\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2004_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
On se propose dans cet exercice d'étudier le problème suivant :
\og Les nombres dont l'écriture décimale n'utilise que le seul
chiffre $1$ peuvent-ils être premiers} ? \fg{}
Pour tout entier naturel $p \geqslant 2$, on pose $N_{p} = 1 \ldots
1$ où 1 apparaît $p$ fois.
On rappelle dès lors que
$N_{p} = 10^{p-1} + 10^{p-2} + \cdots + 10^0$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2004_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Montrer que, pour tout entier naturel non nul $k$ et pour tout entier
naturel $x$ :
\[(x-1)\left(1 +x + x^2 + \cdots + x^{k-1}\right) = x^k - 1.\]
Dans toute la suite de l'exercice, on considère un nombre entier $a$ supérieur
ou égal à 2.
Soit $n$ un entier naturel non nul et $d$ un diviseur positif
de $n~:~n = dk$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2004_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra 1~cm pour unité graphique. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives
\[z_{\text{A = 2 + \text{i},\quad z_{\text{B
= 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{C = 6+3\text{i},\quad z_{\text{D = - 1 +
6\text{i}.\]
Représenter les points A, B, C et D.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2004_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan P est rapporté a un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra pour unité graphique 3~cm.
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives a, b, c et d telles que
\[\text{a} = 3 \qquad \text{b} = 1 + \dfrac{2}{3}\text{i} \qquad
\text{c} = 3\text{i} \quad \text{et} \quad \text{d} =
-\dfrac{1}{3}\text{i}.\]
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2004_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal \Oijk.
On considère les points A(0 ; 5 ; 5) et B(0 ; 0 ; 10).
Dans cette question, on se place dans le plan P$_0$ d'équation $x = 0$
rapporté au repère \Oij.
On note $\mathcal{C}$ le cercle de centre B passant par A.
Démontrer que la droite (OA) est tangente au cercle $\mathcal{C}$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_nov2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Oij~ (unité graphique : 1~cm).
On note $r_1$ la rotation de centre O et d'angle
$\dfrac{\pi}{3}$ et $r_2$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{5}$.
{Partie A}
Résoudre dans $\Z \times \Z$ l'équation ( E) : $3y =
5(15 - x)$.
Soit I le point d'affixe 1.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_nov2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Soit $p$ un entier naturel. Montrer que l'un des trois nombres $p,{}p + 10$ et $p + 20$, et l'un seulement est divisible par 3.
Les entiers naturels $a,~ b$ et $c$ sont dans cet ordre les trois premiers terme d'une suite arithmétique de raison 10. Déterminer ces trois nombres sachant qu'ils sont premiers.
Soit E l'ensemble des triplets d'entiers relatifs
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Soit l'équation (1) d'inconnue rationnelle $x$ :
\[ 78x^3 + ux^2 + vx - 14 = 0.\]
où $u$ et $v$ sont des entiers relatifs.
On suppose dans cette question que $\dfrac{14}{39}$ est solution de
l'équation (1).
Prouver que les entiers relatifs $u$ et $v$ sont liés par la relation $14u + 39v = \np{1129}.$
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
On rappelle que \np{2003} est un nombre premier.
Déterminer deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que :
\[123 u + \np{2003} v = 1.\]
En déduire un entier relatif $k_0$ tel que :
\[123k_0 \equiv 1\ \ [\np{2003}].\]
Montrer que, pour tout entier relatif $x$,
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
On désigne par $p$ un nombre entier premier supérieur ou égal à 7.
Le but de l'exercice est de démontrer que l'entier naturel $n = p^4 - 1$ est divisible par 240, puis d'appliquer ce résultat.
Montrer que $p$ est congru à $- 1$ ou à $1$ modulo 3. En déduire que $n$ est divisible par 3.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, d'unité graphique 1~cm, on considère les points A$_0$, A$_1$, A$_2$ d'affixes respectives
$z_0 = 5 - 4\text{i},~ z_1 = - 1- 4\text{i},~ z_2 = - 4 - \text{i}$.
