}\right)$ de la force lorsque l'électron déplace de $N$ à $M$
 
$\begin{array}{rcl} W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&-e\left(V_{N}-V_{M}\right)\\&=&-e\times-\left(V_{M}-V_{N}\right)\\&=&e\times\left(V_{M}-V_{N}\right)\\&=&1.6\cdot10^{-19}\times2.5\cdot10^{2}\\\Rightarrow\;W \left(\overrightarrow{F}\right)&=&4.0\cdot10^{-17}J \end{array}$
 

Exercice 2

 
1.1 Détermination des caractéristiques du vecteur champ électrostatique entre  $C$ et $A$
 
Direction et sens (voir figure)
 
Intensité du champ électronique $\overrightarrow{E}$
 
$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{U_{AC}}{CA}\\&=&\dfrac{640}{5\cdot10^{-2}}\\\Rightarrow\;E&=&12.8\cdot10^{3}V\cdot m^{-1} \end{array}$ 
 
1.2 Calcul du travail de la force électrostatique appliquée à un électron pour aller de $C$ à $A$
 
$\begin{array}{rcl} W_{CA}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&-eU_{CA}\\&=&-e\times-U_{AC}\\&=&eU_{AC}\\&=&1.6\cdot10^{-19}\times640\\\Rightarrow\;w_{CA}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&1.0\cdot10^{-16}J \end{array}$
 
2. Calcul de la tension $U_{OM}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{OM}&=&\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{OM}\\&=&-E\times OM\text{ or }E\\&=&\dfrac{U_{PN}}{d}\\\Rightarrow\;U_{OM}&=&-\dfrac{U_{PN}}{d}\times d'\\&=&-\dfrac{1000}{5}\times 2\\\Rightarrow\;U_{OM}&=&-400V \end{array}$ 
 
3. Calcul de l'énergie potentielle électrostatique d'un électron en $O$ et en $M.$
 
$E_{p}=qV+\text{cte}$ ; 
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{4}-\theta_{0}\right)-m'L_{v}+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right)&=&0\\\Rightarrow\;-m'L_{v} &=&\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{0}-\theta_{4}\right)+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)\\\Rightarrow\;L_{v}&=&-\dfrac{\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{0}-\theta_{4}\right)+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)}{m'}\\\Rightarrow\;L_{v}&=&-\dfrac{\left(1\times450\cdot10^{-3}\times4185+100\right)(20.0-45.2)+20.0\cdot10^{-3}\times4185(100-45.2)}{20.0\cdot10^{-3}}\\\Rightarrow\;L_{v}&=&2.27\cdot10^{6}J\cdot kg^{-1} \end{array}$
 
4. Détermination du travail de la force électrostatique s'exerçant sur un électron pour aller de $O$ à 
 
$\begin{array}{rcl} W_{OM}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&-\Delta E_{p}\\&=&-\left(E_{P_{M}}-E_{P_{o}}\right)\\&=& \left(-14.4\cdot10^{-17}-8.0\cdot10^{-17}\right)\\\Rightarrow\;W_{OM}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&6.4\cdot10^{-17} \end{array}$
 
5. Calcul de :
 
5.1. L'énergie cinétique de sortie $E_{CM}$ de l'électron en $M.$
 
Appliquons le théorème de l'énergie cinétique

$\begin{array}{rcl} W_{OM}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&\Delta E_{C}\\&=&E_{C_{M}}-E_{C_{o}}\\&=&W_{OM}\left(\overrightarrow{F}\right)\\\Rightarrow\;E_{C_{M}}&=&W_{OM}\left(\overrightarrow{F}\right)+E_{C_{o}}\\\text{or }E_{C_{o}}=E_{C_{A}}=-eU_{CA}=-e\times -U_{AC}\\\Rightarrow\;E_{C_{M}}&=&W_{OM}\left(\overrightarrow{F}\right)+eU_{AC}\\\Rightarrow\;E_{C_{M}}&=&6.4\cdot10^{-17}+1.6\cdot 10^{-19}\times 640\\\Rightarrow\;E_{C_{M}}&=&7.4\cdot10^{-17}J \end{array}$
 
5.2 La vitesse de l'élection $V_{M}$ au point $M.$
 
$\begin{array}{rcl} E_{C_{M}}&=&\dfrac{1}{2}mV_{M}^{2}\\\Rightarrow\;V_{M}^{2}&=&\dfrac{2E_{C_{M}}}{m}\\\Rightarrow\;V_{M}&=&\sqrt{\dfrac{2E_{C_{M}}}{M}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times7.4\cdot10^{-17}}{9.1\cdot10^{-31}}}\\\Rightarrow\;V_{M}&=&13\cdot10^{6}m\cdot s^{-1} \end{array}$
 

Exercice 3

 
1. Inventaire des forces que subit la particule au cours de son déplacement de $A$ vers $B.$
 
La particule est soumise à : son poids $\overrightarrow{P}$ , la force électrostatique $\overrightarrow{F}$ et aux forces de frottement $\overrightarrow{F}$
 
2. Le poids $\overrightarrow{P}$ et la force électrostatique $\overrightarrow{F}$ sont des forces conservatives (le travail d'une force conservative ne dépend pas du chemin suivi)
 
3. Expression du travail de la force de frottement de l'air $f$ en fonction de $AB$ et $f.$
 
$W_{AB}\left(\overrightarrow{f}\right)=-f\times AB$
 
4. Le signe de la charge électrique de l'armature haute est positif car les électrons chargés négativement se déplacent vers l'armature chargée positivement
 
5. Représentation du champ électrique $E$ et du champ de pesanteur $g$ sur la figure.  
 
(Voir figure
 
6. Expression du travail de la force électrique $Fe$ et du poids $P$, en fonction de $m$, $q$ $V_{A}$, $V_{B}$, $g$, $\alpha$ et $AB.$
 
$W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{e}}\right)=q\left(V_{A}-V_{B}\right)$
 
$W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right)=-mgAB\cos\alpha$
 
7. Précisons pour chacune de ces forces si leur travail est moteur ou résistant.
 
$-\ $Le travail de la force électronique $\overrightarrow{F_{e}}$ est moteur car il favorise le déplacement.
 
$-\ $Le travail de la force électrostatique $\overrightarrow{P}$ est résistance car il s'oppose au déplacement.
 
8. Calcul du travail de ces forces sur le trajet $AB=1.8\,m$
 
$\begin{array}{rcl} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{e}}\right)&=&q\left(V_{A}-V_{B}\right)\\&=&-2e\left(V_{A}-V_{B}\right)\\&=&-2\times1.6\cdot10^{-19}(-3-5)\\\Rightarrow\;W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{e}}\right)&=&16\cdot10^{-19}J \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right)&=&-mgAB\cos\alpha\\&=&-3.210^{-27}\times 10\times 1.8\cos 30^{\circ}\\\Rightarrow\;W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right)&=&5.0\cdot10^{26}J \end{array}$
 
$W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{e}}\right)\succ W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right)$, on peut négliger l'énergie potentielle de pesanteur de la particule.
 
Alors, on ne prend en compte que l'énergie potentielle électrique.
 
9. Déduction de l'expression de l'énergie mécanique de la particule au point $A$ en fonction de sa vitesse $v_{A}$
et des grandeurs $V_{A}$, $q$ et $m$
 
$\begin{array}{rcl} E_{m_{A}}&=&E_{P_{A}}+E_{C_{A}}\\\Rightarrow\;E_{m_{A}}&=&qV_{A}+\dfrac{1}{2}mv_{A}^{2} \end{array}$
 
10 Déduction de l'expression de l'énergie mécanique de la particule au point $B$ en fonction de la vitesse $v_{B}$
et des grandeurs $V_{B}$, $q$, et $m.$
 
$\begin{array}{rcl} E_{m_{B}}&=&E_{P_{B}}+E_{C_{B}}\\\Rightarrow\;E_{m_{B}}&=&qV_{B}+\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2} \end{array}$
 
11 L'énergie mécanique se conserve car il y a un vide parfait ; les forces de frottement sont négligeables
 
12. Déduction de la vitesse $v_{B}$ de la particule
 
La conservation de l'énergie mécanique s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} E_{m_{B}}&=&E_{m_{A}}\\\Rightarrow\;qV_{B}+\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}&=&qV_{A}+\dfrac{1}{2}mv_{A}^{2}\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}&=&q\left(V_{A}-V_{B}\right)+\dfrac{1}{2}mv_{A}^{2}\\\Rightarrow\;V_{B}&=&\sqrt{\dfrac{2q\left(V_{A}-V_{B}\right)}{m}+v_{A}^{2}}\\\Rightarrow\;V_{B} &=&\sqrt{\dfrac{-2\times1.6\cdot10^{-19}(-3-5)}{3.2\cdot10^{-27}}+(0.53)^{2}}\\\Rightarrow\;V_{B}&=&28\cdot10^{3}m\cdot s^{-1} \end{array}$

Exercice 4 

1. Expression du travail de la force électrostatique $\overrightarrow{F}$
 
$\begin{array}{rcl} W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&q\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{AB}\\&=&qE\times AB \end{array}$
 
2. Montrons que le travail de cette force s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl}W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&qU_{AB}  W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)\\&=&q\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{AB}\text{ or  }\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{AB}=U_{AB}\\\Rightarrow\;W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&qU_{AB} \end{array}$
 
3. Calcul de sa valeur dans le cas d'un noyau d'hélium $He^{2+}$ se déplaçant de $A$ à $B$
 
$\begin{array}{rcl} W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&qU_{AB}\\&=&2e\times U_{AB}\\&=&2\times 1.60\cdot10^{-19}\times400\\\Rightarrow\;W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&12.8\cdot10^{-19}J \end{array}$

Exercice 5

 
1. Charge $q_{\alpha}$ de la particule $\alpha$
 
$\begin{array}{rcl} q_{\alpha}&=&2e\\&=&2\times1.60\cdot10^{-19}\\\Rightarrow\;q_{\alpha}&=&3.20\cdot10^{-19}C \end{array}$
 
2. Établissement de l'expression du travail de la force électrostatique et expression du travail en fonction $q_{\alpha}$, $V_{A}$  et $V_{B}$
 
$\begin{array}{rcl} W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&q\alpha\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{AB}\\\text{or }\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{AB}&=&V_{A}-V_{B}\\\Rightarrow\;W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&q\alpha\left(V_{A}-V_{B}\right) \end{array}$
 
3. Déduction de l'expression de la variation d'énergie potentielle électrique entre $A$ et $B$
 
$\begin{array}{rcl} W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&q_{\alpha}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{AB}\\\text{ or }\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{AB}&=&q_{\alpha}\left(V_{A}-V_{B}\right)\\\Rightarrow\Delta E_{p}&=&-q_{\alpha}\left(V_{A}-V_{B}\right) \end{array}$
 
4. L'énergie mécanique se conserve car les frottements sont négligeables lors de ce mouvement
 
5.1. Expression de la différence de potentiel $V_{A}-V_{B}$ en fonction de $v_{B}$, $m_{\alpha}$ et $q_{\alpha}$
 
La conservation de l'énergie mécanique s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} -\Delta E_{p}&=&\Delta E_{c}\\\Rightarrow\;q\alpha\left(V_{A}-V_{B}\right)&=&\dfrac{1}{2}m_{\alpha }v_{B}^{2}-0\\\Rightarrow\;V_{A}-V_{B}&=&\dfrac{m_{\alpha} v_{B}^{2}}{2q_{\alpha}} \end{array}$
 
5.2 Calcul de la valeur de la différence de potentiel $V_{A}-V_{B}$
 
$\begin{array}{rcl} V_{A}-V_{B}&=&\dfrac{m_{\alpha}v_{B}^{2}}{2q_{\alpha}}\\&=&\dfrac{6.70\cdot10^{-27}\times\left(1.00\cdot10^{6}\right)^{2}}{2\times2\times1.60\cdot10^{-19}}\\\Rightarrow\;V_{A}-V_{B}&=&1.05\cdot10^{4}V \end{array}$

Exercice 6

1. Détermination des constantes $a$ et $b.$
 
$E=a+bz$
 
$\begin{array}{rcl} z=0\;,E&=&100V\cdot m^{-1}\\\Rightarrow\;E&=&a+b\times 0\\&=&100V\cdot m^{-1}\\\Rightarrow\alpha&=&100V\cdot m^{-1} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} z=140m\;,E&=&20V\cdot m^{-1}\\\Rightarrow\;E&=&100+1400b\\&=&20V\cdot m^{-1}\\\Rightarrow\;b&=&\dfrac{20-100}{1400}\\\Rightarrow\;b&=&-5.7\cdot10^{-2}V\cdot m^{-2}\\\Rightarrow\;E&=&100-5.7\cdot10^{-2}z \end{array}$
 
Les constantes $a$ et $b$ sont respectivement $V\cdot m^{-1}$ et $V\cdot m^{-2}$
 
Représentation graphique $E$ en fonction de $z$
 
 
2. Détermination du travail des forces électriques s'exerçant sur la charge par une méthode graphique.
 
$\begin{array}{rcl} W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&\dfrac{1}{2}qEz\\\text{or }E&=&a+bz\\\Rightarrow\;W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&\dfrac{1}{2}q(a+bz)z\\\Rightarrow\;W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&\dfrac{1}{2}\times10^{-10}\left(100-5.7\cdot10^{-2}z\right)z \end{array}$
 
Déduction du potentiel électrostatique d'un point situé à l'altitude $h$
 
$\begin{array}{rcl} W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&qU\\&=&\dfrac{1}{2}q(a+bz)z\\\Rightarrow\;U&=&\dfrac{1}{2}(a+bz)\ ;\ z\\&=&h\\\Rightarrow\;U&=&\dfrac{1}{2}(a+bh)h\\\Rightarrow\;U&=&\dfrac{1}{2}(a+bh)h\\\Rightarrow\;U&=&\dfrac{1}{2}\left(100-5.7\cdot10^{-2}h\right)h \end{array}$
 
3. Calcul de l'énergie potentielle de pesanteur et de l'énergie potentielle électrostatique de cet ion.
 
$\begin{array}{rcl} E_{pp}&=&mgz\\&=&\dfrac{1.0\cdot10^{-3}}{6.02\cdot10^{23}}\times10\times1400\\\Rightarrow\;E_{pp}&=&2.3\cdot10^{-23}J  \end{array}$
 

$\begin{array}{rcl} E_{PE}&=&\dfrac{1}{2}q(a+bz)z\\&=&\dfrac{1}{2}\times1.6\cdot10^{-19}\left(100-5.7\cdot10^{-2}\times1400\right)\times1400\\ \Rightarrow\;E_{PE}&=&16.2\cdot10^{-19}J \end{array}$
 
L'énergie potentielle électrostatique est grande devant l'énergie potentielle de pesanteur. 
 
Cette dernière peut être négligée
 
Vitesse de l'ion à l'arrivée sur le sol
 
Appliquons la conservation de l'énergie mécanique
 
$\begin{array}{rcl} E_{C_{f}}+E_{P_{f}}&=&E_{C_{I}}+E_{P_{I}}\\\Rightarrow\;E_{C_{f}}+0&=&0+E_{P_{I}}\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv^{2}&=&E_{P_{I}}\\\Rightarrow\;v&=&\sqrt{\dfrac{2E_{P_{I}}}{m}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times16.2\cdot10^{-19}\times6.02\cdot10^{23}}{1.0\cdot10^{-3}}}\\\Rightarrow\;v&=&44\cdot10^{3}m\cdot s^{-1} \end{array}$

Exercice 7 

 
1. Calcul de la charge $q$ du pendule si, à l'équilibre
 
La condition d'équilibre, appliquée à la sphère, s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{F} \overrightarrow{T}&=&\overrightarrow{0}\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} 0+F-T\sin\alpha&=&0\\ mg+0-T\cos\alpha&=&0 \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} T\sin\alpha&=&F\quad(1)\\ T\cos\alpha&=&mg\quad(2) \end{array}\right.\\\Rightarrow\tan\alpha&=&\dfrac{qE}{mg}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{m\times g\times\tan\alpha}{E}\\\text{ or }E&=&\dfrac{U_{PN}}{d}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{mgd\tan\alpha}{U_{PN}}\\&=&\dfrac{0.5\cdot10^{-3}\times10\times15\cdot10^{-2}\times\tan 30^{\circ}}{1500V}\\ \Rightarrow\;q&=&2.9\cdot10^{-7}C \end{array}$
 
2. Expression en fonction de $\alpha$ l'énergie potentielle de pesanteur $\varepsilon pg$ et l'énergie potentielle électrostatique
 
$\varepsilon pe.$
 
$\varepsilon pg=mgz+\text{cte}$
 
$\begin{array}{rcl} \varepsilon pg(z=0)&=&mg\times 0+\text{cte}\\&=&0\\\Rightarrow\text{cte}&=&0\\\Rightarrow\varepsilon&=&mgz \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} Z_{A}&=&1-1\cos\alpha\\&=&1(1-\cos\alpha)\\\Rightarrow\varepsilon_{pg}&=&mgl(1-\cos\alpha) \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} \Delta\varepsilon pe&=&-W\left(\overrightarrow{F}\right)\\\Rightarrow\varepsilon pe-0&=&-Fl\sin\alpha\\\text{ or }F&=&qE\\&=&q\dfrac{U_{PN}}{d}\\\Rightarrow\varepsilon pe&=&-q\dfrac{U_{PN}}{d}l\sin\alpha \end{array}$
 
Valeur de $\alpha$ pour laquelle la somme $\varepsilon P$ de ces énergies potentielles est minimale
 
$\begin{array}{rcl} \varepsilon_{p}&=&\varepsilon_{pg}+\varepsilon_{pe}\\&=&mgl(l-\cos\alpha)-q\dfrac{U_{PN}}{d}l\sin\alpha\\\Rightarrow\varepsilon'_{p}&=&mgl\sin\alpha-q\dfrac{U_{PN}}{d}l\cos\alpha\\&=&0\\\Rightarrow\;mgl\sin\alpha&=&q\dfrac{U_{PN}}{d}l\cos\alpha\\\Rightarrow\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}&=&\dfrac{qU_{PN}}{mgd}\\ \Rightarrow\tan\alpha&=&\dfrac{qU_{PN}}{mgd}\\\Rightarrow\alpha&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{qU_{PN}}{mgd}\right)\\ \Rightarrow\alpha&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{2.9\cdot 10^{-7}\times 1500}{0.5\cdot10^{-3}\times 10\times 15\cdot10^{-2}}\right)\\\Rightarrow\alpha&=&30^{\circ} \end{array}$
 
Conclure. 
 
Données : masse de la sphère : $m=0.5\;g$ ; longueur du fil : $1=20\;m$ ; $g=10\;m\cdot s^{2}$

Exercice 8

 
1. Calcul du travail de la force électrostatique qui s'exerce sur cet élection
 
$\begin{array}{rcl} W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&-eU\\&=&-1.60\cdot10^{-19}\times200\\ \Rightarrow\;W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&-3.20\cdot10^{-17}J \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&\dfrac{-3.20\cdot10^{-17}}{1.60\cdot10^{-19}}\\\Rightarrow\;W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&-200eV \end{array}$
 
2/ Caractérisation du champ électrostatique en tout point de l'espace compris entre les plaques.
 
Le champ électrostatique en tout point de l'espace a même direction, même sens et même intensité
 
$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{U}{d}\\&=&\dfrac{200}{2\cdot10^{-2}}\\\Rightarrow\;E&=&10\cdot10^{3}V \end{array}$
 
3. Calcul du travail de la force et caractérisation du champ électrostatique
 
$\begin{array}{rcl} W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&-eU\\&=&-1.60\cdot10^{-19}\times\\\Rightarrow\;W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&-3.20\cdot 10^{-17}J \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&\dfrac{-3.20\cdot10^{-17}}{1.60\cdot10^{-19}}\\\Rightarrow\;W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&-200eV \end{array}$
 
Le champ électrostatique en tout point de l'espace a même direction, même sens et même intensité
 
$\begin{array}{rcl} E'&=&\dfrac{U}{d'}\\&=&\dfrac{200}{4\cdot10^{-2}}\\\Rightarrow\;E'&=&5\cdot10^{3}V \end{array}$
 
Le travail de la force électrostatique ne dépend que de la charge et de la différence de potentiel (d.d.p)
 
4.  On peut toujours calculer simplement le travail de la force électrostatique qui s'exerce sur l'électron allant
de la plaque positive à la plaque négative. 
 
