Soit $a$ un réel et $b$ un réel non nul $(b ≠ 0) ; \dfrac{a}{b}$ est appelé quotient de $a$ par $b$ (ou fraction).
Remarque : $\dfrac{a}{b}= a \times\dfrac{1}{b}$
Soit $a , c$ et $e$ des réels quelconques et $b , d$ et $f$ des réels non nuls $(b ≠ 0 , d ≠ 0 , f ≠ 0)$ :
Compléter le tableau ci-dessous :
Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ chacun des systèmes en utilisant la méthode de substitution
$\left(S_{1}\right)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+7&=&0\\ 3x+y-7&=&0 \end{array}\right.$ ;
$\left(S_{2}\right)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y-2&=&0\\ 2x+y+5&=&0 \end{array}\right.$ ;
Donner la forme canonique des fonctions polynômes $f$ du second degré définies par
1. $f(x)=x^{2}-4x+3$ ;
2. $f(x)=2x^{2}-3x+7$ ;
3. $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{x}-5x-1$ ;
4. $f(x)169x^{2}+13x-1$ ;
5. $f(x)=\sqrt{3}x^{2}-\left(1-\sqrt{3}\right)x+4$
6. $f(x)=x^{2}+2x+2$
7. $f(x)=3x^{2}+12x-7$ ;
8. $f(x)=-x^{2}+x+2$ ;
9. $f(x)-3x^{2}+7x-2$
Représente graphiquement dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{I}\ ;\ \vec{J}\right)$ chacune des fonctions affines ou linéaires puis donne le le coefficient et la constante.
a. $f(x)=3x$
b. $(x)=2x+3$
c. $f(x)=-\dfrac{3}{2}x$
d. $f(x)=-\dfrac{1}{3}x+4$
Calculer le nombre de fille.
2. Gaston place ses $8500000\,F$ d'économie à la $CMS (crédit mutuelle du Sénégal), à un taux de $6\%$
Quelles seront ses économies au bout d'un an ?
On considère les données du tableau ci-dessous
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline -4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4\\ \hline 5&2&-3&-1&0&3&1.5&-2&-3\\ \hline \end{array}$
1. Représenter graphiquement ce tableau dans un repère orthonormé.
2. Tracer la courbe d'évolution.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\text{Notes }&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\
\hline \text{Effectifs }&2&1&1&2&3&2&4&6&7&6&5&3&2&3&2&1\\\hline\end{array}$
1. Calcul de A
On met au même dénominateur :
\[\begin{array}{rcl}
A&=&-1 + \frac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\\&=& -\dfrac{12}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12}\\&=&\dfrac{-12 + 4 + 3}{12}\\&=&\dfrac{-5}{12}
\end{array}\]
Réponse : \( \boxed{A = -\dfrac{5}{12} } \)
Système \( S_1 \)
\[
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x - y + 7 &=& 0 \\
3x + y - 7 &=& 0
\end{array}\right.
\]
1. Isoler \( y \) dans la première équation :
\[
x - y + 7 = 0 \implies y = x + 7
\]
2. Substituer \( y \) dans la deuxième équation :
\[
3x + (x + 7) - 7 = 0 \implies 4x = 0 \implies x = 0
\]
3. Trouver \( y \) :
\[
y = 0 + 7 = 7
\]
La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré \( f(x) = ax^2 + bx + c \) est donnée par :
\[ f(x) = a\left( (x - \alpha)^2 \right) + \beta \]
où \( \alpha = -\dfrac{b}{2a} \) et \( \beta = f(\alpha) \).
1. \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)
\( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \)
\( \alpha = -\dfrac{-4}{2 \times 1} = 2 \)
\( \beta = f(2) = (2)^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)
Forme canonique : \( f(x) = (x - 2)^2 - 1 \)