Justifier l'existence d'une unique similitude directe
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Calculer : $\left(1 + \sqrt{6}\right)^2,~ \left(1 + \sqrt{6}\right)^4,~\left(1 + \sqrt{6}\right)^6$.
Appliquer l'algorithme d'Euclide à 847 et 342. Que peut-on en déduire ?
Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $a$ et $b$ les entiers naturels tels que :
\[\left(1 + \sqrt{6}\right)^n = a_n + b_n\sqrt{6}.\]
Que valent $a_1$ et $b_1$ ?
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Montrer que, pour tout entier naturel $n,~3n^3 - 11n + 48$ est divisible par $n + 3$.
Montrer que, pour tout entier naturel $n,~3n^2 - 9n + 16$ est un entier naturel non nul.
Montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls $a,~b$ et $c$, l'égalité suivante est vraie :
\[\text{PGCD}(a~;~b) = \text{PGCD}(bc - a~;~b).\]
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
\vspace{2cm}
\parbox[l]{0.40\textwidth}{L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal
\Oijk.
On considère la surface {T} d'équation :
$x^2y = z$\quad avec $-1 \leqslant x \leqslant 1$ \quad et
$-1 \leqslant y \leqslant 1.$
La figure ci-contre est une représentation de la surface {T}, dans le
cube de centre O et de côté 2.} \hfill
\parbox[l]{0.45\textwidth}{
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Les questions} {3} et} {4} sont indépendantes des questions} {1} et} {2} seule l'équation de} $\Gamma$ donnée en} {1 c} intervient à la question} {4}.
L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.
Montrer que les plans P et Q d'équations respectives $x + y\sqrt{3}- 2z = 0$ et $2x - z = 0$ ne sont pas parallèles.
Donner un système d'équations paramétriques de la
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra 1 cm, pour
unité graphique.
On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout
point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
\[z' = -\left(\sqrt{3} + \text{i}\right)z - 1 + \text{i}\left(1 +
\sqrt{3} \right).\]
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Les suites d'entiers naturels $(x_n)$ et $(y_n)$ sont définies sur $\N$ par :
\[ \begin{array}{l}
x_0 = 3 \quad \text{et} \quad x_{n+1} = 2x_n - 1\\
y_0 = 1 \quad \text{et} \quad y_{n+1} = 2y_n + 3.\\
\end{array}\]
Démontrer par recurrence que pour tout entier naturel $n, x_n = 2^{n+1} + 1$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, d'unité graphique 2~cm.
On donne les points A, C, D et $\Omega$, d'affixes respectives 1 + i, 1, 3 et $2 + \dfrac{1}{2}\text{i}$.
\vspace{0,5cm}
{Partie A}
Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $\Omega$ passant par A.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2003_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\vspace{0,5cm}
{Première partie}
ABC est un triangle direct du plan orienté.
On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA].
Soit $\alpha$ un réel qui conduit à la réalisation de la figure jointe sur laquelle on raisonnera. Cette figure sera jointe à la copie.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_dec2002_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
On considère la suite d'entiers définie par $a_n = 1 1 1 \ldots 1 1$ (l'écriture décimale de $a_n$ est composée de $n$ chiffres 1). On se propose de montrer que l'un, au moins, des termes de la suite est divisible par \np{2001}.
En écrivant $a_n$ sous la forme d'une somme de puissances de 10, montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_n = \dfrac{10^n - 1}{9}$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_nov2002_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
On considère deux entiers naturels, non nuls, $x$ et $y$ premiers entre eux.
On pose $S = x + y$ et $P =xy$.
Démontrer que $x$ et $S$ sont premiers entre eux, de même que $y$ et $S$.
En déduire que $S = x+y$ et $P =xy$ sont premiers entre eux.