Il suffit de connaitre la différence de potentiel ou la tension entre deux les plaques

Exercice 9


 
1. Vitesse $V_{1}$ minimale des électrons qui parviennent à traverser la grille $G_{2}$
 
La conservation de l'énergie mécanique entre les grilles $G_{1}$ et $G_{2}$ s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} E_{m_{1}}&=&E_{m_{2}}\\\Rightarrow\;-eV_{1}+\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}&=&-eV_{2}+0\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}&=&-e\left(V_{2}-V_{1}\right)+\dfrac{1} {2}mv_{1}^{2}\\\Rightarrow\;v_{1}&=&\sqrt{\dfrac{-2e\left(V_{2}-V_{1}\right)}{m}}\\\Rightarrow\;v_{1} &=&\sqrt{\dfrac{-2\times1.6\cdot10^{-19}\times-100}{9.1\cdot10^{-31}}}\\\Rightarrow\;v_{1}&=&5.9\cdot10^{6}m\cdot s^{-1} \end{array}$
 
2. Vitesse $V_{2}$ d'un électron traversant $G_{2}$
 
La conservation de l'énergie mécanique entre les grilles $G_{1}$ et $G_{2}$ s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} E_{m_{2}}&=&E_{m_{1}}\\\Rightarrow\;-eV_{2}+\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}&=&-eV_{1}+\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv_{2}^{2}&=&-e\left(V_{A}-V_{B}\right)+\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}\\\Rightarrow\;v_{2}&=&\sqrt{\dfrac{-2e\left(V_{1}-V_{2}\right)}{m}+v_{1}^{2}}\\\Rightarrow\;v_{2}&=&\sqrt{\dfrac{-2\times1.6\cdot^{-19}\times 100}{9.1\cdot10^{-31}}+\left(9\cdot10^{6}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;v_{2}&=&1.8\cdot10^{6}m\cdot s^{-1} \end{array}$
 
3.Vitesse avec laquelle l'élection retraverse $G_{1}$ 
 
Au cours d'un choc élastique il y a conservation de l'énergie cinétique et conservation de la quantité de mouvement du système (électrons, neutron).
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{m_{e}v_{e}}+\overrightarrow{0}&=&\overrightarrow{m_{e}v_{e}^{'}}+\overrightarrow{m_{n}v_{n}}\\\Rightarrow\;m_{e}v_{e}&=&-m_{e}v^{'}+m_{n}v_{n}\\\Rightarrow\;m_{e}\left(v_{e}+v_{e}^{'}\right)&=&m_{n}v_{n}\\\Rightarrow\;m_{e}\left(v_{e}+v_{e}^{'}\right)&=&1840\,m_{e}v_{n}\\\Rightarrow\;v_{e}+v_{e}^{'}&=&1840\,v_{n}\quad(1) \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{2}m_{e}v_{e}^{2}+0&=&\dfrac{1}{2}m_{e}v_{2}^{'2}+\dfrac{1}{2}m_{n}v_{n}^{2}\\\Rightarrow\;m_{e}\left(v_{e}^{2}-v_{e}^{'2}\right)&=&m_{n}v_{n}^{2}\\\Rightarrow\;m_{e}\left(v_{e}^{2}-v_{e}^{'2}\right)&=&1840m_{e}v_{n}^{2}\quad(2)\\\Rightarrow\;v_{e}^{2}-v_{e}^{'2}&=&1840\,v_{n}^{2}\quad(2) \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} &\Rightarrow&\dfrac{(2)}{(1)}\\&\Rightarrow&\;v_{e}-v_{e}^{'}=1840\,v_{n}\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} v_{e}+v_{e}^{'}&=&1840\,v_{n}\\ v_{e}-v_{e}^{'}&=&1840\,v_{n} \end{array}\right.\\\Rightarrow\;v_{e}+v_{e}^{'}&=&v_{e}-v_{e}^{'}\\\Rightarrow\;2v_{e}^{'}&=&v_{e}-v_{e}\\\Rightarrow\;v_{e}^{'}&=&0m\cdot s^{-1} \end{array}$

Exercice 10

 
2.2. Calcul de l'intensité du champ électrique
 
La condition d'équilibre, appliquée à la boule, s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}&=&0\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} 0+F-T\sin\alpha&=&0\\  mg+0-T\cos\alpha&=&0 \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} T\sin\alpha&=&F\quad(1)\\T\cos\alpha&=& mg\quad(2) \end{array}\right.\\\text{ or }F&=&|q|E\\\Rightarrow\tan\alpha&=&\dfrac{|q|E}{mg}\\\Rightarrow\;E&=&\dfrac{mg\tan\alpha}{|q|}\\\Rightarrow\;E&=&\dfrac{2.5\cdot10^{-3}\times10\times\tan30^{\circ}}{|-0.50|\cdot10^{-6}}\\\Rightarrow\;E&=&2.9\cdot10^{4}Vm^{-1} \end{array}$
 
2.3 Angle d'inclinaison du fil par rapport à la verticale
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}&=&0\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} 0+F-T\sin\alpha&=&0\\ mg+0-T\cos\alpha&=&0 \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} T\sin\alpha&=&F\quad(1)\\ T\cos\alpha&=&mg\quad(2) \end{array}\right.\\\Rightarrow\tan\alpha&=&\dfrac{|q|E}{mg}\\\Rightarrow\alpha&=&\tan^{-1}(\dfrac{|q|E}{mg})\\&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{|0.50|\cdot10^{-6}\times1.0\cdot10^{4}}{2.5\cdot10^{-3}\times10}\right)\\\Rightarrow\alpha&=&11^{\circ} \end{array}$
 

Auteur: 
Sidy Mouhamed Ndiaye

Solution des exercices : Force et champ électrostatiques - 1er s

Classe: 
Première
 

Exercice 1 : pendule et force électrostatique

1. Bilan des forces qui s'exercent sur la bille et représentation de ses forces
 
Les forces qui s'exercent sur la bille sont : Le poids $\overrightarrow{P}$, la force électronique $\overrightarrow{F}$ et la tension $\overrightarrow{T}$
 
2. La solution d'équilibre s'écrit :
 
$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}=\overrightarrow{0}$
 
3. Détermination de l'intensité de la force électronique.
 
Suivant $\vec{i}$ et $\vec{j}$, la relation vectorielle devient :
 
$\begin{array}{rcl}0+F-T\sin\alpha&=&0\\\Rightarrow\;T\sin\alpha&=&F\quad(1) \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} -mg+0+T\cos\alpha&=&0\\\Rightarrow\;T\cos\alpha&=&mg\quad (2) \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} (1)\text{et}(2)\tan\alpha&=&\dfrac{F}{mg}\\\Rightarrow\;F&=&mg\tan\alpha\\&=&20\cdot10^{-3}\times10\times20^{\circ}\\\Rightarrow\;F&=&7.3\cdot10^{-2}N \end{array}$
 
4. Détermination de la charge $q$ portée par la bille. 
 
$\begin{array}{rcl} F&=&\dfrac{k|q|q'}{d}\\\Rightarrow\;|q|&=&\dfrac{Fd}{Kq'}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{Fd}{Kq'}\\&=&\dfrac{7.3\cdot10^{-2}\times2\cdot10^{-2}}{9\cdot10^{9}\times10^{-6}}\\\Rightarrow\;q&=&-1.6\cdot10^{-7}C \end{array}$
 

Exercice 2

 
1.1 Définition de la ligne de champ.
 
Une ligne de champ est une courbe tangente en tout point au vecteur champ électrostatique.
 
Représentation su spectre électronique des deux deux charges placées en $A$ et $B$. (Voir figure)
 
1.2 Représentation des vecteurs champs électriques $\overrightarrow{E}_{A}$ et $\overrightarrow{E}_{B}$ crées par $B_{1}$ et $B_{2}$ au point $M.$ (Voir figure)
 
1.3 Expression de la vecteur de $E_{A}$ et de $E_{B}$ en fonction de $K$, $q$, $a$ et $h.$
 
Montrons que $E_{A}=E_{B}$
 
$\begin{array}{rcl} E_{A}&=&K\dfrac{|-q|}{AM^{2}}\\&=&K\dfrac{|q|}{AM^{2}}\text{ or }AM^{2}=AO^{2}+OM^{2}\text{ et }|-q|=q\\\Rightarrow\;AM^{2}&=&a^{2}+h^{2}\\\Rightarrow\;E_{A}&=&K\dfrac{q}{a^{2}+h^{2}}\quad(1) \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} E_{B}&=&K\dfrac{q}{BM^{2}}\\&=&K\dfrac{|q|}{BM^{2}}\text{ or }BM^{2}=BO^{2}+OM^{2}\\\Rightarrow\;BM^{2}&=&a^{2}+h^{2}\\\Rightarrow\;E_{B}&=&K\dfrac{q}{a^{2}+h^{2}}\quad(2) \end{array}$
 
$(1)$ et $(2)\Rightarrow\;E_{A}=E_{B}$
 
$K=9\cdot10^{9}u\cdot\;s\cdot\;i$
 
2.1 Détermination des coordonnées $E_{Mx}$ et $E_{My}$ du vecteur $\overrightarrow{E_{M}}$ en fonction de $K$, $q$ $a$ et $h$
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E_{M}}=\overrightarrow{E_{A}}+\overrightarrow{E_{B}}&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} E_{Mx}&=&E_{Ax}+E_{Bx}\\ E_{My}&=&E_{Ay}+E_{By} \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left \lbrace\begin{array}{lcl} E_{Mx}&=&-E_{A}\cos\alpha-E_{B}\cos\alpha\\ E_{My}&=&E_{A}\sin\alpha-E_{B}\sin\alpha \end{array}\right.\\\text{ comme }E_{A}=E_{B}&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} E_{Mx}&=&-2E_{A}\cos\alpha\\ E_{My}&=&0 \end{array}\right. \end{array}$
 
2.2 Montrons que $\overrightarrow{E_{M}}=-\dfrac{2K|q|\cos\alpha}{\left(a^{2}+h^{2}\right)}\vec{i}$, avec $\cos\alpha=\dfrac{\alpha}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}$
 
$\begin{array}{rcl} E_{M}&=&E_{Mx}\vec{i}+E_{My}\vec{j}\\\Rightarrow\overrightarrow{E_{M}}&=&-2E_{A}\cos\alpha\vec{i}+0\vec{j}\\\Rightarrow\overrightarrow{E_{M}}&=&-2E_{A}\cos\vec{i}\text{ or }E_{A}=K\dfrac{|q|}{\left(a^{2}+h^{2}\right)}\\\Rightarrow\overrightarrow{E_{M}}&=&-\dfrac{2K|q|}{\left(a^{2}-h^{2}\right)}\cos\alpha\vec{i} \end{array}$
 
2.3 Déduction de la valeur de $\overrightarrow{E}_{M}$ au point $O$
 
$\begin{array}{rcl} E_{M}&=&\dfrac{2K|q|}{\left(a^{2}+h^{2}\right)}|\cos\alpha|\text{ or }\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}\\\Rightarrow\;E_{M}&=&\dfrac{2K|q|}{\left(a^{2}+h^{2}\right)}\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl}\text{En }O\;,\ h=0\Rightarrow\;E_{M}&=&\dfrac{2K|q|}{\left(a^{2}+0^{2}\right)}\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+0^{2}}}\\\Rightarrow\;E_{M}&=&\dfrac{2K|q|}{a^{2}}\\&=&\dfrac{2\times9\cdot10^{9}\times0.3\cdot10^{-6}}{\left(10\cdot10^{-2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;E_{M}&=&5.4\cdot10^{5}N\cdot C^{-1} \end{array}$

Exercice 3

 
1. Énoncé la loi de Coulomb
 
Deux corps ponctuels $A$ et $B$, de charges respectives $q_{A}$ et $q_{B}$, exercent l'un sur l'autre des forces d'attraction ou de répulsion directement opposées, dirigées suivant la droite $(AB)$, de valeur proportionnelles aux deux charges et inversement proportionnelles au carré de la distance qui les sépare
 
2.1 Détermination des caractéristiques de la force exercée par $A$ sur $B$ et la force exercée par $B$ sur $A.$
 
$-\ $Point d'application : les charges
 
$-\ $Direction : la droite $AB$ qui joint les deux charges
 
$-\ $Sens : les charges $q_{A}$ et $q_{B}$ sont de signe contraires, le produit $q_{A}\times q_{B}$ est négatif et $\overrightarrow{F_{A/B}}$ est dirigée suivant $\overrightarrow{u_{AB}}(\text{ de }B\text{ vers }A)$
 
De même $\overrightarrow{u}_{B/A}$ est dirigée suivant $\overrightarrow{u}_{AB} (\text{ de }A \text{ vers }B).$
 
Les deux charges $s'$
 
$-\ $Intensité : 
 
$\begin{array}{rcl} F_{B/A}&=&F_{A/B}\\&=&k\dfrac{|q_{A}||q_{B}|}{AB^{2}}\\&=&9.0\cdot10^{9}\dfrac{|-3\cdot10^{-9}||4\cdot10^{-9}|}{\left(10\cdot10^{-2}\right)^{2}}\\\Rightarrow \;F_{B/A}&=&F_{A/B}\\&=&1.1\cdot10^{-7}N \end{array}$
 
 
2.2 Représentation de $\overrightarrow{F}_{B/A}$ et $\overrightarrow{F}_{A/B}$
 
3. Détermination des caractéristiques du vecteur champ électrostatique $\overrightarrow{E}$ crée par ces deux charges électroniques et représentation du vecteur champ électronique
 
3.1. Au milieu $O$ de segment $AB.$ 
 
$-\ $Point, direction et sens : voir figure
 
$-\ $Intensité :
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E_{o}}&=&\overrightarrow{E_{A}}+\overrightarrow{E_{B}}\\\Rightarrow\;E_{0}&=&E_{A}+E_{B}\\&=&\;k\dfrac{\left|q_{A}\right|}{AO^{2}}+k\dfrac{q_{B}}{BO^{2}}\text{ or }AO=BO\\\Rightarrow\;E_{o}&=&\dfrac{k}{OA^{2}}\left(\left|q_{A}\right|+q_{B}\right)\\\Rightarrow\;E_{o}&=&\dfrac{9.0\cdot10^{9}}{\left(5\cdot10^{-2}\right)^{2}}\left(\left|-3\cdot10^{-9}\right|+4\cdot10^{-9}\right)\\\Rightarrow\;E_{o}&=&12.6\cdot10^{4}N\cdot C^{-1} \end{array}$
 
3.2 En un point $M$ de la médiatrice de $AB$, situé à $5\,cm$ de $O$
 
$-\ $Point, direction et sens : voir figure
 
$-\ $Intensité :
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{M}&=&\overrightarrow{E}_{A}+\overrightarrow{E}_{B}\\\Rightarrow\;E_{M}&=&\sqrt{E_{A}^{2}+E_{B}^{2}}\\&=&\sqrt{\left(k\dfrac{|q_{A}|}{AM}_{2}\right)^{2}+\left(k\dfrac{q_{B}}{BM}^{2}\right)^{2}}\text{ or }AM^{2}=AO^{2}+OM^{2}\\&=&5^{2}+5^{2}\\&=&50\,cm^{2}\\\Rightarrow\;AM&=&5\sqrt{5\;cm}\ ;\ (BM=5\sqrt{5\,cm} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} E_{M}&=&\sqrt{\left(k\dfrac{\left|q_{A}\right|}{AM^{2}}\right)^{2}+\left(k\dfrac{q_{B}}{BM^{2}}\right)^{2}}\\&=&\dfrac{k}{AM^{2}}\sqrt{\left|q_{A}\right|^{2}+q_{B}^{2}}\\\Rightarrow\;E_{M}&=&\dfrac{9.0\cdot 10^{9}}{\left(5\sqrt{5}\cdot10^{-2}\right)^{2}}\sqrt{\left|3\cdot10^{-9}\right|^{2}+\left(4\cdot10^{-9}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;E_{M}&=&4.02\cdot10^{4}N\cdot C^{-1} \end{array}$
 
4. Les caractéristiques d'un champ électrique uniforme
 
Un champ électrique uniforme est un champ dont le vecteur champ électrique a même direction, même sens et même intensité en tout point de l'espace champ
 
Schéma de spectre de champ
 
Les lignes de champ sont des droites parallèles.
 
L'ensemble des lignes constitue le spectre électrique
 

Exercice 4

 
1. Le signe de $q'$ est positif car elle attirée par la charge $q$ qui de signe positif 
 
2.1 Bilan des forces qui s'exercent sur $A$
 
Les forces qui s'exercent sur $A$ sont : 
 
Le poids $\overrightarrow{P_{A}}$ ; la tension $\overrightarrow{T}_{A}$ et la force électrostatique $\overrightarrow{F_{A}}$
 
2.2 Représentation de ces forces (voir figure) sur un schéma,
 
2.3 Énoncé la condition d'équilibre de $A$
 
La sphère $A$ est en équilibre sous de ces trois forces ; la somme vectorielle de ces trois forces est nulle
 
$\overrightarrow{P_{A}}+\overrightarrow{T}_{A}+\overrightarrow{F_{_{A}}}=\overrightarrow{0}$
 
2.4 Déduction de la valeur de l'angle $\alpha$
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{P_{A}}+\overrightarrow{T}_{A}+\overrightarrow{F_{A}}=0&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} 0-T_{A}\sin\alpha+F_{A}&=&0\\ mg-T_{A}\cos\alpha+0&=&0 \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} T_{A}\sin\alpha&=&F_{A}\quad(1)\\ T_{A}\cos\alpha&=&mg\quad(2) \end{array}\right.\\(1)\text{ et }(2)\Rightarrow\tan\alpha&=&\dfrac{F_{A}}{mg}\\&=&\dfrac{kq\left|q'\right|}{mgd^{2}}\\&=&\dfrac{kq|-2q|}{mgd^{2}}\\\Rightarrow\tan\alpha&=&\dfrac{2Kq^{2}}{mgd^{2}}\\\Rightarrow\alpha&=&\tan^{-1}\alpha\\&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{2Kq^{2}}{mgd^{2}}\right)\\&=&\tan^{-1}\left(\dfrac{2\times9.00\cdot10^{9}\times\left(200\cdot10^{-9}\right)^{2}}{10.0\cdot10^{-3}\times9.81\times\left(10.0\cdot10^{-2}\right)^{2}}\right)\\\Rightarrow\alpha&=&36.3^{\circ} \end{array}$
 
2.5 Détermination des valeurs des forces qui s'exercent sur $A.$
 
$\begin{array}{rcl} P_{A}&=&mg\\&=&10.0\cdot10^{-3}\times9.81\\\Rightarrow\;P_{A}&=&9.81\cdot10^{-3}N   \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} mg-T_{A}\cos\alpha+0&=&0\\\Rightarrow\;T_{A}&=&\dfrac{P_{A}}{\cos\alpha}\\&=&\dfrac{9.81\cdot10^{-3}}{\cos36.3^{\circ}}\\\Rightarrow\;T_{A}&=&12.2\cdot10^{-3}N \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} F_{A}&=&\dfrac{2kq^{2}}{d^{2}}\\&=&\dfrac{2\times9.00\cdot10^{9}\times\left(200\cdot 10^{-9}\right)^{2}}{\left(10.0\cdot 10^{-2}\right)^{2}}\\ \Rightarrow\;F_{A}&=&72\cdot 10^{-3}N \end{array}$
 
3.1 Bilan des forces qui s'exercent sur $B.$
 
Les forces sur $B$ sont :
 
Le Poids $\overrightarrow{P_{B}}$, la tension du fil $\overrightarrow{T}_{B}$ et les forces électrostatiques $\overrightarrow{F}_{A/B}$ et $\overrightarrow{F}_{C/B}$ exercées respectivement par les sphères $A$ et $C$ sur la sphère $B$
 
3.2 Représentation de ces forces (voir figure) sur un schéma, sans souci d'échelle mais en respectant leurs
 
 
3.3 Détermination des valeurs des forces qui s'exercent sur $B.$
 
$\begin{array}{rcl} P_{B}&=&mg\\&=&10.0\cdot10^{-3}\times9.81\\\Rightarrow\;P_{B}&=&9.81\cdot10_{-3}N \end{array}$
 
$T_{B}=P_{B}=9.81\cdot10^{-3}N$
 
$\begin{array}{rcl} F_{A\longrightarrow\;B}&=&F_{C\longrightarrow\;A}\\&=&F_{A}\\\Rightarrow\;F_{A\longrightarrow\;B}&=&F_{C\longrightarrow\;A}\\&=&72.10\cdot^{-3}N \end{array}$

Exercice 5

 
1. Détermination des caractéristique du vecteur champ électrostatique
 
du vecteur champ électrostatique au point $C$
 
$-\ $Point, direction et sens : voir figure 
 
$- $Intensité :
 
$\begin{array}{rcl} E_{A}&=&k\dfrac{\left|q_{1}\right|}{AO^{2}}\text{ or }AO=BO\\\Rightarrow\;E_{A}&=&\dfrac{k}{AC^{2}}\left(\left|q_{A}\right|+q_{B}\right)\\\Rightarrow\;E_{A}&=&\dfrac{9.0\cdot10^{9}\left|-10\cdot10^{-9}\right|}{\left(5\cdot10^{-2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;E&=&3.6\cdot10^{4}N\cdot C^{-1} \end{array}$
 
2.a. Bilan des forces qui s'exercent sur la sphère $(S)$ et représentation de ces forces (voir figure).
 
