Bac Spécialite

Soit $A$  l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle $[1~;~46]$.
 
  On considère l'équation
    \[(E) : \quad  23x + 47y = 1\]
    où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
    
         Donner une solution particulière $\left(x_{0},~y_{0}\right)$ de $(E)$.
         Déterminer l'ensemble des couples $(x,~y)$ solutions de $(E)$.
         En déduire qu'il existe un unique entier $x$ appartenant à $A$ tel que $23x \equiv  1\quad  (47)$.
    
  Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
    

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.

On supposera connu le résultat suivant :

Une application $f$ du plan dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z'= az+b$ où $a \in \mathbb{C} - \{0\}$ et $ b \in \mathbb{C}$.

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
     
          Déterminer l'ensemble des couples (x,y) de nombres entiers relatifs, solution de l'équation (E) : $\quad  8x - 5y = 3$.
         Soit $m$ un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple $(p,~ q)$ de nombres entiers vérifiant $m = 8 p + 1$ et $m = 5q + 4$.
        
Montrer que le couple $(p,~ q)$ est solution de l'équation (E) et en déduire que $m \equiv 9\quad  (\text{modulo}~ 40)$.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra pour unité graphique 2~cm. Soit A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}  = \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 1 + 2\text{i}$

  Justifier qu'il existe une unique similitude directe $S$ telle que :
    \[ S(\text{O}) = \text{A}~~ \text{et}~~ S(\text{A}) = \text{B}.\]
  Montrer que l'écriture complexe de $S$ est :
  \[z' = (1 - \text{i})z + \text{i}.\]

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$.

Soit $D$ la droite passant par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 2) et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées (1 ; 1 ; 0) et soit $D'$ la droite dont une représentation paramétrique est :  
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t'
y&=& - t'
z&=&- 2\\
\end{array}\right. ~(t' \in \mathbb{R})\]

PARTIE A :

On considère le système de congruences :

\[(S) \left\{\begin{array}{l c l r}
n & \equiv & 2 &(\text{modulo}~ 3)
n & \equiv & 1& (\text{modulo}~ 5)
\end{array}\right.
, \text{où}~ n~ \text{désigne un entier relatif. }\]

Montrer que $11$ est solution de $(S)$.
 Montrer que si $n$ est solution de $(S)$ alors $n -11$ est divisible par $3$.
 Montrer que les solutions de $(S)$ sont tous les entiers de la forme $11 + 15k$, où $k$ désigne un entier relatif.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonornal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
Soient A, B et C les points d'affixes respectives
\[z_{\text{A}} = 2 + \text{i},~~ z_{\text{B}} = 5 + 2\text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}}= \text{i}. \]
$s_{1}$ désigne la symétrie d'axe (AB).
    
          Démontrer que $s_{1}$ transforme tout point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ telle que

\vspace{-0.8cm}  \hfill \hyperlink{Centres_juin2008_retour}{Retour au tableau}

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${} l'unité graphique est 2~cm.

On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives:
\[a = 2,~~b = 2 + 3\text{i},~~c=3i,~~d=- \dfrac{5}{2}+3\text{i}~~\text{et}~~e = - \dfrac{5}{2}.\]

  Placer ces cinq points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.

\vspace{-0.8cm}  \hfill \hyperlink{Antilles_juin2008_retour}{Retour au tableau}

{Partie A}

On considère l'équation (E) : $11x - 26y = 1$, où $x$ et $y$ désignent deux nombres entiers relatifs.

      Vérifier que le couple $(-7~;~-3 )$ est solution de (E).
      Résoudre alors l'équation (E).
      En déduire le couple d'entiers relatifs $(u~;~ v)$ solution de (E) tel que $0 \leqslant u \leqslant 25$.

{Partie B}

                                                      Partie A

On suppose connu le résultat suivant :

Une application $f$ du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z'= az +b$, où $a \in \mathbb{C}^*$ et $b \in \mathbb{C}$.

\vspace{-0.8cm}  \hfill \hyperlink{Amsud_nov2007_retour}{Retour au tableau}

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On fera une figure que l'on complétera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice.

 On considère les points A d'affixe $1$ et B d'affixe i. On appelle $S$ la réflexion (symétrie axiale)
    d'axe (AB).
    
Montrer que l'image $M'$ par $S$ d'un point $M$ d'affixe $z$ a pour affixe

<p><strong>PARTIE A</strong> :&nbsp; Question de cours</p><p>Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ?<br>Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.<br><strong>PARTIE B</strong></p><p>On note 0, 1, 2, \ldots , 9,~$ \alpha,~\beta$, les chiffres de l'écriture d'un nombre en base $12$.

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On fera une figure que l'on complétera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice.

 On considère les points A d'affixe $1$ et B d'affixe i. On appelle $S$ la réflexion (symétrie axiale)
    d'axe (AB).
    
Montrer que l'image $M'$ par $S$ d'un point $M$ d'affixe $z$ a pour affixe

ABC est un triangle équilatéral tel que $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC }} \right) = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,~k \in \mathbb{Z}.$
Soit $t$ un nombre réel fixe et soient les points $M,~ N$ et $P$, deux à deux distincts, définis par
\[\overrightarrow{\text{A}M} = t\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{B}N} = t\overrightarrow{\text{BC}}~ \text{et}~\overrightarrow{\text{C}P} = t\overrightarrow{\text{CA}}.\]