Les forces qui s'exercent sur la sphère sont : 
 
Le poids,$\overrightarrow{P}$ ; la réaction $\overrightarrow{R}$ et les forces électrostatiques $\overrightarrow{F_{A}}$ et $\overrightarrow{B_{B}}$
 
b. Calcul de la masse $m$ et la valeur de la réaction de la tige.
 
La condition d'équilibre de la sphère s'écrire :
 
$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}+\overrightarrow{F_{A}}+\overrightarrow{F_{B}}=\overrightarrow{0}$
 
Suivant le sens de $\overrightarrow{F_{A}}$ : 
 
$\begin{array}{rcl}-P\sin\alpha+0+F_{A}+F_{B}&=&0\\\Rightarrow\;P\sin\alpha&=&F_{A}+F_{B}\\\Rightarrow\;mg\sin\alpha&=&k\dfrac{\left|q_{1}\right|q}{AC^{2}}+k\dfrac{q_{2}q}{BC^{2}}\\\Rightarrow\;m&=&k\dfrac{q_{2}q}{g\sin\alpha}\left(\dfrac{1}{AC^{2}}+\dfrac{1}{BC^{2}}\right)\\\Rightarrow\;m&=&9.0\cdot 10^{9}\times\dfrac{10\cdot 10^{-9}\times30\cdot 10^{-9}}{10\times\sin 30^{\circ}}\left(\dfrac{1}{\left(5\cdot 10^{-2}\right)^{2}}+\dfrac{1}{\left(15\cdot 10^{-2}\right)^{2}}\right)\\\Rightarrow\;m&=&2.4\cdot 10^{-4}kg \end{array}$
 
Suivant le sens de $\overrightarrow{R}$ : 
 
$\begin{array}{rcl} -P\cos\alpha+R+0+0&=&0\\\Rightarrow\;R&=&P\cos\alpha\\\Rightarrow\;R&=&mg\cos\alpha\\&=&2.4\cdot10^{-4}\times10\cos30^{\circ}\\\Rightarrow\;R&=&2.1\cdot10^{-3}N \end{array}$
 
3. Lorsque la tige $AB$ est horizontale, la sphère ne reste plus immobile.
 
Elle se déplace vers la sphère $A$ à cause de l'action des deux forces électrostatiques

Exercice 6


 
1. Calcul de la distance $AB$ à m'équilibre.
 
$\begin{array}{rcl} AB&=&OO'-2l\sin\alpha\\&=&14-\times0\cdot1\\\Rightarrow\;AB&=&10\;cm \end{array}$
 
2.1 Représentation de toutes les forces exercées sur les boules $A$ et $B$ (voir figure)
 
2.2 Détermination de la valeur de la force de l'interaction électrique existant entre es boules $A$ et $B.$
 
$\begin{array}{rcl} F_{AB}&=&\dfrac{Kq_{A}|q_{B}|}{AB^{2}}\\&=&\dfrac{9\cdot10^{9}\times2\cdot10^{-6}\times2\cdot10^{-6}}{\left(10\cdot10^{-2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;F_{AB}&=&3.6N \end{array}$

Exercice 7

 
1. Représentation, des forces électrique $\overrightarrow{F}_{A/B}$ et $\overrightarrow{F}_{B/A}$ (Voir figure)
 
Caractéristique de $\overrightarrow{F}_{A/B}$
 
$\begin{array}{rcl} F_{A/B}&=&k\dfrac{q_{A}\times q_{B}}{AB^{2}}\\&=&k\dfrac{q_{A}\times q_{B}}{\left(2R\sin\alpha\right)^{2}}\\&=&9\cdot10^{9}\dfrac{2\cdot10^{-7}\times 2\cdot10^{-7}} {\left(2\times6\cdot10^{-2}\sin 30^{\circ}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;F_{A/B}&=&0.10N \end{array}$
 
2.1 Représentation, au point $O$, des vecteurs champ électrostatiques de 
 
de $\overrightarrow{E}_{A}$ et $\overrightarrow{E}_{B}$ ( Voir figure) Calcul de la valeur de $\overrightarrow{E}_{A}$
 
$\begin{array}{rcl} E_{A}&=&k\dfrac{q_{A}}{AO^{2}}\\&=&k\dfrac{q_{A}}{R^{2}}\\&=&9\cdot10^{9}\dfrac{2\cdot^{-7}}{\left(6\cdot10^{-2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;E_{A}&=&5.0\cdot10^{5}N\cdot C^{-1} \end{array}$
 
2.2 Détermination des caractéristiques du vecteur champ électrostatique $\overrightarrow{E}_{0}=\overrightarrow{E}_{A}+\overrightarrow{E}_{B}$
 
$-\ $Point, direction et sens : voir figure
 
$-\ $Intensité : 
 
$\begin{array}{rcl} \dfrac{E_{0 }}{2}&=&E_{A}\\\Rightarrow\;E_{o}&=&2E_{A}\\&=&2\times5.0\cdot10^{5}\\\Rightarrow\;E_{o}&=&10\cdot10^{5}N\cdot C^{-1} \end{array}$
3.1 Représentation de la force $\overrightarrow{F}$ exercée par $q_{A}$ et $q_{B}$ sur la charge $Q_{o}$ (Voir figure)
 
$Q_{o}$ est signe positif, car la force électrostatique $\overrightarrow{F}=Q_{0}\overrightarrow{E}_{o}$ doit être de même sens que le champ $\overrightarrow{E}_{o}$ pour que le corps ponctuel $(C)$ soit en équilibre 
 
3.2 Écrivons la condition d'équilibre du corps ponctuel $(C)$
 
Calcul de la masse $m$ du corps
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}&=&\overrightarrow{0}\\\Rightarrow\;P-F&=&0\\\Rightarrow\;mg-Q_{0}E_{o}&=&0\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q_{0}E_{o}}{g}\\\Rightarrow\dfrac{2\cdot10^{-8}\times10\cdot10^{5}}{10}\\\Rightarrow\;m&=&2\cdot^{-3}kg \end{array}$
 

Exercice 8

 
1. Déduction de la valeur de la charge $q.$
 
La condition d'équilibre, appliquée à la sphère, s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}&=&\overrightarrow{0} \\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} 0+F-T\sin\alpha&=&0\\ mg+0-T\cos\alpha&=&0 \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} T\sin\alpha&=&F\quad(1)\\ T\cos\alpha&=&mg\quad(2) \end{array}\right.\\\Rightarrow\tan\alpha&=&\dfrac{qE}{mg}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{m\times g\times\tan\alpha}{E}\\&=&\dfrac{2\cdot10^{-2}\times10\times\tan 10^{\circ}}{10^{3}}\\\Rightarrow\;q&=&3.5\cdot10^{-5}C \end{array}$
 
2. Sens et intensité du champ $E'$ pour que le fil s'incline sur la verticale d'un angle
 
Pour que l'angle soit plus grand, il faut que le champ $\overrightarrow{E'}$ soit dirigé vers le haut (voir figure)
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}&=&\overrightarrow{0}\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} 0+qE-T\sin\alpha&=&0\\ mg-qE'+T\cos\alpha&=&0 \end{array}\right.\\&\Rightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} T\sin\alpha&=&qE\quad(1)\\ T\cos\alpha&=&qE'-mg\quad(2) \end{array}\right.\\\Rightarrow\tan\alpha&=&\dfrac{qE}{qE'-mg}\\\Rightarrow\;qE'-mg&=&\dfrac{qE}{\tan\alpha}\\\Rightarrow\;E'&=&\dfrac{E}{\tan\alpha}+\dfrac{mg}{q}\\&=&\dfrac{10^{3}}{\tan 20^{\circ}}+\dfrac{2\cdot10^{-2}\times 10}{3.5\cdot10^{-5}}\\\Rightarrow\;E'&=&8.5\cdot10^{3}N\cdot C^{-1} \end{array}$
 
3. Inclinaison $\alpha'$ si l'on changeait le sens de $E'$ sans modifier,son intensité
 
$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)+M_{\Delta}\left(\overrightarrow{P}\right)+M_{\Delta}&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha+0-C\alpha\\&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha\\\Rightarrow\;C\alpha\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{C\alpha}{2El\cos\alpha}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{13.5\cdot10^{-7}\times\dfrac{pi}{6}}{2\times272\times15\cdot10^{-2}\cos30^{\circ}}\\\Rightarrow\;q&=&4.7\cdot10^{-9}C \end{array}$$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)+M_{\Delta}\left(\overrightarrow{P}\right)+M_{\Delta}&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha+0-C\alpha\\&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha\\\Rightarrow\;C\alpha\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{C\alpha}{2El\cos\alpha}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{13.5\cdot10^{-7}\times\dfrac{pi}{6}}{2\times272\times15\cdot10^{-2}\cos30^{\circ}}\\\Rightarrow\;q&=&4.7\cdot10^{-9}C \end{array}$

Exercice 9


 
1. Calcul, en fonction de $1$, $\alpha$, $q$ et $E$ le moment des forces électrostatiques par rapport à l'axe de rotation du dispositif.
 
$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}_{A}\right)+M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}_{B}\right)\\\text{ or }M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}_{A}\right)&=&F_{A}l\cos\alpha\\&=&qEl\cos\alpha\\\text{ et}M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}_{B}\right)&=&F_{B}l\cos\alpha\\&=&qEl\cos\alpha\\\Rightarrow\;M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&3qEl\cos\alpha \end{array}$
 
2. Calcul du moment du poids du système par rapport à l'axe de rotation.
 
$\Rightarrow\;M_{\Delta}\left(\overrightarrow{P}\right)=2qE1\cos\alpha$
 
3. Calcul de $q$
 
$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}\left(\overrightarrow{F}\right)+M_{\Delta}\left(\overrightarrow{P}\right)+M_{\Delta}&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha+0-C\alpha&=&0\\\Rightarrow\;2qEl\cos\alpha&=&C\alpha\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{C\alpha}{2El\cos\alpha}\\\Rightarrow\;q&=&\dfrac{13.5\cdot10^{-7} \times\dfrac{\pi}{6}}{2\times272\times15\cdot10^{-2}\cos30^{\circ}}\\\Rightarrow\;q&=&4.7\cdot10^{-9}C \end{array}$

Exercice 10

1. Cas où le point $M$ se trouve sur le segment $[AB]$ entre les points $O$ et $B$ :
 
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{A}&=&-k\dfrac{q}{AM^{2}}\vec{i}\\&=&-k\dfrac{q}{(d+x)^{2}}\vec{i} \end{array}$ ;

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{E}_{B}&=&k\dfrac{q}{BM^{2}}\vec{i}\\&=&k\dfrac{q}{(d-x)^{2}}\vec{i} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{M}&=&\overrightarrow{E}_{A}+\overrightarrow{E}_{B}\\&=&-k\dfrac{q}{(d+x)^{2}}\vec{i}+k\dfrac{q}{(d-x)^{2}}\vec{i}\\\Rightarrow\overrightarrow{E}_{M}&=&kq\left(\dfrac{1}{(d-x)^{2}}-\dfrac{1}{(d+x)^{2}}\right)\vec{i}\\\text{En module : }E_{M}&=&kq\left(\dfrac{1}{(d-x)^{2}}-\dfrac{1}{(d+x)^{2}}\right) \end{array}$
 
2. Cas où le point $M$ se trouve dans l'alignement de $AB$ à l'extérieur du segment $[AB]$ du côté du point $B$
 
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{A}&=&\dfrac{q}{AM^{2}}\vec{i}\\&=&k\dfrac{q}{(d+x)^{2}}\vec{i} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{B}&=&k\dfrac{q}{BM^{2}}\vec{i}\\&=&k\dfrac{q}{(x-d)^{2}}\vec{i} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_{M}&=&\overrightarrow{E}_{A}+\overrightarrow{E}_{B}\\&=&k\dfrac{q}{(d+x)^{2}}\vec{i}+k\dfrac{q}{(x-d)^{2}}\vec{i}\\\Rightarrow\overrightarrow{E}_{M}&=&kq\left(\dfrac{1}{(d+x)^{2}+\dfrac{1}{(x-d)^{2}}}\right)\vec{i}\\\text{En module : }E_{M}&=&kq\left(\dfrac{1}{(d+x)^{2}}+\dfrac{1}{(x-d)^{2}}\right) \end{array}$
 
3. Cas où le point $M$ est situé sur la médiatrice du segment $[AB]$
 
 
$\begin{array}{rcl} E_{M}&=&2E_{A}\cos\alpha\\&=&2k\dfrac{q}{AM^{2}}\cos\alpha\text{ avec }AM^{2}\\&=&d^{2}+x^{2}\cos\alpha\\&=&\dfrac{d}{AM}\\&=&\dfrac{d}{\sqrt{d^{2}+x^{2}}}\vec{j} \end{array}$

Exercice 11


 
1. Détermination des caractéristiques (valeur,) des champs électriques $\overrightarrow{E}_{B}$ et $\overrightarrow{E}_{C}$ crées par cette charge aux point $B$ et $C.$
 
$-\ $Point d'application, direction et sens (voir figure)
 
$-\ $Intensité : 

$\begin{array}{rcl} E_{C}&=&E_{B}\\&=&k\dfrac{|Q|}{AC^{2}}\\&=&9.0\cdot10^{9}\dfrac{\left|40\cdot10^{-9}\right|}{\left(\left(2.0\cdot10^{-2}\right)^{2} \left(2.0\cdot10^{-2}\right)^{2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;E_{C}&=&E_{B}\\&=&12.7\cdot10^{3}N\cdot C^{-1} \end{array}$
 
2. Représentation de ces champs (voir figure)
 
3. Représentation quelques lignes de champs autour du point $A$
 
 
4.1 Détermination des caractéristique de la force électrique s'exerçant sur la charge.
 
$-\ $Point d'application, direction et sens (voir figure)
 
$-\ $Intensité :
 
$\begin{array}{rcl} F_{A/C}&=&k\dfrac{|Q||q|}{AC^{2}}\\&=&9.0\cdot10^{9}\dfrac{\left|-40\cdot10^{-9}\right|\left|-10\cdot10^{-9}\right|}{\left(\left(2.0\cdot10^{-2}\right)^{2}+\left(2.0\cdot10^{-2}\right)^{2}\right)^{2}}\\\Rightarrow\;F_{A/C}&=&12.7\cdot10^{-5}N \end{array}$
 
4.2 Représentation de cette force (voir figure)
 
4.3 Représentation de la force électrique qui s'exerce sur la charge $Q.$

(Voir figure)

Auteur: 
Sidy Mouhamed Ndiaye

Solution des exercices : la Calorimétrie - 1er s

Classe: 
Première
 

Exercice 1

1. Calcul de quantité de chaleur nécessaire pour élever de $20^{\circ}C$ à $80^{\circ}C$ une masse égale a $1$ tonne d'eau.
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&mC_{e}\left(t_{f}-t_{i}\right)\\&=&10^{3}\times4180(80-20)\\\Rightarrow\;Q&=&2.5\cdot10^{8}J \end{array}$
 
2. Altitude $Z$ dont on pourrait soulever cette tonne d'eau ?
 
$\begin{array}{rcl} E_{p}&=&Q\\\Rightarrow\;mgh&=&Q \\\Rightarrow\;h&=&\dfrac{Q}{mg}\\&=&\dfrac{2.5\cdot10^{8}}{10^{3}\times10}\\\Rightarrow\;h&=&2.5\cdot10^{4}m \end{array}$

Exercice 2

1. Calcul de la température final $t_{f}$
 
$Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau chaude : $Q_{1}=m_{1}c_{e}\left(t_{f}-t_{1}\right).$
 
$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau froide : $Q_{2}=m_{2}c_{e}\left(t_{f}-t_{2}\right)$
 
Le système ${\text{calorimètre}+\text{contenu}}$ est isolé:
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{e}\left(t_{f}-t_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(t_{f}-t_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}\left(t_{f}-t_{1}\right)+m_{2}\left(t_{f}-t_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}+m_{2}\right)t_{f}&=&m_{1}t_{1}+m_{2}t_{2}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&\dfrac{m_{1}t_{1}+m_{2}t_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\&=&\dfrac{95\times20+100\times50}{95+100}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&35.4^{\circ}C \end{array}$
 
2. Calcul de la valeur en eau $\mu$
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;\left(m_{1}+\mu\right)c_{e}\left(t_{f}^{'}-t_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(_{f}^{'}-t_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}+\mu\right)\left(t_{f}^{'}-t_{1}\right)&=&-m_{2}\left(t_{f}^{'}-t_{2}\right)\\\Rightarrow\;m_{1}+\mu&=&-\dfrac{m_{2}\left(t_{f}^{'}-t_{2}\right)}{t_{f}^{'}-t_{1}}\\\Rightarrow\mu&=&-\dfrac{100(31.3-50)}{31.3-20}-95\\\Rightarrow\mu&=&70.5g \end{array}$

Exercice 3

1. Calcul de la valeur en eau $\mu$ du calorimètre
 
$Q_{1}$ la quantité de chaleur par le calorimètre et l'eau à la température $t_{a}$ : $Q_{1}=\mu c_{e}\left(t_{1}-t_{a}\right)$
 
$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau froide : $Q_{2}=m_{e}C_{e}\left(t_{1}-t_{e}\right)$
 
Le système ${\text{Calorimètre}+\text{contenu}}$ est isolé :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\mu C_{e}\left(t_{1}-t_{a}\right)+m_{e}c_{e}\left(t_{1}-t_{e}\right)&=&0\\\Rightarrow\mu c_{e}\left(t_{1}-t_{a}\right)&=&-m_{e}c_{e}\left(t_{1}-t_{e}\right)\\\Rightarrow\mu&=&-\dfrac{m_{e}\left(t_{1}-t_{e}\right)}{t_{1}-t_{a}}\\\Rightarrow\mu&=&-\dfrac{90\cdot10^{-3}\times(24.5-25)}{24.5-15.5}\\\Rightarrow\mu&=&5.0\cdot10^{-3}kg\end{array}$
 
2. Calcul de la chaleur massique du platine.
 
$Q_{1}$ la quantité de chaleur gagnée par le calorimètre et l'eau à la température $t_{1}$ : $Q_{1}=c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)$
 
$Q_{2}$ la quantité de chaleur cédée par le platine : $Q_{2}=m_{p}C_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)$
 
Le système ${\text{Calorimètre}+\text{contenu}}$ est isolé :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)+m_{p}c_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{p}c_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{p}c_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)&=&-c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)\\\Rightarrow\,c_{p}&=&\dfrac{c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)}{m_{p}\left(t_{2}-t_{p}\right)}\\\Rightarrow\;c_{p}&=&\dfrac{4185\left(0.021+90\cdot10^{-3}\right)\left(27.7-24.5\right)}{100\cdot10^{-3}(27.7-104)}\\\Rightarrow\;c_{p}&=&195Jkg^{-1} \end{array}$
 
3. Calcul de la température finale $t_{3}$
 
$Q_{1}$ La quantité de chaleur échangée par e calorimètre, le plaine et l'eau à la température $t_{2}$ :
 
$Q_{1}=\left(m_{p}C_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\right)\left(t_{3}-t_{2}\right)$
 
$Q_{2}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau à la température $t_{a}$ : $Q_{2}=mC_{e}\left(t_{3}-t_{a}\right)$
 
Le système ${\text{calorimètre}+\text{contenu}}$ est isolé :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{p}C_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\right)\left(t_{3}-t_{2}\right)+mc_{e}\left(t_{3}-t_{a}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{p}c_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}+m\right)\right)t_{3}&=&\left(m_{p}c_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\right)t_{2}+mc_{e}t_{a}\\\Rightarrow\;t_{3}&=&\dfrac{\left(m_{p}c_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}\right)\right)t_{2}+mc_{e}t_{a}}{\left(m_{p}c_{p}+c_{e}\left(\mu+m_{e}+m\right)\right)}\\\Rightarrow\;t_{3}&=&\dfrac{\left(100\cdot10^{-3}\times195+4185\left(5.0\cdot10^{-3}\right)\right)\times27.7+23\cdot10^{-3}\times4185\times15.5} {\left(100\cdot10^{-3}\times195+4185\left(5.0\cdot10^{-3}+90\cdot10^{-3}+23\cdot10^{-3}\right)\right)}\\\Rightarrow\;t_{3}&=&25.4^{\circ}C \end{array}$

Exercice 4

1. Calcul de la température finale $t_{f}.$
 
Soit $Q_{0}$ la quantité de chaleur cédée par le cuivre et par l'eau
 
$Q_{0}=\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)\left(t_{f}-t_{e}\right)$
 
Soit $Q_{1}$ la quantité de chaleur gagnée par le cuivre
 
$Q_{1}=m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)$
 
Le calorimètre et son contenu constituent un système isolé.
 
Le bilan thermique s'écrit : 
 
$\begin{array}{rcl} Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)\left(t_{f}-t_{e}\right)+m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)\\&=&0\\\Rightarrow\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}+m_{1}C_{cu}\right)t_{f}-\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{cu}\right)t_{e}-m_{1}C_{cu}t_{1}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}+m_{1}C_{cu}\right)t_{f}&=&\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)t_{e}+m_{1}C_{cu}t_{1}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&\dfrac{\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)t_{e}+m_{1}C_{cu}t_{1}}{m_{e}C_{e}+m_{c}C_{cu}+m_{1}C_{cu}}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&\dfrac{(100\times395+200\times4158 \times4+300\times395\times-20}{200\times4185+100\times395+300\times395}\\\Rightarrow\;t_{f}&=&1.14^{\circ}C \end{array}$
 
2. Montrons qu'une partie de l'eau congèle. 
 
Soit $Q_{0}$ la quantité de  chaleur cédée par le cuivre et par l'eau
 
$\begin{array}{rcl} Q_{0}&=&\left(m_{c}C_{cu}+m_{e}C_{e}\right)\left(t_{f}-t_{e}\right)\\&=&\left(100\cdot10^{-3}\times395+200\cdot10^{-3}\times4185\right)(0-4)\\\Rightarrow\;Q_{0}&=&-3506J \end{array}$
 
Soit $Q_{1}$ la quantité de chaleur gagnée par la cuivre
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&m_{1}C_{cu}\left(0-t_{2}\right)\\&=&300\cdot10^{-3}\times395(0-(-50))\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&5925J \end{array}$
 
$\left|Q_{1}\right|>\left|Q_{0}\right|$
 
La quantité de chaleur gagnée par le cuivre est supérieure à celle cédée par l'eau et le calorimètre pour abaisser sa température jusqu'à $0^{\circ}C.$ 
 
Une partie de l'eau va donc geler pour céder de l'énergie thermique au cuivre.
 
Soit $Q$ l'énergie cédée par cette eau pour geler
 
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre en cuivre}+\text{cuivre}}$ est isolé : 
 
$\begin{array}{rcl} Q+Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{0}-Q_{1}\\\Rightarrow\;Q&=&(-3506)-5925\\\Rightarrow\;Q&=&-2419J \end{array}$
 
Soit $m$ la masse d'eau gelée.
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&mL_{s}\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q}{L_{s}}\\&=&\dfrac{-2419}{-3.34\cdot10^{5}}\\\Rightarrow\;m&=&7.24\cdot10^{-3}Kg\\\Rightarrow\;m&=&7.24g \end{array}$

Exercice 5

1. Calcul de la capacité calorifique $C_{cal}$ du calorimètre.
 
1. Température d'équilibre
 
Soit $Q_{0}$ la quantité de chaleur gagnée le calorimètre
 
$Q_{0}=C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)$
 
Soit $Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par le bloc de cuivre
 
$Q_{1}=m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)$
 
Le calorimètre et son contenu constituent un système isolé.
 
Le bilan thermique s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl}Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\;C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)+m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)\\&=&0\\\Rightarrow\;C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)&=&-m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)\\\Rightarrow\;C_{cal}&=&-\dfrac{m_{1}C_{cu}\left(t_{f}-t_{1}\right)}{\left(t_{f}-t_{c}\right)}\\\Rightarrow\;C_{cal}&=&-\dfrac{200\cdot10^{-3}\times395(20-100)}{20-15}\\\Rightarrow\;C_{cal}&=&1264J\cdot K^{-1} \end{array}$
 
2. Calcul de la chaleur massique de l'alliage
 
le bilan thermique s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\;C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)+m_{2}C_{Al}\left(t_{f}-t_{c}\right)+m_{2}C_{Al}\left(t_{f}-t_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{2}C_{Al}\left(t_{f}-t_{2}\right)&=&-C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)\\\Rightarrow\;C_{Al}&=&-\dfrac{C_{cal}\left(t_{f}-t_{c}\right)}{m_{2}\left(t_{f}-t_{2}\right)}\\\Rightarrow\;C_{Al}&=&-\dfrac{1264\times(20-15)}{100\cdot10^{-3}\times(20-100)}\\\Rightarrow\;C_{Al}&=&790J\cdot K^{-1} \end{array}$

Exercice 6

1. Déduction de la capacité calorifique $C$ du calorimètre $+$ récipient.
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&mP_{c}\\&=&C\left(t_{1}-t_{0}\right)\\\Rightarrow\;C&=&\dfrac{mP_{c}}{t_{1}-t_{0}}\\&=&\dfrac{1\cdot10^{-3}\times40500\cdot10^{3}}{21.4-18.3}\\\Rightarrow\;C13.1\cdot10^{3}J \end{array}$
 
2. Détermination de l'expression littérale de $P_{c^{'}}$ puis faire l'application numérique
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&mP'_{c}\\&=&C\left(t_{2}-t_{0}\right)\\\Rightarrow\;P'_{c}&=&\dfrac{C\left(t_{2}-t_{0}\right)}{m}\\&=&\dfrac{13.1\cdot10^{3}\times(20.8-18.3)}{1\cdot10^{-3}}\\\Rightarrow\;P'_{c}&=&32.75\cdot^{6}J\cdot kg^{-1} \end{array}$

Exercice 7

1. Température d'équilibre
 
Soit $Q_{1}$ la quantité de chaleur gagnée par l'eau froide pour passer de $\theta_{1}$ à $\theta_{e}$
 
$Q_{1}=m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
 
Soit $Q_{2}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau chaude pour passer de $\theta_{2}$ à $\theta_{e}$
 
$Q_{2}=m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
 
Le calorimètre et son contenu constituent un système isolé.
 
Le bilan thermique s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{Al}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{Al}+m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{e}&=&m_{1}C_{Al}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{m_{1}C_{Al}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}}{m_{1}C_{Al}+m_{2}C_{e}+C}\\&=&\dfrac{\left(30.2\cdot10^{-3}\times920\times100\right)+\left(100\cdot10^{-3}\times 4185+32.3\right)\times 18}{30.2\cdot10^{-3}\times 920+100\cdot10^{-3}\times 4185+32.3}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&22.8^{\circ}C \end{array}$
2. Déduction de la capacité thermique du colorimètre et de ces accessoires.
 
Le bilan thermique s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2} \right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)&=&-m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;m_{1}C_{e}+C&=&-\dfrac{m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{\theta_{e}-\theta_{1}}\\\Rightarrow\;C&=&-\dfrac{m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{\theta_{e}-\theta_{1}}-m_{1}C_{e}\\\Rightarrow\;C&=&-\dfrac{\left(80\cdot10^{-3}\times4185\right)(35.9-60)}{(35.9-18)}-100\cdot10^{-3}\times4185\\\Rightarrow\;C&=&32.3J^{\circ}\cdot C^{-1} \end{array}$
 
3. Calcul de la chaleur massique du cuivre
 
$Q_{1}$ La quantité de chaleur cédée par le morceau de cuivre :
 
$Q_{1}+m_{1}C_{cu}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
 
$Q_{2}$ La quantité de chaleur captée par l'eau froide et le calorimètre : $Q_{2}=\left(m_{2}+C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
 
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{cuivre}}$ est isolé 
 
4. Détermination de la température d'équilibre.
 
$Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par le morceau d'aluminium :
 
$Q_{1}=m_{1}C_{Al}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
 
$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau et le calorimètre :
 
$Q_{2}=\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
 
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{aluminium}}$ est isolé :

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{Al}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{Al}+m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{e}&=&m_{1}C_{Al}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{m_{1}C_{Al}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}}{m_{1}C_{Al}+m_{2}C_{e}+C}\\&=&\dfrac{\left(30.2\cdot10^{-3}\times920\times100\right)\left(100\cdot10^{-3}\times4185+32.3\right)\times18}{30.2\cdot10^{-3}\times920+100\cdot10^{-3}\times4185+32.3}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&22.8^{\circ}C \end{array}$


5. Calcul de la température d'équilibre
 
$Q_{1}$ la quantité de chaleur captée par la glace à la température $\theta_{1}=0^{\circ}C$ : 
 
$Q_{1}=m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)+m_{1}L_{f}$
 
$Q_{2}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau et le calorimètre : 
 
$Q_{2}=\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
 
Le système ${\text{eau} + \text{calorimètre} + \text{glace}}$ est isolé :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)+m_{1}L_{f}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{e}&=&\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}-m_{1}L_{f}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}-m_{1}L_{f}}{m_{1}C_{e}+m_{2}C_{e}+C}\\&=&\dfrac{\left(100\cdot10^{-3}\times4185+32.3\right)\times18-25\cdot10^{-3}\times333.7\cdot10^{3}}{25\cdot10^{-3}\times4185+100\cdot10^{-3}\times4185+32.3}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&-0.41^{\circ}C \end{array}$
 
Ce résultat est aberrant ; la température d'équilibre est donc : $\theta_{1}=0^{\circ}C$
 
6. Température d'équilibre
 
$Q_{1}$ laquantité de chaleur captée par la glace à la température $\theta_{1}=-18^{\circ}C$ :
 
$Q_{1}=m_{1}C_{g}\left(0-\theta_{1}\right)+m_{1}L_{f}+m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)$
 
$Q_{2}$ La quantité de chaleur cédée par l'eau et le calorimètre :
 
$Q_{2}=\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
 
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{glace}}$ est isolé :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{g}\left(0-\theta_{1}\right)+m_{1}L_{f}+m_{1}L_{f}+m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{e}&=&m_{1}C_{g}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2} m_{1}L_{f}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{m_{1}C_{g}\theta_{1}+\left(m_{2}C_{e}+C\right)\theta_{2}-m_{1}L_{f}}{m_{1}C_{e}+m_{2}C_{e}+C}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{100\cdot10^{-3}\times2.10\cdot10^{3}\times-18+\left(100\cdot10^{-3}\times4185+32.3\right)\times18-25\cdot10^{-3}\times333.7\cdot10^{3}}{25\cdot10^{-3}\times4185+100\cdot10^{-3}\times4185+32.3}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&-7.2^{\circ}C \end{array}$

Exercice 8

1. Expression littérale de la quantité de chaleur cédée par la brique au système ${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ en fonction de $m_{1}$, $c_{1}$ et des températures $\theta_{1}$ et $\theta_{F}$
 
$Q_{1}=m_{1}c_{1}\left(\theta_{F}-\theta_{1}\right)$
 
2. Expression littérale de la quantité de chaleur reçue par le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ en fonction de $m_{2}$, $c_{2}$, $\mu$ et des températures $\theta_{2}$ et $\theta_{F}$
 
$Q_{2}=\left(m_{2}c_{2}+\mu\right)\left(\theta_{F}-\theta_{2}\right)$
 
3. Détermination de la capacité thermique massique $c_{1}$ de la brique.
 
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{brique}}$ est isolé :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{1}\left(\theta_{F}-\theta_{1}\right)+\left(m_{2}c_{2}+\mu\right)\left(\theta_{F}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{1}\left(\theta_{F}-\theta_{1}\right)&=&-\left(m_{2}c_{2}+\mu\right)\left(\theta_{F}-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;c_{1}&=&-\dfrac{\left(m_{2}c_{2}+\mu\right)\left(\theta_{F}-\theta_{2}\right)}{m_{1}\left(\theta_{F}-\theta_{1}\right)}\\\Rightarrow\;c_{1}&=&\dfrac{\left(400\cdot10^{-3}\times4.18+209\right)(19.9-16.0)}{100\cdot10^{-3}(92.0-19.9)}\\\Rightarrow\;c_{1}&=&105.2J^{\circ}C^{-1} \end{array}$

Exercice 9

1. Bain à $37^{\circ}C$
 
Détermination des $V_{1}$ et $V_{2}$
 
$Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par l'eau chaude : $Q_{1}=m_{1}c_{e}\left(\theta-\theta_{1}\right)$.
 
$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau froide : $Q_{2}=m_{2}c_{e}\left(\theta-\theta_{2}\right)$
 
Le système ${\text{eau}}$ est isolée :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{e}\left(\theta-\theta_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(\theta-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}\left(\theta-\theta_{1}\right)+m_{2}\left(\theta-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}(37-70)+m_{2}(37-15)&=&0\\\Rightarrow\;-33m_{1}+22m_{2}&=&0 \end{array}$
 
Masse totale est : 
 
$\begin{array}{rcl} m&=&\rho_{\text{eau}}V\\&=&1\times250\\\Rightarrow\;m&=&250\;kg\\\Rightarrow\;m_{1}+m_{2}\\&=&250\;kg \end{array}$
 
D'où le système d'équation :
 
$\left\lbrace\begin{array}{lcl} -33\;m_{1}+22\;m_{2}&=&0\quad[1]\\ m_{1}+m_{2}&=&250\quad[2] \end{array}\right.$
 
$\begin{array}{lcr} [1]+33\cdot[2]\Rightarrow\;55\cdot m_{2}&=&8250\\\Rightarrow\;m_{2}&=&150\;kg \end{array}$
 
 
$\begin{array}{rcl} m_{1}+m_{2}&=&250\\\Rightarrow\;m_{1}&=&250-m_{2}\\\Rightarrow\;m_{1}&=&250-100\\\Rightarrow\;m_{1}&=&100\;kg\end{array}$
 
 
$\begin{array}{rcl} V_{1}&=&\dfrac{m_{1}}{\rho_{\text{eau}}}\\&=&\dfrac{100}{1}\\\Rightarrow\;V_{1}&=&100\;L\end{array}$ 
 
 
$\begin{array}{rcl}V_{2}&=&\dfrac{m_{2}}{\rho_{\text{eau}}}\\&=&\dfrac{150}{1}\\\Rightarrow\;V_{2}&=&150\;L\end{array}$ 
 
Il faut donc $150\;L$ d'eau froide à $15^{\circ}C$ et $100\;L$ d'eau chaude à $70^{\circ}C$ pour obtenir $250\;L$ d'un bain à $37^{\circ}C$ 
 
2. Capacité thermique massique du plomb
 
Détermination de la chaleur massique du plomb.
 
$Q_{1}$ la quantité de chaleur cédée par le bloc de plomb $Q_{1}=m_{1}C_{Pb}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
 
$Q_{2}$ la quantité de chaleur captée par l'eau froide et le calorimètre : $Q_{2}=\left(m_{2}c_{\text{eau}+C}\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
 
le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}+\text{plomb}}$ est isolé :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{Pb}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+\left(m_{2}C_{\text{eau}}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}C_{Pb}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)&=&-\left(m_{2}C_{\text{eau}}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;C_{Pb}&=&-\dfrac{\left(m_{2}C_{\text{eau}}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{m_{1}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)}\\&=&\dfrac{\left(m_{2}C_{\text{eau}}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{m_{1}\left(\theta_{1}-\theta_{e}\right)}\\&=&\dfrac{\left(350\cdot10^{-3}\times 4185+209\right)(17.7-16)}{280\cdot10^{-3}(98-17.7)}\\\Rightarrow\;C_{Pb}&=&126.5J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1} \end{array}$

Exercice 10

1. Bloc de fer plongé dans l'eau
 
Détermination de l'état final d'équilibre du système (température final, masse des différents corps présents dans le calorimètre).
 
Soit $Q_{1}$ l'énergie captée par le bloc de fer pour de $\theta_{1}$ à $0^{\circ}C$ :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&m_{1}C_{Fe}\left(0-\theta_{1}\right)\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&500\cdot10^{-3}\times460(0-(-30))\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&6900J  \end{array}$
 
Soit $Q_{2}$ l'énergie cédée par l'eau pour passer de $4^{\circ}C$ à $0^{\circ}C$ :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{2}&=&m_{2}C_{\text{eau}}\left(0-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&m_{2}C_{\text{eau}}\left(0-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&200\cdot10^{-3}\times4185(0-4)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&-3348J \end{array}$
 
$\left|Q_{1}\right|>\left|Q_{2}\right|.$
 
L'énergie captée par le fer est supérieure à celle cédée par l'eau pour abaisser sa température jusqu'à $0^{\circ}C$. 
 
Une partie de l'eau va donc geler pour céder de l'énergie thermique au bloc de fer.
 
Soit $Q$ l'énergie cédée par cette eau pour geler.
 
Le système ${\text{eau}+\text{fer}}$ est isolé : 
 
$\begin{array}{rcl} Q+Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{1}-Q_{2}\\\Rightarrow\;Q&=&-6900-(-3348)\\\Rightarrow\;Q&=&3552J \end{array}$
 
Soit $m$ la masse d'eau gelée.
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&mL_{s}\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q}{L_{s}}\\&=&\dfrac{-3552}{-3.34\cdot10^{5}}\\\Rightarrow\;m&=&10.6\cdot10^{-3}kg\\\Rightarrow\;m&=&10.6\;g \end{array}$
 
Le système est donc composé de :
 
$m_{Fe}=500\;g\text{ de fer à la température de }0^{\circ}C$ ;
 
$m_{g}=10.6\;g\text{ de glace à la température de }0^{\circ}C$
 
$m_{\text{ eau }}=200-10.6=189.4\;g\text{ d'eau à la température de }0^{\circ}C$
 
Autre méthode
 
Soit $Q_{1}$ l'énergie captée par le fer pour passer de $\theta_{1}$ à $\theta_{e}$
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&m_{1}C_{Fe}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&500\cdot10^{-3}\times460\left(\theta_{e}-(-)\right)\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&230\theta_{e}+6900 \end{array}$
 
Soit $Q_{2}$ l'énergie cédée par l'eau pour passer de $\theta_{2}$ à $\theta_{e}$ 
 
$\begin{array}{rcl} Q_{2}&=&m_{2}C_{\text{eau}}\left(0-\theta_{2}\right)+m_{2}L_{s}+m_{2}C_{\text{glace}}\left(\theta_{e}-0\right) \\&=&0.2\times4185(0-4)+0.2\left(-3.34\cdot10^{5}\right)+0.2\times2090\left(\theta_{e}-0\right)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&-3348-66800+418\theta_{e} \end{array}$
 
Si l'eau se transforme entièrement en glace, elle cédera beaucoup plus d'énergie que celle nécessaire pour que le morceau de fer ait une température de $0^{\circ}C$
 
La température d'équilibre sera donc de $0^{\circ}C.$
 
On aura donc : $Q_{1}=6900J$ et $Q_{2}=-3348J$
 
Soit $m$ la masse d'eau qui va geler et soit $Q$ l'énergie cédée par l'eau pour se transformer en glace.
 
Le système ${\text{eau}+\text{fer}}$ est isolé :
 
$\begin{array}{rcl} Q+Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{1}-Q_{2}\\\Rightarrow\;Q&=&-6900+3348\\\Rightarrow\;Q&=&-3552J \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&mL_{s}\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q}{L_{s}}\\&=&\dfrac{-3552}{-3.34\cdot10^{5}}\\\Rightarrow\;m&=&10.6\cdot10^{-3}\;kg\\\Rightarrow\;m&=&10.6\;g \end{array}$
 
Le système est donc composé de :
 
$m_{Fe}=500\,g$ de fer à la température de $0^{\circ}C$
 
$m_{g}=10.6\;g$ de glace à la température de $0^{\circ}C$ ;
 
$m_{\text{eau}}=200-10.6=189.4\;g$ d'eau à la température de $0^{\circ}C;$
 
2. Détermination de l'état final d'équilibre su système (température finale, masse des différents corps présents dans le calorimètre).
 
Soit $Q_{1}$ l'énergie captée par l'eau et calorimètre pour passer de  $\theta_{1}$ à $\theta_{e}$ 
 
$Q_{2}=\left(m_{1}+C\right)+\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
 
Soit $Q_{2}$ l'énergie cédée par le glaçon pour passer de $\theta_{2}$ à $\theta_{e}$
 
$Q_{2}=m_{2}C_{2}\left(\theta-\theta_{2}\right)+m_{2}L_{f}+m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta\right)$
 
le bilan thermique s'écrit : 
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}C_{g}\left(\theta-\theta_{2}\right)+m_{2}L_{f}+m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-0\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}C_{e}+C+m_{2}C_{e}\right)\theta_{e}&=&\left(m_{1}C_{e}+C\right)\theta_{1}m_{2}C_{g}\theta_{2}-m_{2}L_{f}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{\left(m_{1}C_{e}+C\right)\theta_{1}+m_{2}C_{g}\theta_{2}-m_{2}L_{f}}{\left(m_{1}C_{e}+C+m_{2}C_{e}\right)}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{\left(200\cdot10^{-3}\times4185+150\right)\times50+160\cdot10^{-3}\times2090\times-23-160\cdot10^{-3}\times3.34\cdot10^{5}}{\left(200\cdot10^{-3}\times4185+150+160\cdot10^{-3}\times4185\right)}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&-7.11^{\circ}C \end{array}$
 
Ce résultat est aberrant car à cette température et sous la pression atmosphérique, l'eau est à l'état solide.
 
La totalité de la glace ne fondra pas et la température du système sera $\theta_{e}=0^{\circ}C$
 
Soit $Q_{1}$ l'énergie cédée par l'eau et le calorimètre pour passer de $\theta_{1}=50^{\circ}C$ à $\theta_{e}=0^{\circ}C$
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&\left(m_{1}C_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)\\&=&\left(200\cdot10^{-3}\times 4185+150\right)(0-50)\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&-49350J \end{array}$
 
Soit $Q_{2}$ l'énergie captée par le bloc de glace pour passer de $\theta_{2}=-23^{\circ}C$ à $\theta_{e}=^{\circ}C$
 
$\begin{array}{rcl} Q_{2}&=&m_{2}c_{g}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&160\cdot10^{-3}\times2090(0-(-23))\\\Rightarrow\;Q_{2}&=&7691.20J \end{array}$
 
Soit $m$ la masse de glace qui va fondre et soit $Q$ l'énergie captée par cette glace.
 
Le système ${\text{eaau}+\text{glace}+\text{calorimètre}}$ est isolé :
 
$\begin{array}{rcl} Q+Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{1}-Q_{2}\\\Rightarrow\;Q&=&49350-7691.2\\\Rightarrow\;Q&=&41658.80J \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&mL_{f}\\\Rightarrow\;m&=&\dfrac{Q}{L_{f}}\\&=&\dfrac{41658.80}{3.34\cdot10^{5}}\\\Rightarrow\;m&=&125\cdot10^{-3}kg\\\text{ ou }m&=&125\;g \end{array}$
 
Le système est donc composé de : 
 
$m_{g}=160-125=35\;g$ de glace à la température de $0^{\circ}C.$
 
$m_{\text{eau}}=200+125=325\;g$ d'eau à la température de $0^{\circ}C$

Exercice 11

Détermination de la capacité thermique d'un calorimètre
 
1. Détermination de la température d'équilibre
 
Quantité de chaleur captée par l'eau froide : $Q_{1}=m_{1}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
 
Quantité de chaleur cédée par l'eau chaude : $Q_{2}=m_{2}C_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
 
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ est isolé :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\;m_{1}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}c_{e}+m_{2}c_{e}\right)\theta_{e}-\left(m_{1}c_{e}\theta_{1}+m_{2}c_{e}\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\theta_{e}&=&\dfrac{m_{1}\theta_{1}+m_{2}\theta_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\&=&\dfrac{250\times18+300\times80}{250+300}\\\Rightarrow\theta_{e}&=&51.8^{\circ}C \end{array}$
 
2. Détermination de la capacité thermique $C$ du calorimètre et de ses accessoires.
 
Quantité de chaleur captée par l'eau froide et le calorimètre : $Q_{1}=\left(m_{1}c_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)$
 
Quantité de chaleur cédée par l'eau chaude : $Q_{2}=m_{2}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)$
 
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ est isolé :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(m_{1}c_{e}+C\right)\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)&=&0\\\Rightarrow\;C\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)&=&-m_{1}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)-m_{2}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)\\\Rightarrow\;C&=&\dfrac{m_{1}c_{e}\left(\theta_{e}-\theta_{1}\right)+m_{2}C_{2}\left(\theta_{e}-\theta_{2}\right)}{\theta_{e}-\theta_{1}}\\C&=&\dfrac{250\cdot10^{-3}\times4185(50-18)+300\cdot10^{-3}\times4185(50-80)}{50-18}\\\Rightarrow\;C&=&130.8J\cdot K^{-1} \end{array}$
 
La capacité thermique du calorimètre est $130.8J\cdot K^{-1}$

Exercice 12

A. Mesure de la capacité thermique d'un calorimètre.
 
1. Détermination de la valeur $\theta_{2}$ de la température final de l'eau après mélange
 
Quantité de chaleur captée par l'eau et le calorimètre : 
 
$Q_{0}=m_{0}c_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{0}\right)=\mu_{0}V_{0}c_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{0}\right)$
 
Quantité de chaleur cédée par l'eau chaude : $Q_{1}=m_{1}c_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)$
 
Le système ${\text{eau}+\text{calorimètre}}$ est isolé :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{0}+Q_{1}&=&0\\\Rightarrow\mu_{0}V_{0}C_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{0}\right)+m_{1}c_{e}\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)&=&0\\\Rightarrow\left(\mu_{0}V_{0}c_{e}+m_{1}c_{e}\right)\theta_{2}-\left(\mu_{0}V_{0}c_{e}\theta_{1}+m_{1}c_{e}\theta_{1}\right)&=&0\\\Rightarrow\theta_{2}\\&=&\dfrac{\mu_{0}V_{0}\theta_{1}+m_{1}\theta_{1}}{\mu_{0}V_{0}+m_{1}}\\&=&\dfrac{1\times200\times20.0+250\times60.0}{1\times200+250}\\ \Rightarrow\theta_{2}&=&42.2^{\circ}C \end{array}$
 
2.1. Détermination de la valeur de l'énergie thermique gagnée par le calorimètre.
 
Soit $Q$ l'énergie la valeur de l'énergie thermique gagnée par le calorimètre
 
Le bilan thermique s'écrit : 
 
$\begin{array}{rcl} Q_{0}+Q_{1}+Q&=&0\\\Rightarrow\;Q&=&-Q_{0}-Q_{1}\\\Rightarrow\;Q&=&-\mu_{0}V_{0}c_{e}\left(\theta'_{2}-\theta_{0}\right)-m_{1}c_{e}\left(\theta'_{2} \theta_{1}\right)\\&=&-1\times200\cdot10^{-3}\times4185(38.0-20.0)-250\cdot10^{-3}\times4185(38.0-60.0)\\\Rightarrow\;Q&=&7.95\cdot10^{3}J  \end{array}$
 
2.2 Déduction de la valeur de la capacité thermique du calorimètre.
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&C\left(\theta'_{2}-\theta_{0}\right)\\\Rightarrow\;C&=&\dfrac{Q}{\theta'_{2}-\theta_{0}}\\&=&\dfrac{7.95\cdot10^{3}}{38.0-20.0}\\\Rightarrow\;C&=&442J^{\circ}\cdot C^{-1} \end{array}$
 
B. Mesure de la chaleur latente $L_{v}$ de vaporisation de l'eau.
 
1. Expression, en fonction des données, de l'énergie thermique échangée par le calorimètre et les $450\;mL$ d'eau liquide.
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}&=&\left(m_{1}C_{\text{eau}+C}\right)\left(\theta_{4}-\theta_{0}\right)\text{ avec }m_{1}\\&=&\rho_{\text{eau}}V_{0}\\\Rightarrow\;Q_{1}&=&\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}+\mu}\right)\left(\theta_{4}-\theta_{0}\right) \end{array}$
 
Le signe de cette énergie est négatif, car ce système perd de l'énergie thermique
 
3. Calcul d'une valeur numérique de $L_{v}$
 
Le bilan thermique s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{4}-\theta_{0}\right)-m'L_{v}+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right)&=&0\\\Rightarrow\;-m'L_{v} &=&\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{0}-\theta_{4}\right)+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)\\\Rightarrow\;L_{v}&=&-\dfrac{\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{0}-\theta_{4}\right)+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)}{m'}\\\Rightarrow\;L_{v}&=&-\dfrac{\left(1\times450\cdot10^{-3}\times4185+100\right)(20.0-45.2)+20.0\cdot10^{-3}\times4185(100-45.2)}{20.0\cdot10^{-3}}\\\Rightarrow\;L_{v}&=&2.27\cdot10^{6}J\cdot kg^{-1} \end{array}$

Auteur: 
Sidy Mouhamed Ndiaye

Solution des exercices : Classification quantitative des couples oxydant-réducteur ion métalique/métal - 1er s

Classe: 
Première

Exercice 1

1. Par convention, le potentiel normal d'oxydo-réduction du couple $H^{+}/H_{2}$ est $0.0V$
 
2. Pour chaque couple redox, identifions l'oxydant et le réducteur en présentant les résultats sous forme de tableau.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Couple redox}&Ag^{+}/Ag&Cu^{2+}/Cu&Zn^{2+}/Zn&Al^{3+}/Al\\ \hline \text{Oxydant}&Ag^{+}&Cu^{2+}&Zn^{2+}&Al^{3+}\\ \hline \text{Réducteur}&Ag&Cu&Zn&Al\\ \hline \end{array}$$
 
3. Demi-équation de réduction pour chacun des couples redox
 
$Ag\ \longrightarrow\ Ag^{+}\ +\ e$
 
$Cu\ \longrightarrow\ Cu^{2+}\ +\ 2e$
 
$Fe\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ 2e$
 
$Al\ \longrightarrow\ Al^{3+}\ +\ 3e$
 
4.Couples de réactifs  qui donnent lieu à une réaction spontanée sont : 
 
$Ag^{+}+Zn$,
 
$Cu+Ag^{+}$,
 
$Al+Cu^{2+}$
 
et $Zn+H^{+}$
 
Équations d'oxydoréduction correspondante.
 
$\begin{array}{lc} Zn\ \longrightarrow\ Zn^{2+}\ +\ 2e&\\&\Rightarrow\;Zn\ +\ 2Ag^{+}\ \longrightarrow\ Zn^{2+}\ +\ 2Ag\\2\left(Ag^{+}\ +\ e\ \longrightarrow\ Ag\right)& \end{array}$
 
$\begin{array}{lc} Cu\ \longrightarrow\ Cu^{2+}\ +\ 2e&\\&\Rightarrow\;Cu\ +\ 2Ag^{+}\ \longrightarrow\ Cu^{2+}\ +\ 2Ag\\2\left(Ag^{+}\ +\ e\ \longrightarrow\ Ag\right)& \end{array}$
 
$\begin{array}{lc} 3\left(Cu^{2+}\ 2e\ \longrightarrow\ Cu\right)&\\&\Rightarrow\;Cu^{2+}\ +\ 2Al\ \longrightarrow\ 3Cu\ +\ 2Al^{3+}\\2\left(Ag\ \longrightarrow\ Al^{3+}\ +\ 3e\right)& \end{array}$
 
$\begin{array}{lc} 2\left(H^{+}\ +\ e\ \longrightarrow\ \dfrac{1}{2}H_{2}\right)&\\&\Rightarrow\;2H^{+}\ +\ Zn\ \longrightarrow\ H_{2}\ +\ 2Zn^{2+}\\Zn\ \longrightarrow\ Zn^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$
 
5. Détermination de, dans chaque cas, l'anode et la cathode.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Pile}&Zn|Zn^{2+}\ ||\ Ag^{+}|Ag&Cu|Cu^{2+}\ ||\ Ag^{+}|Ag&Al|Al^{3+}\ ||\ Cu^{2+}|Cu&Zn|Zn^{2+}\ ||\ H^{+}|H_{2}\\ \hline \text{Anode}&Zn|Zn^{2+}&Cu|Cu^{2+}&Al|Al^{3+}&Zn|Zn^{2+}\\ \hline \text{Cathode}&Ag|Ag^{+}&Ag|Ag^{+}&Cu|Cu^{2+}&H^{+}|H_{2}\\ \hline E&1.56V&0.46V&2.0V&0.76V\\\hline \end{array}$$
Calcul de la force électromotrice de chaque pile
 
$\begin{array}{rcl} E_{Zn|Zn^{2+}\ ||\ Ag^{+}|Ag}&=&E_{Ag|Ag^{+}}-E_{Zn|Zn^{+}}\\&=&0.8-(-0.76)\\\Rightarrow\;E_{Zn|Zn^{2+}\ ||\ Ag^{+}|Ag}&=&1.56V \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} E_{Cu|Cu^{2+}\ ||\ Ag^{+}|Ag}&=&E_{Ag|Ag^{+}}-E_{Cu|Cu^{2+}}\\&=&0.8-0.34\\\Rightarrow\;E_{Cu|Cu^{2+}\ ||\ Ag^{+}|Ag}&=&0.46V \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} E_{Al|Al^{3+}\ ||\ Cu^{2+}|Cu}&=&E_{Cu|Cu^{2+}}-E_{Al|Al^{3+}}\\&=&0.34-(-1.66)\\\Rightarrow\;E_{Al|Al^{3+}\ ||\ Cu^{2+}|Cu}&=&2.0V \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} E_{Zn|Zn^{2+}\ ||\ Ag^{+}|Ag}&=&E_{H^{+}|H_{2}}-E_{Zn|Zn^{+}}\\&=&0.0-(-0.76)\\\Rightarrow\;E_{Zn|Zn^{2+}\ ||\ H^{+}|H_{2}}&=&0.76V \end{array}$

Exercice 2

1.1. Demi-équations des couples redox en présence. 
 
$Fe^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Fe$
 
$Zn\ \longrightarrow\ Zn^{2+}\ +\ 2e$ 
 
Précisons le sens dans lequel chaque réaction a effectivement lieu lorsque la pile débite.
 
A l'anode, le zinc s'oxyde
 
A la cathode l'ion $Fe^{2+}$ est réduit
 
 
1.2 Précisons la polarité de la pile ; c'est-à-dire le signe $+$ ou $-$ de chacune des électrodes
 
La tige de fer trempant dans une solution aqueuse de sulfate de fer $(Il)$ constitue la borne positive $(+)$ de la pile.
 
La tige de zinc trempant dans une solution aqueuse de sulfate de zinc (Il constitue la borne négative $(-)$ de la pile
 
2.1 Le zinc empêche la corrosion du fer parce que c'est lui, possédant le potentiel éléctrochimique le plus bas d'après la classification électrochimique, qui s'oxyde à la place du zinc
 
Le zinc (métal plus réducteur), a un potentiel électrochimique moins élevé que celui du métal à protéger(fer).
 
La protection  reste efficace tant que le revêtement par le zinc n'est pas totalement détruit et même si, à la suite d'un choc par exemple, la couche de zinc est interrompue.
 
2.2 A la place du zinc, si on dépose de la même manière une couche de chrome sur une tôle de fer, le chrome empêche la corrosion du fer puisque c'est lui est attaqué à la place du fer 
 
La protection  reste efficace tant que le chrome n'est pas totalement détruit ; 
 
2.3 Le nickel(métal moins réducteur), a un potentiel électrochimique plus élevé que celui du métal à protéger(fer) et la protection n'est plus efficace.
 
Il se forme une pile de corrosion, le métal à protéger (fer) est oxydé

Exercice 3

1. Montrons que le cuivre est attaqué 
 
Le potentiel électrochimique du couple $Au^{3+}/Au$ $\left(E_{1}=1.5V\right)$ est plus élevé que celui du couple $Cu^{2+}/Cu$
 
L'oxydant $Au^{3+}$ du couple $Au^{3+}/Au$ va donc réagir avec le réducteur $Cu$ du couple $Cu^{2+}/Cu$
 
2. Équation-bilan de cette réaction chimique.
$\begin{array}{lc} 3\left(Cu\ \longrightarrow\ Cu^{2+}\ +\ 2e\right)&\\&\Rightarrow\;3Cu\ +\ 2Au^{3+}\ \longrightarrow\ 3Cu^{2+}\ +\ 2Au\\2\left(Au^{3+}\ +\ 3e\ \longrightarrow\ Au\right)& \end{array}$
 
3. Détermination du nombre de moles initial $n_{1}$ de moles de cuivre.
 
$\begin{array}{rcl} n_{1}&=&\dfrac{m}{M}\\&=&\dfrac{50\cdot 10^{-3}}{63.5}\\\Rightarrow\;n_{1}&=&0.79\cdot 10^{-3}mol \end{array}$
 
4. Détermination du nombre de moles initial $n_{2}$ d'ions $Au^{3+}$ présents dans la solution de chlorure d'or.
 
$\begin{array}{rcl} n_{2}&=&c\times V\\&=&10^{-2}\times 100\cdot 10^{-3}\\\Rightarrow\;n_{2}&=&10^{-3}mol \end{array}$
 
5. Détermination du réactif introduit en excès
 
$\begin{array}{lc} \dfrac{n_{1}}{3}=\dfrac{0.79\cdot 10^{-3}}{3}=0.26\cdot 10^{-3}mol&\\&\Rightarrow\dfrac{n_{2}}{2}\succ\dfrac{n_{1}}{3}\\\dfrac{n_{2}}{2}=\dfrac{10^{-3}}{2}=0.5\cdot 10^{-3}mol& \end{array}$
 
La solution de chlorure d'or $\left(AuCl_{3}\right)$ est le réactif introduit en excès

Exercice 4

1. Calcul du temps $t$ nécessaire à l'opération.
 
$\begin{array}{rcl} \dfrac{It}{Ne}&=&\dfrac{m}{M}\\\Rightarrow\;t&=&\dfrac{mNe}{MI}\\&=&\dfrac{1.875\times 6.02\cdot 10^{23}\times 1.6\cdot 10^{-19}}{108\times 2}\\\Rightarrow\;t&=&836s \end{array}$
 
2.1. Entre les deux éléments métalliques entrant dans la constitution de la statue est celui qui possède le plus grand pouvoir réducteur est le fer.
 
2.2. Équation bilan de l'oxydoréduction de ces deux éléments.
 
$\begin{array}{lc} Cu^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Cu&\\&\Rightarrow\;Cu^{2+}\ +\ Fe\ \longrightarrow\ Cu\ +\ Fe^{2+}\\Fe\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$
 
2.2. a) Le cuivre est le métal constituant l'électrode positive de cette pile.
 
b) Précisons et justifions le sens de circulation des électrons dans le circuit.
 
 
Le courant circule de la borne positive  de la pile vers la borne négative.
 
3. Le zinc métal, étant plus réducteur que le fer, s'oxyde à la place du fer et protège le fer.
 
Équation de la réaction d'oxydoréduction correspondante.
 
$\begin{array}{lc} Cu^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Cu&\\&\Rightarrow\;Cu^{2+}\ +\ Zn\ \longrightarrow\ Cu\ +\ Zn^{2+}\\Zn\ \longrightarrow\ Zn^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$

Exercice 5

1.1. Indiquons la polarité des électrodes.
 
Le courant circule dans un circuit extérieur de l'électrode de nickel vers l'électrode de fer.
 
L'électrode de nickel constitue donc la borne positive,  l'électrode du fer est borne négative.
 
Équation de la réaction spontanée, qui se produit dans la pile $P_{1}.$
 
$\begin{array}{lc} Ni^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Ni&\\&\Rightarrow\;Ni^{2+}\ +\ Fe\ \longrightarrow\ Ni\ +\ Fe^{2+}\\Fe\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$
 
1.2. Montrons que le potentiel normal du couple $Fe^{2+}/Fe$ est inférieur à une valeur que l'on déterminera. 
 
$\begin{array}{rcl} E^{\circ}&=&E^{\circ}_{\left(Ni^{2+}/Ni\right)}-E^{\circ}_{\left(Fe^{2+}/Fe\right)}\\&=&-0.25-E^{\circ}\left(Fe^{2+}/Fe\right) \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} E^{\circ}&\succ &0\\\Rightarrow-0.25-E^{\circ}_{\left(Fe^{2+}/Fe\right)}&\succ&0\\\Rightarrow\;E^{\circ}_{\left(Fe^{2+}/Fe\right)}&\prec&-0.25 \end{array}$
 
Déduisons si le fer est attaqué par une solution d'acide ou non.
 
Le fer est attaqué car son potentiel est plus faible que celui du potentiel du couple $H^{+}//H_{2}$
 
2.1. Comparons les potentiels normaux des couples $Fe^{2+}/Fe$ et $Zn^{2+}/Zn.$
 
L'oxydant $Fe^{2+}$ du couple $Fe^{2+}/Fe$ réagit le $Zn$ du couple $Zn^{2+}/Zn$ pour  donner le dépôt.
 
Le couple $Fe^{2+}/Fe$ a donc le potentiel électrochimique le plus élevé que celui du couple $Zn^{2+}/Zn$
 
2.2. Le couple a donc le potentiel électrochimique le plus élevé que celui du couple $Pb^{2+}/Pb$
 
On observe une réaction chimique quand on plonge une lame de fer dans une solution contenant des ions $Pb^{2+}$, car l'oxydant $Pb^{2+}$ du couple $Pb^{2+}/Pb$ réagit le réducteur $Fe$ du couple $Fe^{2+}/Fe$
 
3.1. Symbole de la pile $P_{2}$
 
$Fe|Fe^{2+}\ ||\ Zn^{2+}|Zn$
 
Équation chimique associé à la pile.
 
$\begin{array}{lc} Fe^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Fe&\\&\Rightarrow\;Zn\ +\ Fe^{2+}\ \longrightarrow\ Zn^{2+}\ +\ Fe\\Zn\ \longrightarrow\ Zn^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$
 
3.2. Calcul de $E^{\circ}_{\left(Fe^{2+}/Fe\right)}$
 
$\begin{array}{rcl} E_{2}&=&E_{Fe|Fe^{2+}}-E_{Zn|Zn^{2+}}\\\Rightarrow\;E_{Fe|Fe^{2+}}&=&E_{2}+E_{Zn|Zn^{2+}}\\&=&0.32-0.76\\\Rightarrow\;E_{Fe|Fe^{2+}}&=&-0.44V \end{array}$

Exercice 6

1) Schéma annoté du dispositif.
 
 
La solution dosant est le permanganate de potassium $KMnO_{4}$ et l'espèce à doser est la solution de sulfate de fer $II$
 
Précisons le rôle de $H_{2}$ $SO_{4}$
 
Il sert à transformer l'ion permanganate $MnO_{4}^{-}$ en ion manganeux $Mn^{2+}$
 
2) a) Équation de la réaction redox qui a lieu lors du dosage 
 
$\begin{array}{lc} MnO_{4}^{-}\ +\ 8H^{+}\ +\ 5e\ \longrightarrow\ Mn^{2+}\ +\ 4H_{2}O&\\&\Rightarrow\;MnO_{4}^{-}\ +\ 8H^{+}\ +\ 5Fe^{2+}\ \longrightarrow\ Mn^{2+}\ +\ 4H_{2}O\ +\ 5Fe^{3+}\\5\left(Fe^{2+}\ \longrightarrow\ Fe^{3+}\ +\ e\right)& \end{array}$
 
b) A l'équivalence redox, le volume de la solution dosant est $V_{2}=20mL.$
 
c) On peut reconnaître l'équivalence redox par la disparition de la coloration verte caractéristique des ions $Fe^{2+}$
 
d) Détermination de la valeur de $C_{1}$
 
A l'équivalence : 

$\begin{array}{rcl} \dfrac{n_{1}}{5}&=&\dfrac{n_{2}}{1}\\\Rightarrow\dfrac{C_{1}V_{1}}{5}&=&\dfrac{C_{2}V_{2}}{1}\\\Rightarrow\;C_{1}&=&\dfrac{5C_{2}V_{2}}{V_{1}}\\&=&\dfrac{5\times 0.01\times 20}{10}\\\Rightarrow\;C_{1}&=&0.1mol\cdot L^{-1} \end{array}$
 
II.
 
1) Le symbole de ce schéma de pile 
 
$Cu|Cu^{2+}\ ||\ Fe^{2+}|Fe$
 
Équation chimique associée. 
 
$\begin{array}{lc} Cu^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Cu&\\&\Rightarrow\;Fe\ +\ Cu^{2+}\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ Cu\\Fe\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$
 
2) a) Détermination de la polarité des bornes de la pile.
 
La demi-pile formée de la solution $\left(S_{1}\right)$ dans laquelle on plonge une lame de fer constitue la borne négative
 
La demi-pile formée par une solution de d'ions $Cu^{2+}$ dans laquelle on plonge une lame de cuivre est la borne positive.
 
b) Écriture de la transformation chimique qui se produit dans chaque compartiment de la pile. 
 
$Cu^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Cu$
 
$Fe\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ 2e$ 
 
Équation bilan de la réaction chimique spontanée quand la pile débite un courant.
 
$Fe\ +\ Cu^{2+}\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ Cu$
 
c) Précisons le rôle du pont salin 
 
Le rôle du pont salin permet de fermer le circuit et d'assurer le passage du courant.
 
d) Schéma de la figure 1 $(K$ fermé$)$ en précisant le sens du courant et des électrons dans le circuit.
 
 

Exercice 7 : Pile chrome argent

1. Définition du potentiel standard d'un couple oxydant-réducteur.
 
Le potentiel standard d'un couple $M^{n+}/M$ est la différence de potentiel entre le potentiel rédox du couple $M^{n+}/M$ et le potentiel rédox du couple $H^{+}/H_{2}$ dans des conditions standard c'est-à-dire $P\left(H_{2}\right)=1atm$ et $pH=1$
 
Calcul de la f.é.m. de cette pile. 
 
$\begin{array}{rcl} E^{\circ}&=&E^{\circ}\left(Ag^{+}/Ag\right)-E^{\circ}\left(Cr^{3+}/Cr\right)\\&=&0.80-(-0.74V)\\\Rightarrow\;E^{\circ}&=&1.54V \end{array}$
 
2. Schéma de la pile en justifiant les polarités des électrodes.
 
 
Les électrons  sont les charges qui circulent à l'intérieur et à l'extérieur de la pile, lorsque celle-ci débite. 
 
Indiquons leur sens de déplacement sur le schéma (voir schéma)
 
3. équations-bilans des réactions qui ont lieu dans chaque demi-pile
 
$Cr\ \longrightarrow\ Cr^{3+}\ +\ 3e$
 
$3\left(Ag^{+}\ +\ e\ \longrightarrow\ Ag\right)$
 
Équation du bilan de la réaction chimique.
 
$Cr\ +\ 3Ag^{+}\ \longrightarrow\ Cr^{3+}\ +\ 3Ag$
 
4. Au cours du fonctionnement de la pile, la masse d'une des électrodes diminue de $80.2mg.$
 
4.1. L'électrode dont la masse d'une des électrodes diminue est l'électrode de chrome.
 
4.2. Calcul de la variation de masse de l'électrode d'argent
 
$\begin{array}{rcl} \dfrac{n_{Ag}}{3}&=&n_{Cr}\\\Rightarrow\dfrac{m_{Ag}}{3M_{Ag}}&=&\dfrac{m_{Cr}}{M_{Cr}}\\\Rightarrow\;m_{Ag}&=&\dfrac{m_{Cr}\times 3M_{Ag}}{M_{Cr}}\\\Rightarrow\;m_{Ag}&=&\dfrac{80.2\cdot 10^{-3}\times 108}{52}\\\Rightarrow\;m_{Ag}&=&0.50g \end{array}$
 
4.3. Concentration $C_{1}$ en ion $Ag^{+}$
 
$\begin{array}{rcl} C_{1}&=&\left(0.01\times 100\cdot 10^{-3}+\dfrac{0.50}{108}\right)\dfrac{1}{200\cdot 10^{-3}}\\\Rightarrow\;C_{1}&=&0.028mol\cdot L^{-1} \end{array}$
 
4.4. Concentration $C_{2}$ en ion $Cr^{3+}$
 
$\begin{array}{rcl} C_{2}&=&\left(0.01\times 100\cdot 10^{-3}-\dfrac{80.2\cdot 10^{-3}}{52}\right)\dfrac{1}{200\cdot 10^{-3}}\\\Rightarrow\;C_{2}&=&0.0027mol\cdot L^{-1} \end{array}$

Exercice 8 

A. Action des pluies acides sur le zinc
 
1.1. Le pôle $(-)$ correspond au métal du couple de plus bas potentiel ; c'est donc la lame de zinc $(Zn)$
 
1.2. Valeur de la force électromotrice E attendue pour cette pile.
 
$E=0.00-(-0.76)=0.76V$
 
2. Il y a oxydation à la borne négative $(-)$ de la pile
 
3. Équation globale de la réaction de fonctionnement de cette pile.
 
$\begin{array}{lc} 2\left(H^{+}\ +\ e\ \longrightarrow\ \dfrac{1}{2}H_{2}\right)&\\&\Rightarrow\;2H^{+}\ +\ Zn\ \longrightarrow\ H_{2}\ +\ Zn^{2+}\\ Zn\ \longrightarrow\ Zn^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$
 
B. Action des pluies acides sur le cuivre
 
l. Valeur de la force électromotrice E attendue pour cette pile.
 
$E=0.34-0.00=0.34V$
 
2. Il y a réduction à la borne positive $(+)$ de la pile
 
3. Équation globale de la réaction de fonctionnement de cette pile.
 
$\begin{array}{lc} 2\left(\dfrac{1}{2}H_{2}\ +\ H_{2}O\ \longrightarrow\ H_{3}O^{+}\ +\ e\right)&\\&\Rightarrow\;H_{2}\ +\ 2H_{2}O\ +\ Cu^{2+}\ \longrightarrow\ 2H_{3}O^{+}\ +\ Cu\\ Cu^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Cu& \end{array}$
 
C. Conclusion
 
l. Le gaz dégagé qui explose dans l'air à la moindre étincelle lorsque l'on plonge le zinc dans une solution acide est le dihydrogène.
 
2. Indépendamment du coût, la gouttière en cuivre sera préférée à la gouttière en zinc dans les régions où les pluies acides sont fréquentes parce que ce métal ayant le potentiel le plus élevé ne peut être oxydé par l'ion $H^{+}$  des pluies acides.

Exercice 9 : Pile chrome-argent

$\begin{array}{rcl} n_{e}&=&n\quad\text{or}\quad n_{e}F&=&It\\\Rightarrow\;n&=&\dfrac{It}{F}\\&=&\dfrac{0.80\times 21.0\times 60}{96500}\\\Rightarrow\;n&=&0.0104mol \end{array}$
 
a) Le pôle $(+)$ correspond au métal du couple de plus haut potentiel ; c'est donc le fil $d'Ag.$ 
 
Le pôle $(-)$ est donc la lame  de $Cr.$ 
 
Le courant va du pôle $(+)$ vers le pôle $(-)$ et les $e^{-}$ en sens contraire.
 
 
b) Calcul de la f.é.m. de cette pile
 
$\begin{array}{rcl} E_{Ag}-Cr&=&E_{0}\left(Ag^{+}/Ag\right)-E_{0}\left(Cr^{3+}/Cr\right)\\&=&0.80-(-0.74)\\E_{Ag}-Cr&=&1.54V \end{array}$
 
c) La réaction qui se produit dans la pile est la réaction rédox naturelle entre l'oxydant le plus fort $\left(Ag^{+}\right)$ et le réducteur le plus fort $(Cr)$ soit : 
 
$3Ag^{+}\ +\ Cr\ \longrightarrow\ 3Ag^{+}\ +\ Cr^{3+}$
 
d) Calcul de la masse minimale de la lame de chrome pour que les ions argent soient entièrement consommés.
 
$\begin{array}{rcl} n_{0}\left(Ag^{+}\right)&=&C_{0}V_{\text{sol}}\\&=&C_{0}V_{2}\\&=&1.00\times 0.250\\&=&0.250mol \end{array}$
 
D'après l'équation bilan 
 
$n_{0}(Cr)=\dfrac{1}{3}n_{0}\left(Ag^{+}\right)$
 
$\begin{array}{rcl} m_{0}(Cr)&=&n_{0}(Cr)M(Cr)\\&=&\dfrac{1}{3}C_{0}V_{2}M(Cr)\\&=&4.33g \end{array}$
 
Pour $m(Cr)>m_{0}(Cr)$, $Cr$ est en excès et les ions $Ag^{+}$ sont entièrement consommés 
 
e) Calcul de la concentration des ions chrome $(III)$ et l'augmentation de la masse de l'électrode d'argent.
 
D'après l'équation bilan : 
 
$\begin{array}{rcl} n\left(Cr^{3+}\right)_{\text{Obtenu}}&=&\dfrac{1}{3}n_{0}\left(Ag^{+}\right)\\&=&\dfrac{1}{3}C_{0}V_{2}\\\text{Donc}\quad n\left(Cr^{3+}\right)_{\text{Final}}&=&n\left(Cr^{3+}\right)_{\text{initial}}+n\left(Cr^{3+}\right)_{\text{Obtenu}}\\&=&C_{0}V_{1}+\dfrac{1}{3}C_{0}V_{2}\\&=&\dfrac{4}{3}C_{0}V\\\text{Car}\quad V_{1}=V_{2}&=&V\\\text{D'où on tire}\quad c\left(Cr^{3+}\right)_{\text{final}}&=&n\left(Cr^{3+}\right)_{\text{final}}/V\\&=&\dfrac{4}{3}C_{0}V/V\\&=&\dfrac{4}{3}C_{0}\\&=&1.33mol\cdot L^{-1}  \end{array}$
 
D'après l'équation bilan : 
 
$\begin{array}{rcl} n(Ag)&=&n\left(Ag^{+}\right)\\&=&n_{0}\left(Ag^{+}\right) \end{array}$ 
 
$\begin{array}{rcl} m(Ag)&=&n(Ag)M(Ag)\\&=&C_{0}VM(Ag)\\&=&27.0g \end{array}$ 
 

Auteur: 
Sidy Mouhamed Ndiaye

Solution des exercices : Dipôles Passifs - 1er s

Classe: 
Première
 

Exercice 1

1. Représentation de l'allure de la caractéristique intensité-tension dipôlesd'une dipôle : 
 
$f$ dipôle symétrique passif.
 
$g$ dipôle asymétrique passif
 
$h$ dipôle actif.
 
 
2. Variation de la résistance d'un fil conducteur :
 
$R=\rho\dfrac{1}{S}$
 
2.1. La résistance d'un fil conducteur diminue avec sa section $S$
 
2.2. La résistance d'un fil conducteur augmente avec sa longueur $1$

Exercice 2

Complétons le tableau suivant.
 
 

Exercice 3

 
1. La résistance $X$ du conducteur ohmique placé entre $A$ et $B$
 
$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{U}{I}\\&=&\dfrac{3.29}{7.13\cdot 10^{-3}}\\ \Rightarrow\;X&=&461\Omega \end{array}$
 
2. Indication de l'ampèremètre 
 
$\begin{array}{rcl} I&=&\dfrac{U}{X}\\&=&\dfrac{2.03}{461}\\ \Rightarrow\;I&=&4.40\;,mA \end{array}$
 
3. Indication affichée par le voltmètre 
 
$\begin{array}{rcl} U&=&XI\\&=&461\times5.12\cdot10^{-3}\\ \Rightarrow\;U&=&2.36V \end{array}$

Exercice 4

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline U(V)&0.05&0.1&0.3&0.4&0.6&0.8&2&3&4&5&6&7\\ \hline I(mA)&25&50&100&111&129&148&240&295&345&395&435&475\\ \hline \end{array}$$
 
1. Traçons la caractéristique intensité tension de la lampe.

 
2. Détermination, pour chaque point de fonctionnement la résistance $R$ de la lampe.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline U(V)&0.05&0.1&0.3&0.4&0.6&0.8&2&3&4&5&6&7\\ \hline I(mA)&25&50&100&111&129&148&240&295&345&395&435&475\\ \hline R&2&2&3&3.6&4.7&5.4&8.3&10&11.6&12.7&13.8&14.7\\ \hline U\cdot I&1.25&5&30&44.4&77.4&118.4&480&885&1380&1975&2610&3325\\ \hline \end{array}$$
 
Représentation graphique de la relation $R=f(U\cdot I).$

 
La variation de la résistance $R$ du filament avec la température  est croissante.
 
3. Détermination de la relation affine qui décrit approximativement le fonctionnement de la lampe dans ce domaine d'utilisation.
 
$U=aI+b\Rightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} 3&=&295\cdot10^{-3}a+b\quad(1)\\ 7&=&475\cdot10^{-3}a+b\quad(2) \end{array}\right.$
 
$\begin{array}{rcl} (2)-(1)\Rightarrow\;4&=&180\cdot10^{-3}a\\ \Rightarrow\;a&=&\dfrac{4}{180\cdot10^{-3}}\\\\ \Rightarrow\;a&=&22.2V\cdot A^{-1} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} (1)\Rightarrow\;b&=&3-295\cdot10^{-3}\times22.2\\ \Rightarrow\;b&=&-3.55V\\ \Rightarrow\;U&=&22.2I-3.55 \end{array}$

Exercice 5

1. Représentation du schéma du montage qui permet de tracer cette caractéristique.
 
 
2. Précisons la nature du dipôle étudié.
 
La caractéristique du dipôle est une fonction linéaire. 
 
Le dipôle est donc un résistor ou un conducteur ohmique.
 
Déterminons sa résistance 
 
$\begin{array}{rcl} R&=&\dfrac{\Delta U}{\Delta I} \\&=&\dfrac{2.5}{1.5\cdot10^{3}}\\\Rightarrow\;R&=&1.7\cdot 10^{-3}\Omega \end{array}$

Exercice 6

On réalise un circuit électrique simple avec une pile dont la tension entre ses bornes est $U=12V$ et un résistor de résistance $R=100\Omega$ qui supporte une intensité maximale de $100mA.$
 
1. Vérifions si on ne risque pas d'endommager $R$ et justifions
 
$\begin{array}{rcl} I&=&\dfrac{U}{R} \\&=&\dfrac{12}{100}\\ \Rightarrow\;I&=&120mA \end{array}$
 
$I\succ I_{\text{max}}$ ; l'intensité qui traverse le résistor est supérieure à l'intensité maximale supportable.
 
On risque donc d'endommager le résistor de résistance $R$
 
2. Résistance minimale $R'$ qu'il faut mettre en série avec $R$
 
$\begin{array}{rcl} U&=&\left(R+R^{\prime}\right)I\\ \Rightarrow\;R+R^{\prime}&=&\dfrac{U}{I}\\ \Rightarrow\;R^{\prime}&=&\dfrac{U}{I}-R\\&=&\dfrac{12}{100\cdot10^{-3}}-100\\ \Rightarrow\;R^{\prime}&=&20\Omega \end{array}$
 
3.1 Détermination de la valeur de $R"$ pour que l'intensité du courant soit égale à $0.12A$
$\begin{array}{rcl} \left(\dfrac{RR"}{R+R"}+R'\right)I&=&U\\\Rightarrow\dfrac{RR"}{R+R"}+R'&=&\dfrac{U}{I}\\\Rightarrow\dfrac{RR"}{R+R"}&=&\dfrac{U}{I}-R'\\&=&\dfrac{12}{0.12}-20\\&=&80\\\Rightarrow\dfrac{RR"}{R+R"}&=&80\\\Rightarrow\dfrac{100R"}{100+R"}&=&80\\\Rightarrow\;80(100+R")&=&100R"\\\Rightarrow\;100R"-80R"&=&80\times100\\\Rightarrow\;R"&=&\dfrac{80\times 100}{20}\\\Rightarrow\;R"&=&400\Omega \end{array}$
 
3.2 Détermination de l'intensité du courant qui traverse $R'$, $I=0.12A$
 
Déduisons celui qui traverse $R$
 
$\begin{array}{rcl} U_{R}&=&U-U_{R'}\\ \Rightarrow\;RI_{1}&=&U-R'I\\ \Rightarrow\;I_{1}&=&\dfrac{U-R'I}{R}\\&=&\dfrac{12-20\times 0.12}{100}\\ \Rightarrow\;I_{1}&=&96mA \end{array}$

Exercice 7


 
1. Expliquons pourquoi l'observation de ce graphe permet d'affirmer que le dipôle $AB$ est un conducteur ohmique.
 
Un dipôle $AB$ est un conducteur ohmique (résistor) sa caractéristique courant/tension est une fonction linéaire, c'est à dire une droite passant par l'origine
 
Le graphe est une droite linéaire caractéristique d'un conducteur ohmique.
 
2. Schéma conventionnel du dipôle $AB$
 
 
3. Calcul de la résistance du conducteur ohmique à partir de sa caractéristique.
 
$\begin{array}{rcl} R&=&\dfrac{\Delta U}{\Delta I}\\&=&\dfrac{7.5-0}{(40-0)\cdot10^{-3}}\\ \Rightarrow\;R&=&187.5\Omega \end{array}$
 
4.1. La tension aux bornes du conducteur ohmique lorsqu'il est traversé par un courant de $15\,mA$
 
$\begin{array}{rcl} U&=&RI\\&=&187.5\times15\cdot10^{-3}\\ \Rightarrow\;U&=&2.8V \end{array}$
 
4.2 L'intensité du courant qui traverse le conducteur ohmique lorsqu'il est soumis à une tension de $4V$
 
$\begin{array}{rcl} I&=&\dfrac{U}{R}\\&=&\dfrac{4}{187.5}\\ \Rightarrow\;I&=&21.3mA \end{array}$
 
5. L'intensité maximale que peut supporter le composant
 
$\begin{array}{rcl} I&=&\dfrac{U}{R}\\&=&\dfrac{10}{187.5}\\ \Rightarrow;I&=&53.3mA \end{array}$

Exercice 8

 
1.1 Exprimons en fonction de $U_{e}$, $R_{1}$ et $R_{2}$ l'intensité $I$ du courant qui circule dans le circuit.
 
$U_{e}=\left(R_{1}+R_{2}\right)I$
 
1.2 Déduisons l'expression de la tension de sortie $U_{s}$ en fonction de $U_{e}$, $R_{1}$ et $R_{2}$
 
$\begin{array}{rcl} \left\lbrace\begin{array}{lcl} U_{e}&=&\left(R_{1}+R_{2}\right)I\\ U_{s}&=&R_{2}I \end{array}\right.\\ \Rightarrow\dfrac{U_{s}}{U_{e}}&=&\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\\Rightarrow\;U_{s}&=&\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}U_{e} \end{array}$
 
1.3. Calcul des valeurs $I$ et de $U_{S}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{e}&=&\left(R_{1}+R_{2}\right)I\\ \Rightarrow;I&=&\dfrac{U_{e}}{R_{1}+R_{2}}\\&=&\dfrac{6.0}{(2.2+4.7)\cdot10^{3}} \\\Rightarrow;I&=&0.87\cdot10^{-3}A \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl}U_{S}&=&\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}U_{e}\\&=&\dfrac{4.7}{2.2+4.7}\times6.0\\ \Rightarrow\;U_{S}&=&4.1V \end{array}$
 
2.1 Représentation du schéma du circuit réalisé.

 
2.2. Détermination de la résistance équivalente $R_{e}$ à l'association des conducteurs ohmique de résistances $R_{2}$ et $R$
 
$\begin{array}{lll} R_{e}&=&\dfrac{R_{2}R}{R_{2}+R}\\&=& \dfrac{4.7\times 1.0}{4.7+1.0}\\ \Rightarrow\;R_{e}&=&0.82k\Omega \end{array}$
 
2.4 Déduction des intensités des courants dans les conducteurs de résistances $R_{1}$, $R_{2}$ et $R$
 
$\begin{array}{rcl} I_{1}&=&\dfrac{U_{e}}{R_{e}}\\&=& \dfrac{6.0}{3.02\cdot10^{3}}\\ \Rightarrow\;I_{1}&=&2\cdot10^{-3}A \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{CB}&=&U_{AB}-U_{CA}\\ \Rightarrow\;R_{2}I_{2}&=&U_{e}-R_{1}I_{1}\\ \Rightarrow\;I_{2}&=& \dfrac{U_{e}-R_{1}I_{1}}{R_{2}}\\&=& \dfrac{6.0-2.2\cdot10^{3}\times2\cdot10^{-3}}{4.7\cdot10^{3}}\\ \Rightarrow\;I_{2}&=&0.34\cdot10^{-3}A \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} I&=&\dfrac{U_{e}-R_{1}I_{1}}{R}\\&=& \dfrac{6.0-2.2\cdot10^{3}\times2\cdot10^{-3}}{1\cdot10^{3}}\\ \Rightarrow\;I&=&1.6\cdot10^{-3}A \end{array}$
 
2.5 Montrons que la tension de sortie est alors $U_{S}^{\prime}$ différente de $U_{S}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{S}&=&R_{2}I_{2}\\&=&4.7\cdot10^{3}\times0.34\cdot10^{-3}\\ \Rightarrow\;U_{S}&=&1.6V \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{S}^{\prime}&=&R_{e}I\\&=&0.82\cdot10^{3}\times1.6\cdot10^{-3}\\ \Rightarrow\;U_{S}^{\prime}&=&1.3V\\ \Rightarrow\;U_{S}\neq U_{S}^{\prime} \end{array}$

Exercice 9

1.1 Le circuit est en série 
 
2.2 Représentons le branchement des voltmètres (Voir figure)
 
 
1.3 Rappel de la loi d'Ohm relative à un résistor.
 
$U=RI$
 
1.4 Calcul des tensions $U_{1}$ et $U_{2}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{1}&=&R_{1}I\\&=&10\times0.2\\ \Rightarrow\;U_{1}&=&2V \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{2}&=&R_{2}I\\&=&20\times0.2\\ \Rightarrow\;U_{2}&=&4V \end{array}$
 
1.4 Déduction de la tension aux bornes du générateur.
 
La loi d'additivité des tensions s'écrit :
 
$\begin{array}{rcl} U_{G}&=&U_{1}+U_{2}\\&=&2+4\\ \Rightarrow\;U_{G}&=&6V \end{array}$
 
1.6 Calcul de la résistance équivalente à cette association de $R_{1}$ et $R_{2}$
 
$\begin{array}{rcl} R_{\text{éq}}&=&R_{1}+R_{2}\\&=&10+20\\ \Rightarrow\;R_{\text{éq}}&=&30\Omega \end{array}$
 
2. On considère que la tension aux bornes du générateur reste constante.
 
On réalise avec les mêmes dipôles le deuxième circuit suivant :
 
2.1 Les résistors dans ce deuxième circuit sont associés en dérivation 
 
Déduction de $R'_{\text{eq}}$ équivalente la résistance équivalente à cette association de $R_{1}$ et $R_{2}$
 
$\begin{array}{rcl} R'_{\text{eq}}&=&\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\\&=&\dfrac{10\times 20}{10+20}\\ \Rightarrow\;R'_{\text{eq}}&=&6.7\Omega \end{array}$
 
2.2 Il faut utiliser un voltmètre pour mesurer la tension $U'_{1}$ aux bornes de $R_{1}$ et $U_{2}^{\prime}$ aux bornes de $R_{2}$
 
Précisions la valeur de chacune de ces deux tensions
 
$U_{1}=U_{2}=6.0V$
 
 
2.3 Calcul de l'intensité du courant $I_{1}$ traversant $R_{1}$
 
$\begin{array}{rcl} I_{1}&=&\dfrac{U_{1}}{R_{1}}\\&=& \dfrac{6.0}{10}\\ \Rightarrow\;I_{1}&=&0.60A \end{array}$
 
2.4 Calcul de l'intensité du courant $I_{2}$ traversant $R_{2}$
 
$\begin{array}{rcl} I_{2}&=&\dfrac{U_{2}}{U_{2}}\\&=& \dfrac{6.0}{20}\\ \Rightarrow\;I_{2}&=&0.30A \end{array}$
 
e. Déduisons l'intensité $I^{\prime}$ du courant mesurée par l'ampèremètre en précisant la loi utilisée.
 
On applique la loi des nœuds.
 
$\begin{array}{rcl} I'&=&I_{1}+I_{2}\\&=&0.60+0.30\\ \Rightarrow\;I'&=&0.90A \end{array}$
 
f. Calcul du rapport $\left(U_{\text{générateur}}/I'\right)$ et comparons le avec la résistance $R'_{\text{eq}}$ équivalent
 
$\begin{array}{rcl} U_{\text{Générateur}}/I'&=&\dfrac{6}{0.90}\\&=&6.7\Omega\\ \Rightarrow\;U_{\text{Générateur}}/I'&=&R'_{\text{eq}} \end{array}$
 
3. Comparons les intensités du courant $I$ et $I^{\prime}$
 
L'intensité $I^{\prime}$ délivrée par le générateur dans un montage série est supérieure à celle $I$ d'un montage en dérivation.

Exercice 10

1. Recopions le schéma avec le sens conventionnel du courant électrique 
 
 
2. Calcul du nombre d'électrons traversant une section de la branche $PN$ pendant une seconde. 
 
$\begin{array}{rcl} Q&=&ne\\&=&It\\ \Rightarrow\;n&=&\dfrac{It}{e}\\&=&\dfrac{69.5\cdot10^{-3}\times 1}{1.6\cdot10^{-19}}\\ \Rightarrow\;n&=&43\cdot10^{16}\text{élections} \end{array}$
 
3. Représentation des tensions positives aux bornes de chacun des dipôles (Voir figure)
 
Le courant électrique circule d'un état électrique élevé vers un état  électrique moins élevé
 
4. Détermination des intensités $I_{1}$ et $I_{2}$
 
$\begin{array}{rcl} I_{2}&=&\dfrac{U_{DE}}{R_{3}}\\&=&\dfrac{U_{PN}}{R_{3}}\\&=& \dfrac{6.20}{220}\\ \Rightarrow\;I_{2}&=&28.2mA \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} I&=&I-I_{2}\\&=&69.5-28.21_{1}\\&=&41.3mA \end{array}$
 
5. Détermination des résistance $R_{1}$ et $R_{2}$ des conducteurs ohmiques de la branche $ABC$
 
$\begin{array}{rcl} R_{1}&=&\dfrac{U_{AB}}{I_{1}}\\&=& \dfrac{4.13V}{41.2\cdot 10^{-3}}\\ \Rightarrow\;R_{1}&=&100\Omega \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} R_{2}&=&\dfrac{U_{BC}}{I_{1}}\\&=&\dfrac{U_{PN}-U_{AB}}{I_{1}}\\&=&\dfrac{6.20-4.13}{41.2\cdot10^{-3}}\\ \Rightarrow\;R_{2}&=&50.2\Omega \end{array}$

Exercice 11

1. Rappel la définition de la caractéristique d'un dipôle.
 
La caractéristique d'un dipôle est le graphique sur lequel on représente les variations de la tension aux bornes d'un dipôle en fonction de l'intensité du courant ou inversement.
 
Les appareils de mesure nécessaires à sa détermination sont ; un voltmètre et ampèremètre
 
2. Représentation du schéma du montage électrique correspondant 
 
 
3. Tracé de la représentation graphique $U=f(I)$
 
 
4. La courbe est une droite linéaire Qu'en déduit-on sur la nature du dipôle $D$ est un résistor ou un conducteur ohmique dont sa caractéristique est de la forme $U=aL$
 
5. Détermination de la valeur de la grandeur caractérisant le dipôle $D$
 
$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{\Delta U}{\Delta I}\\&=&R\\\Rightarrow\;R&=&\dfrac{5-0}{10^{-3}-0}\\ \Rightarrow\;R&=&5\cdot10^{3}\Omega \end{array}$

Exercice 12


 
1. Le rôle de $D_{1}$ est de protéger le résistor de résistance $R_{1}$
 
Calcul  de la résistance $R_{2}$ minimale pour que la diode $D_{2}$ soit protégée.
 
$\begin{array}{rcl} U_{BC}&=&U_{AC}-U_{RZ}\\ \Rightarrow\;R_{2}I_{RZ}&=&U_{AC}-U_{RZ}\\ \Rightarrow\;R_{2}&=&\dfrac{U_{AC}-U_{RZ}}{I_{RZ}}\\&=& \dfrac{12-8}{60\cdot10^{-3}}\\ \Rightarrow\;R_{2}&=&66.7\Omega \end{array}$
 
La diode $D_{1}$ est alors protégée
 
2. Calcul de la résistance $R_{1}$ pour que la diode $D_{2}$ soit protégée
 
$\begin{array}{rcl} U_{R_{1}}&=&U_{RM}\\&=&R_{1}I_{FM}\\ \Rightarrow\;R_{1}&=&\dfrac{U_{RM}}{I_{FM}}\\&=& \dfrac{100}{100\cdot10^{-3}}\\ \Rightarrow\;R_{1}&=&10^{3}\Omega \end{array}$

Exercice 14

1.Tracé la caractéristique de la VDR
 
 
2. Relation qui existe entre l'intensité et la tension pour ce générateur 
 
$\begin{array}{rcl} U_{G}&=&E-rI\\ \Rightarrow\;rI&=&-U_{G}+E\\ \Rightarrow\;I&=&-\dfrac{U_{G}}{r}+\dfrac{E}{r} \end{array}$
 
Tracé de la caractéristique de ce générateur (Voir graphe ci-dessous)
 
3. Détermination  graphique de la valeur de l'intensité circulant dans le circuit et celles des tensions aux bornes de chacun des deux composants.
 
$U=U_{G}=2.15V$ ; 
 
$I=I_{G}=0.75A$
 
4. Détermination de la relation entre l'intensité et la tension pour les deux branches générateur – conducteur $R$
 
$\begin{array}{rcl} U_{R}&=&U_{G}\\ \Rightarrow\;RI&=&E-rI\\ \Rightarrow\;(R+r)I&=&E\\ \Rightarrow\;I&=&\dfrac{E}{R+r} \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} I_{R}&=&\dfrac{E}{R+r}\quad\text{or}\quad U_{R}=RI_{R}\\&=&R\dfrac{E}{R+r}\\&=&0.87\times\dfrac{4.5}{0.87+3}\\ \Rightarrow\;U_{R}&=&U_{VDR}\\&=&U_{G}\\&=&1.01V \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} I_{R}&=&\dfrac{E}{R+r}\\&=&\dfrac{4.5}{0.87+3}\\ \Rightarrow\;I_{R}&=&1.16A \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{G}&=&E-rI_{G}\\ \Rightarrow\;I&=&\dfrac{E-U_{G}}{r}\\&=& \dfrac{4.5-1.01}{3}\\ \Rightarrow\;I_{G}&=&1.16A \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} I_{VDR}&=&I_{G}-I_{G}\\&=&1.16-1.16\\ \Rightarrow\;I_{VDR}&=&0A \end{array}$

Exercice 15


 
1. Détermination de la résistance équivalente du dipôle $CD$ 
 
$\begin{array}{rcl} R_{CD}&=&\dfrac{\left(R_{2}+R_{3}\right)R_{4}}{R_{2}+R_{3}+R_{4}}\\&=& \dfrac{(50+50)\times 50}{50+50+50}\\ \Rightarrow\;R_{CD}&=&33.3\Omega \end{array}$
 
2. Déduisons la résistance totale du dipôle $AB$ 
 
$\begin{array}{rcl} R_{AB}&=&R_{1}+R_{CD}+R_{5}\\&=&25+33.3+25\\ \Rightarrow\;R_{AB}&=&83.3\Omega \end{array}$
 
3. Détermination de l'intensité du courant $I$
 
$\begin{array}{rcl} I&=&\dfrac{U_{AB}}{R_{AB}}\\&=& \dfrac{30}{83.3}\\ \Rightarrow\;I&=&0.36A \end{array}$
 
4. Déduction des intensités $I_{2}$ et $I_{3}$ passant respectivement par $R_{4}$ et $\left(R_{2}+R_{3}\right)$
 
$\begin{array}{rcl} U_{CD}&=&U_{AB}-\left(R_{1}+R_{2}\right)I\\&=&30-(25+25)\times0.36\\ \Rightarrow\;U_{CD}&=&12V \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} I_{2}&=&\dfrac{U_{CD}}{R_{4}}\\&=& \dfrac{12}{50}\\ \Rightarrow\;I_{2}&=&0.24\Omega \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl}I_{2}&=&\dfrac{U_{CD}}{R_{2}+R_{3}}\\&=& \dfrac{12}{50+50}\\ \Rightarrow\;I_{2}&=&0.12A \end{array}$

Exercice 16

 
1. Représentons $U_{AB}$, $U_{PN}$, $U_{PA}$, $U_{CA}$, $U_{BN}$ et $U_{CB}$
 
2. $U_{BN}=0V$
 
3. Représentons  le sens des courants (voir figure)
 
4. Calcul de $U_{PA}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{PA}&=&U_{BA}+U_{PN}\\&=&-U_{AB}+U_{PN}\\&=&-8+12\\ \Rightarrow\;U_{PA}&=&4V \end{array}$
 
5. Calcul de $I$
 
$\begin{array}{rcl} U_{PA}&=&R_{3}I\\ \Rightarrow\;I&=&\dfrac{U_{PA}}{R_{3}}\\&=&\dfrac{4}{200}\\ \Rightarrow\;I&=&2\cdot10^{-2}A\\ \Rightarrow\;I&=&20mA \end{array}$
 
6. Calcul de $I_{2}$
 
$\begin{array}{rcl} I&=&I_{1}+I_{2}\\ \Rightarrow\;I_{2}&=&I-I_{1}\\&=&20-15\\ \Rightarrow\;I_{2}&=&5mA \end{array}$
 
7. Calcul de $R_{2}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{AB}&=&R_{2}I_{2}\\ \Rightarrow\;R_{2}&=&\dfrac{U_{AB}}{I_{2}}\\&=&\dfrac{8}{5\cdot10^{-3}}\\ \Rightarrow\;I&=&1.6\cdot10^{3}A \end{array}$
 
8. Calcul de $R_{1}$
 
$\begin{array}{rcl} R_{1}&=&\dfrac{U_{AB}}{I_{1}}\\&=&\dfrac{6}{15\cdot10^{-3}}\\ \Rightarrow\;R_{1}&=&400\Omega \end{array}$
 
9. Calcul de $U_{CB}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{CB}&=&U_{AB}-U_{AC}\\&=&8-6\\ \Rightarrow\;U_{CB}&=&2V \end{array}$
 
10. Calcul de $I_{3}$
 
$\begin{array}{rcl} I_{3}&=&\dfrac{U_{CB}}{R_{4}}\\&=&\dfrac{2}{200}\\ \Rightarrow\;I_{3}&=&10mA \end{array}$
 
11. Calcul de $I_{4}$
 
$\begin{array}{lll} I_{4}&=&I_{1}-I_{1}\\&=&15-10\\ \Rightarrow\;I_{4}&=&5mA \end{array}$
 
12. Calcul de $R_{5}$
 
$\begin{array}{rcl} U_{CB}&=&U_{AB}-U_{AC}\\&=&R_{5}I_{4}\\ \Rightarrow\;R_{5}&=&\dfrac{U_{AB}-U_{AC}}{I_{4}}\\&=&\dfrac{8-6}{5\cdot10^{-3}}\\ \Rightarrow\;R_{5}&=&400\Omega \end{array}$
 
13. Calcul de $R_{\text{éq}}$ la résistance équivalente
 
$\begin{array}{rcl} R_{CD}&=&\dfrac{R_{4}R_{3}}{R_{3}+R_{4}}\\&=&\dfrac{200\times 200}{200+200}\\ \Rightarrow\;R_{CD}&=&100\Omega \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} R_{AD}&=&R_{1}+R_{CD}\\&=&400+100\\ \Rightarrow\;R_{AD}&=&500\Omega \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} R_{AD}^{\prime}&=&\dfrac{R_{2}R_{AD}}{R_{2}+R_{AD}}\\&=&\dfrac{1600\times 500}{1600+500}\\ \Rightarrow\;R'_{AD}&=&381\Omega \end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} R_{\text{équi}}&=&R_{3}+R^{\prime}_{AD}\\&=&200+381\\\Rightarrow\;R_{\text{équi}}&=&581\Omega \end{array}$

Exercice 17

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline U(V)&0&2.0&5.0&5.2&5.5&5.6&5.7&5.8&5.82&5.86&5.90\\ \hline I(mA)&0&0&1.0&2.0&5.0&10&20&30&60&100&150\\ \hline \end{array}$
 
1. Tracé de la caractéristique courant-tension de cette diode
 
 
2. La valeur de $R$ pour que la tension aux bornes de la diode
 
$\begin{array}{lll} R&=&\dfrac{U}{I}\\&=& \dfrac{5.6}{10^{-3}}\\ \Rightarrow\;R&=&5.6\cdot10^{3}\Omega \end{array}$
 

 
Auteur: 
Sidy Mouhamed Ndiaye

Solution des exercices : Classification qualitative des couples oxydant-réducteur ion métalique/métal - 1er s

Classe: 
Première
 

Exercice 1

1) Équation de la réaction  qui se produit.
 
$\begin{array}{ll} Cu^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Cu&\\&\Rightarrow\;Fe\ +\ Cu^{2+}\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ Cu\\Fe\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$
 
$\begin{array}{ll} Cu^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Cu&\\&\Rightarrow\;Cu^{2+}\ +\ 2Ag\ \longrightarrow\ Cu\ +\ 2Ag^{+}\\2\left(Ag\ \longrightarrow\ Ag^{+}\ +\ e\right)& \end{array}$
 
2) Précisons  les couples redox mis en jeu sont : 
 
$Ag^{2+}/Ag$, $Cu^{2+}/Cu$ et $Fe^{2+}/Fe$
 
3) Classons les métaux mis en jeu par pouvoir réducteur croissant.
 
 
4) L'hydrogène est moins réducteur que le fer ; les ions $H^{+}$ réagissent avec le fer pour donner des ions $Fe^{2+}$ et du dihydrogène si on met du fer dans une solution acide.
 
Équation de la réaction s'écrit :
 
$\begin{array}{ll} Fe\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ 2e&\\&\Rightarrow\;Fe\ +\ 2H^{+}\ \longrightarrow\ H_{2}\ +\ Fe^{2+}\\2H^{+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ H_{2}& \end{array}$

Exercice 2

1. Expliquons ce qui s'est passé dans les deux expériences.
 
Pour l'expérience a ,les ions cobalt $Co^{2+}$ ont oxydés le métal fer.
 
Pour l'expérience b, les ions hydronium $H^{+}$ ont oxydés le cobalt équations-bilans des réactions 
 
$\begin{array}{ll} Fe\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ 2e&\\&\Rightarrow\;Fe\ +\ Co^{2+}\ \longrightarrow\ Co\ +\ Fe^{2+}\\Co^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Co& \end{array}$
 
$\begin{array}{ll} Co\ \longrightarrow\ Co^{2+}\ +\ 2e&\\&\Rightarrow\;Co\ +\ 2H^{+}\ \longrightarrow\ H_{2}\ +\ Co^{2+}\\2H^{+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ H_{2}& \end{array}$ 
 
2. Classons qualitativement les trois couples mis en jeu.
 
3. Dans la première expérience quelle est La masse de métal formé ?
 
$\begin{array}{lll} m_{Co}&=&n_{Co}\times M_{Co}\\&=&CV\times M_{Co}\\&=&0.20\times 100\cdot 10^{-3}\times 58.93\\\Rightarrow\;m_{Co}&=&1.18g \end{array}$

Exercice 3

1. Demi-équation du couple rédox qui permet d'expliquer le dépôt de cuivre.
 
$Cu^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Cu$
 
2. Demi-équation du couple rédox qui permet d'où proviennent les électrons de la demi-réaction précédente.
 
$Ni\ \longrightarrow\ Ni^{2+}\ +\ 2e$
 
3. Équation bilan de la réaction chimique traduisant le dépôt métallique.
 
$\begin{array}{ll} Cu^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Cu&\\&\Rightarrow\;Cu^{2+}\ +\ Ni\ \longrightarrow\ Cu\ +\ Ni^{2+}\\Ni\ \longrightarrow\ Ni^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$
 
Aucun dépôt n'est observé dans l'expérience 2 parce que $Fe^{2+}$ est un oxydant faible pour oxyder la lame de nickel

Exercice 4

I. 1) Précisons la nature du dépôt.
 
Le dépôt est le cuivre métal
 
2) Demi équations électroniques représentant les transformations subies par l'ion $Cu^{2+}$ et le zinc $Zn.$
 
$Cu^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Cu$
 
$Zn\ \longrightarrow\ Zn^{2+}\ +\ 2e$
 
3) Équation bilan de la réaction d'oxydoréduction.
 
$Cu^{2+}\ +\ Zn\ \longrightarrow\ Cu\ +\ Zn^{2+}$
 
4) Précisons l'oxydant et le réducteur qui interviennent dans cette réaction.
 
L'ion $Cu^{2+}$ est l'oxydant ; le zinc est le réducteur
 
5) 
 
 
a) Citons les métaux qui peuvent jouer le rôle de « anode sacrificielle ». 
 
Ces métaux sont l'aluminium $(Al)$, le manganèse $(Mn)$ et le zinc $(Zn)$ car plus réducteurs que le fer.
 
b) Équation bilan de la réaction avec l'une des métaux possible.
 
$\begin{array}{ll} 3\left(Fe^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Fe\right)&\\&\Rightarrow\;3Fe^{2+}\ +\ 2Al\ \longrightarrow\ 3Fe\ +\ 2Al^{3+}\\2\left(Al\ \longrightarrow\ Al^{3+}\ +\ 3e\right)& \end{array}$
 
II. 1) Demi-équations électroniques et l'équation bilan de la réaction.                                                                                                                                              
$2\left(H_{3}O^{+}\ +\ e\ \longrightarrow\ \dfrac{1}{2}H_{2}\ +\ H_{2}O\right)\Rightarrow\;2H_{3}O^{+}\ +\ Zn\ \longrightarrow\ H_{2}\ +\ 2H_{2}O\ +\ Zn^{2+}$
 
$Zn\ \longrightarrow\ Zn^{2+}\ +\ 2e$
 
2) a) Calcul  de la quantité de matière (nombre de moles) de dihydrogène obtenu. 
 
$\begin{array}{lll} n_{H_{2}}&=&\dfrac{V}{V_{m}}\\\\&=&\dfrac{0.14}{22.4}\\\\\Rightarrow\;n_{H_{2}}&=&6.25\cdot 10^{-3}mol \end{array}$
 
b) Détermination de la masse de zinc ayant réagi. 
 
$\begin{array}{lll} n_{Zn}&=&n_{Zn}\times M_{Zn}\quad\text{or}\quad n_{H_{2}}=n_{Zn}\\\Rightarrow\;m_{Zn}&=&6.25\cdot 10^{-3}\times 65.4\\\Rightarrow\;m_{Zn}&=&0.409g \end{array}$
 
3) Détermination de la masse de cuivre contenu dans cet alliage
 
$\begin{array}{lll} m_{Cu}&=&m-m_{Zn}\\&=&1-0.409\\\Rightarrow\;m_{Cu}&=&0.591g \end{array}$
 
 
1) Équations des réactions d'oxydoréductions qui se produisent s'il est possible, 
 
a) Quand on plonge une lame de fer dans une solution contenant des ions $Au^{3+}$ il produit une réaction d'oxydoréduction car le zinc moins réductéur réagit les ions $Au^{3+}$ plus oxydant
 
$\begin{array}{ll} 3\left(Fe^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Fe\right)\\&\Rightarrow\;Fe^{2+}\ +\ 2Au\ \longrightarrow\ 3Fe\ +\ 2Au^{3+}\\2\left(Au^{3+}\ +\ 3e\ \longrightarrow\ Au\right)& \end{array}$
 
b) Quand on plonge une lame de zinc dans une solution contenant des ions $Cu^{2+}$, il produit une réaction d'oxydoréduction car le zinc moins réductéur réagit les ions $Cu^{2+}$ plus oxydant
 
$\begin{array}{ll} Cu^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Cu\\&\Rightarrow\;Cu^{2+}\ +\ Zn\ \longrightarrow\ Cu\ +\ Zn^{2+}\\Zn\ \longrightarrow\ Zn^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$
 
2. Plaçons le dihydrogène sur l'axe de classification électrochimique ci-dessus.

Exercice 5

1) Équation de la réaction qui a lieu.
 
$\begin{array}{ll} Cu^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Cu&\\&\Rightarrow\;Cu^{2+}\ +\ Fe\ \longrightarrow\ Cu\ +\ Fe^{2+}\\Fe\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$
 
2) Calcul de
 
a) la masse du solide formé.
 
$\begin{array}{lll} m_{Cu}&=&n_{Cu}\times M_{Cu}\quad\text{or}\quad n_{Cu}=C\times V\\\Rightarrow\;m_{Cu}&=&0.2\times 100\cdot 10^{-3}\times 63.55\\\Rightarrow\;m_{Cu}&=&1.27g \end{array}$
 
b) la concentration des ions $Fe^{2+}$ dans la solution.
 
$\begin{array}{lll} C_{Fe^{2+}}&=&\dfrac{m}{MV}\\\\&=&\dfrac{1.12}{55.85\times 100\cdot 10^{-3}}\\\Rightarrow\;C_{Fe^{2+}}&=&0.2mol\cdot L^{-1} \end{array}$
 
3) a) La réaction qui se produit est la réaction entre le zinc et les ions $Fe^{2+}$
 
b) Les deux demi-équations électroniques et l'équation bilan de la réaction qui se produit.
 
$\begin{array}{ll} Zn\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Zn^{2+}&\\&\Rightarrow\;Zn\ +\ Fe^{2+}\ \longrightarrow\ Zn^{2+}\ +\ Fe\\Fe^{2+}\ +\ 2e\ \longrightarrow\ Fe& \end{array}$
 
c) Calcul de la quantité de matière du métal formé (fer).
 
$\begin{array}{lll} m_{Fe}&=&n_{Fe}\times M_{Fe}\quad\text{or}\quad n_{Fe}=n_{Fe^{2+}}\\&=&C\times V\\\Rightarrow\;m_{Fe}&=&0.2\times 50\cdot 10^{-3}\times 55.85\\\Rightarrow\;m_{Fe}&=&0.56g \end{array}$
 
La masse du métal attaqué (zinc).
 
$\begin{array}{lll} m_{Zn}&=&n_{Zn}\times M_{Zn}\quad\text{or}\quad n_{Fe}=n_{Zn}=n_{Fe^{2+}}\\&=&C\times V\\\Rightarrow\;m_{Zn}&=&0.2\times 50\cdot 10^{-3}\times 65.39\\\Rightarrow\;m_{Zn}&=&0.65g \end{array}$
 
4) a) Montrons qu'il se produit deux réactions d'oxydoréduction.
 
Le fer et le plomb étant plus réducteurs que le dihydrogène, il se produit donc entre l'acide chlorhydrique et les métaux le plomb et fer.
 
b) Précisons les deux couples redox pour chaque réaction.
 
Les deux couples redox sont :  
 
$H_{3}O^{+}/H_{2}\quad$ et $\quad Pb^{2+}/Pb$ ; 
 
$H_{3}O^{+}/H_{2}\quad$ et $\quad Fe^{2+}/Fe$
 
c) Demi équations électroniques et équations bilan de deux réactions.
 
$\begin{array}{ll} 2\left(H_{3}O^{+}\ +\ e\ \longrightarrow\ \dfrac{1}{2}H_{2}\ +\ H_{2}O\right)&\\&\Rightarrow\;2H_{3}O^{+}\ +\ Fe\ \longrightarrow\ H_{2}\ +\ 2H_{2}O\ +\ Fe^{2+}\\Fe\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$
 
$\begin{array}{ll} 2\left(H_{3}O^{+}\ +\ e\ \longrightarrow\ \dfrac{1}{2}H_{2}\ +\ H_{2}O\right)&\\&\Rightarrow\;2H_{3}O^{+}\ +\ Pb\ \longrightarrow\ H_{2}\ +\ 2H_{2}O\ +\ Pb^{2+}\\Pb\ \longrightarrow\ Pb^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$
 
d) Calcul de la masse de chaque métal du mélange (zinc, plomb et argent).
 
$\begin{array}{lll} m_{Fe}&=&n_{Fe}\times M_{Fe}\quad\text{or}\quad n_{Fe}=n_{H_{2}}=\dfrac{V}{V_{m}}\\\Rightarrow\;m_{Fe}&=&\dfrac{0.672}{24}\times 55.85\\\Rightarrow\;m_{Fe}&=&1.56g \end{array}$
 
$\begin{array}{lll} m_{Pb}&=&n_{Pb}\times M_{Pb}\quad\text{or}\quad n_{Pb}=n_{H_{2}}=\dfrac{V}{V_{m}}\\\Rightarrow\;m_{Pb}&=&\dfrac{0.672}{24}\times 207\\\Rightarrow\;m_{Pb}&=&5.8g \end{array}$

Exercice 6

 
1) Montrons,en se basant sur l'échelle de la classification électrochimique des métaux, que seul le zinc a réagi. 
 
Le zinc, plus réducteur que l'hydrogène peut être oxydé par l'acide chlorhydrique ; contrairement au cuivre plus électropositif ne peut être oxydé par l'acide chlorhydrique.
 
2) Équation de la réaction entre le zinc $Zn$ et les ions $H_{3}O^{+}.$
 
$\begin{array}{ll} 2\left(H_{3}O^{+}\ +\ e\ \longrightarrow\ \dfrac{1}{2}H_{2}\ +\ H_{2}O\right)&\\&\Rightarrow\;2H_{3}O^{+}\ +\ Zn\ \longrightarrow\ H_{2}\ +\ 2H_{2}O\ +\ Zn^{2+}\\Zn\ \longrightarrow\ Zn^{2+}\ +\ 2e& \end{array}$
 
Précisons les couples redox mis en jeu au cours de cette réaction d'oxydoréduction.
                                     
Ces couples sont :
 
$H_{3}O^{+}/H_{2}\quad$ et $\quad Zn^{2+}/Zn$
 
3) a) Calcul de la quantité de matière de dihydrogène recueillie à la fin de la réaction.            
$\begin{array}{lll} n_{H_{2}}&=&\dfrac{V}{V_{m}}\\\\&=&\dfrac{0.9}{22.4}\\\\\Rightarrow\;n_{H_{2}}&=&0.040mol \end{array}$
 
b) Déduction de la quantité de matière de zinc contenue dans l'échantillon.                          
 
$\begin{array}{lll} n_{Zn}&=&n_{H_{2}}\\\Rightarrow\;n_{Zn}&=&0.040mol \end{array}$
 
4) a) Calcul de la masse du zinc qui a réagi.                                                                               
 
$\begin{array}{lll} m_{Zn}&=&n_{Zn}\times M_{Zn}\\&=&0.040\times 65.39\\\Rightarrow\;m_{Zn}&=&2.62g \end{array}$
 
b) Déduction du pourcentage massique, en zinc et en cuivre, du laiton.                             
 
$\begin{array}{lll} \%\;m_{Zn}&=&\dfrac{m_{Zn}}{m}\times 100\\\\&=&\dfrac{2.62}{15}\times 100\\\\\Rightarrow\%\;m_{Zn}&=&17.5 \end{array}$           
 
$\begin{array}{lll} \%\;m_{Cu}&=&100-17.5\\&=&100-\%\;m_{Zn}\\\Rightarrow\%\;m_{Cu}&=&82.5 \end{array}$  

Exercice 7

 
1) Décrivons  ce que se passe dans chaque expérience.
 
a) Lorsqu'on plonge une lame de cuivre dans une solution $\left(Ag^{+}\;,\ NO^{-}_{3}\right)$, les ions $Ag^{+}$, oxydant plus fort, réagissent avec la lame de cuivre, et on observe une coloration bleue caractéristique des ions $Cu^{2+}$
 
b) Lorsqu'on plonge une lame de cuivre dans une solution $\left(Zn^{2+}\;,\ SO^{2-}_{4}\right)$, on n'observe rien car les ions $Zn^{2+}$ ne peuvent pas oxyder la lame de cuivre.
 
c) Si on plonge une lame d'aluminium dans une solution $\left(H^{+}\;,\ Cl^{-}\right)$, les ions $H^{+}$, oxydant plus fort, réagissent avec la lame d'aluminium ; et on observe un dégagement du dihydrogène.
 
2) Équations des réactions possibles
 
$\begin{array}{ll} Cu\ \longrightarrow\ Cu^{2+}\ +\ 2e&\\&\Rightarrow\;Cu\ +\ 2Ag^{+}\ \longrightarrow\ Cu^{2+}\ +\ 2Ag\\2\left(Ag^{+}\ +\ e\ \longrightarrow\ Ag\right)& \end{array}$
 
 
$\begin{array}{ll} 3\left(H_{3}O^{+}\ +\ e\ \longrightarrow\ \dfrac{1}{2}H_{2}\ +\ H_{2}O\right)&\\&\Rightarrow\;3H_{3}O^{+}\ +\ Al\ \longrightarrow\ \dfrac{3}{2}H_{2}\ +\ 3H_{2}O\ +\ Al^{3+}\\Al\ \longrightarrow\ Al^{3+}\ +\ 3e& \end{array}$

Exercice 8

1) a) Identification des produits de la réaction. 
 
Le dépôt gris scintillant qui apparaît sur les grains de fer montre qu'il s'est formé de l'argent métal.
 
Le précipité vert qui apparaît instantanément montre qu'il s'est également formé des ions $Fe3+$
 
b) Équations relatives à l'oxydation et à la réduction
 
$Fe\ \longrightarrow\ Fe^{2+}\ +\ 2e$
 
$2\left(Ag^{+}\ +\ e\ \longrightarrow\ Ag\right)$
 
$-\ $Équation bilan de la réaction
 
$Fe\ +\ 2Ag^{+}\ \longrightarrow\ 2Ag\ +\ Fe^{2+}$
 
$-\ $Précisons les couples rédox mis en jeu au cours de cette réaction.
 
Ces couples sont : 
 
$Ag^{+}/Ag\quad$ et $\quad Fe^{2+}/Fe$
 
2) a) Calcul de la quantité de matière initiale de chacun des réactifs.
 
$\begin{array}{lll} n_{Ag^{+}}&=&C\times V\\&=&1\times 100\cdot 10^{-3}\\\Rightarrow\;n_{Ag^{+}}&=&0.1mol \end{array}$
 
$\begin{array}{lll} n_{Fe}&=&\dfrac{m}{M}\\\\&=&\dfrac{2.24}{55.85}\\\\\Rightarrow\;n_{Fe}&=&0.04 \end{array}$
 
b) Les réactifs ne sont pas en proportions stœchiométriques 
 
$\begin{array}{lll} \dfrac{n_{Ag^{+}}}{2}&=&\dfrac{0.1}{2}\\\\&=&0.05mol\succ\dfrac{n_{Fe}}{1}=0.04mol \end{array}$
 
Le fer est le réactif limitant.
 
c) Calcul, à la fin de la réaction : 
 
$-\ $la concentration molaire des ions présents dans la solution.
 
$\begin{array}{lll} C_{Fe^{2+}}&=&\dfrac{n_{Fe}}{V}\\\\&=&\dfrac{0.04}{100\cdot 10^{-3}}\\\\\Rightarrow\;C_{Fe^{2+}}&=&0.4 \end{array}$
 
$-\ $la masse du dépôt métallique formé $(Ag).$
 
$\begin{array}{lll} m_{Ag}&=&n_{Ag}\times M_{Ag}\\&=&2n_{Fe}\times M_{Ag}\\&=&2\times 0.04\times 107.87\\\Rightarrow\;m_{Ag}&=&8.63g \end{array}$
 
3) Comparons les pouvoirs réducteurs de $Fe$, $Ag$ et $H.$
 
Une solution d'acide chlorhydrique réagit avec le fer mais elle est sans action sur l'argent.
 
Le fer est réducteur que l'hydrogène ; par contre l'argent est donc moins réducteur. 
 
D'où ce classement
 

Exercice  9  

l) a) interprétation des expériences
 
$\blacktriangleright\ $Dans la première partie $\left(S_{1}\right)$, lorsqu'on place une lame d'argent, on obtient un dépôt d'or. 
 
L'oxydant $Au^{3+}$ du couple $Au^{3+}/Au$, dont le potentiel électrochimique plus élevé, réagit avec le réducteur $Ag$ du couple $Ag^{+}/Ag$ pour donner un dépôt d'or 
 
$\blacktriangleright\ $Dans la deuxième partie $\left(S_{2}\right)$, lorsqu'on met une lame de cuivre, On obtient un dépôt d'argent et d'or.
  
Les oxydants $Au^{3+}$ et $Ag^{+}$ des couples $Au^{3+}/Au$ et $Ag^{+}/Ag$, dont les potentiels électrochimique plus élevés, réagissent avec le réducteur $Cu$ pour donner un dépôt d'argent et d'or.
 
$\blacktriangleright\ $Dans la troisième partie $\left(S_{3}\right)$, lorsqu'on met une lame de zinc, on obtient un dépôt d'argent et d'or.
  
Les oxydants $Au^{3+}$, $Ag^{+}$ et $Cu^{2+}$ des couples $Au^{3+}/Au$, $Ag^{+}/Ag$ et $Cu^{2+}/Cu$, dont les potentiels électrochimique plus élevés, réagissent avec le reducteur $Zn$  pour donner un dépôt d'argent, d'or et de cuivre
 
b) Équations des réactions dans $\left(S_{1}\right)$ et $\left(S_{2}\right)$, en précisant à chaque fois l'oxydant et le réducteur
 
$\begin{array}{ll} Au\ \longrightarrow\ Au^{3+}\ +\ 3e&\\&\Rightarrow\;Au\ +\ 3Ag^{+}\ \longrightarrow\ Au^{3+}\ +\ 3Ag\\3\left(Ag\ \longrightarrow\ Ag^{+}\ +\ e\right)& \end{array}$
 
$Au^{3+}$ et $Ag$ sont respectivement l'oxydant et le réducteur
 
$\begin{array}{ll} Cu\ \longrightarrow\ Cu^{3+}\ +\ 2e&\\&\Rightarrow\;Cu\ +\ 2Ag^{+}\ \longrightarrow\ Cu^{2+}\ +\ 2Ag\\2\left(Ag^{+}\ +\ e\ \longrightarrow\ Ag\right)& \end{array}$
 
$\begin{array}{ll} 3\left(Cu\ \longrightarrow\ Cu^{2+}\ +\ 2e\right)&\\&\Rightarrow\;3Cu\ +\ 2Au^{3+}\ \longrightarrow\ 3Cu^{2+}\ +\ 2Au\\2\left(Au^{3+}\ +\ 3e\ \longrightarrow\ Au\right)& \end{array}$
 
$Au^{3+}$, $Ag^{+}$ et $Cu$ sont respectivement les oxydants et le réducteur.
 
c) Déduction d'une classification électrochimique des métaux utilisés.
 
 
2) Calcul des molarités des ions $Cu^{2+}$, $Ag^{+}$, $Au^{3+}$ et $NO_{3}^{-}$ dans la solution $(S).$
 
$\begin{array}{lll} C_{Cu^{2+}}&=&\dfrac{m_{3}-m_{2}}{M_{Cu}V}\\&=&\dfrac{1.188-0.934}{63.5\times 300\cdot 10^{3}}\\\Rightarrow\;C_{Cu^{2+}}&=&0.013mol\cdot L^{-1} \end{array}$
 
$\begin{array}{lll} C_{Ag^{+}}&=&\dfrac{m_{2}-m_{1}}{M_{Ag}V}\\&=&\dfrac{0.934-0.394}{108\times 300\cdot 10^{3}}\\\Rightarrow\;C_{Ag^{+}}&=&0.017mol\cdot L^{-1} \end{array}$
 
$\begin{array}{lll} C_{Au^{3+}}&=&\dfrac{m_{1}}{M_{Au}V}\\&=&\dfrac{0.394}{197\times 300\cdot 10^{3}}\\\Rightarrow\;C_{au^{3+}}&=&0.0067mol\cdot L^{-1} \end{array}$
 
$\begin{array}{lll} C_{NO_{3}^{-}}&=&\left(\dfrac{3m_{1}}{M_{Au}}+\dfrac{2\left(m_{3}-m_{2}\right)}{M_{Cu}}+\dfrac{m_{2}-m_{1}}{M_{Ag}}\right)\dfrac{1}{V}\\\\&=&\left(\dfrac{3\times 0.394}{197}+\dfrac{2(1.188-0.934)}{63.5}+\dfrac{0.934-0.394}{108}\right)\\\\\Rightarrow\;C_{NO_{3}^{-}}&=&0.063mol\cdot L^{-1} \end{array}$
 

Auteur: 
Sidy Mouhamed Ndiaye

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