Démontrer que les nombres $S$ et $P$ sont de parités différentes (l'un pair, l'autre impair).
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2002_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Dans le plan, on considère deux segments [AC] et [BD] tels que
\[\text{AC = BD}\qquad \text{et}\qquad \widehat{\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{BD}}\right)} = - \dfrac{\pi}{2}.\]
On désigne par M le milieu de [AC] et par N celui de [BD]. On appelle ($\mathcal{C}_{1}$), ($\mathcal{C}_{2}$), ($\mathcal{C}_{3}$) et ($\mathcal{C}_{4}$) les cercles de diamètres respectifs
[AB], [BC] , [CD] et [DA].
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2002_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
\begin{center}\psset{unit=0.87cm}
\begin{pspicture}(15,4.5)
\psframe(0,0)(2.2,4.5) \psframe(2.2,0)(6.7,2.2)
\psframe(6.7,0)(9.05,4.5) \psframe(9.05,0)(13.6,2.2)
\uput[ul](0,4.5){C} \uput[ur](2.2,4.5){B} \uput[d](0,0){D}
\uput[d](2.2,0){A} \uput[d](2.9,0){E$_1$} \uput[d](5.9,0){E$_2$}
\uput[u](8.9,0){E$_3$} \uput[d](9.05,0){A$_1$} \uput[d](9.85,0){E$_4$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,4cm}
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2002_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Soit (E) l'ensemble des entiers naturels écrits, en base 10, sous la forme $\overline{abba}$ où $a$ est un chiffre supérieur ou égal à 2 et $b$ est un chiffre quelconque.
Exemples d'éléments de (E) : \np{2002} ; \np{3773} ; \np{9119}.
Les parties A et B peuvent être traitées séparément.
\vspace{0,25cm}
{Partie A : Nombre d'éléments de (E) ayant 11 comme plus petit facteur premier.}
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2002_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vect{\text{OI}},~ \overrightarrow{\text{OJ}}\right)$ (unité graphique 4~cm)
On considère les points A, B , C , D et E d'affixes respectives :
\[Z_{\text{A = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6 ,~ Z_{\text{B =
\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}},~ Z_{\text{C = - 1,~ Z_{\text{D = -
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2002_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
On considère les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par $x_0 = 1,~y_0 = 8$ et
\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
x_{n+ 1} & = & \dfrac{7}{3}x_n + \dfrac{1}{3} y_n + 1\\
y_{n + 1} & =& \dfrac{20}{3}x_n + \dfrac{8}{3} y_n + 5\\
\end{array}\right., ~n \in \N \]
Montrer, par récurrence, que les points $M_n$ de
coordonnées $\left(x_n,~y_n\right)$ sont sur la droite $(\Delta)$ dont une
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2002_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Soit $p$ un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existence de couples $(x~;~y)$ d'entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation :
\[\textbf{E}~: x^2 + y^2= p ^2\]
On pose $p = 2$. Montrer que l'équation {E} est sans solution.
On suppose désormais $p \geqslant 2$ et que le couple $(x~;~ y)$ est solution de l'équation {E}.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2002_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
On considère l'équation
\[(\text{E})~:~6x + 7y = 57\]
où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
Déterminer un couple d'entiers relatifs $(u,~v)$ tel que $6u + 7v = 1$ ; en déduire une solution particulière $(x_{0},~y_{0})$ de l'équation (E).
Déterminer les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
Soit \Oijk{} un repère orthonormal de l'espace.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Reunion_juin2002_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$~
(unité graphique : 2~cm).
On fera une figure que l'on complétera avec les différents
éléments intervenant dans l'exercice.}
Dans cette question on considère l'application $s$
du plan dans lui-même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2002_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
$n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Montrer que $n$ et $2n + 1$ sont premiers entre eux.
On pose $\alpha = n + 3$ et $\beta = 2n + 1$ et on note $\delta$ le PGCD de $\alpha$ et $\beta$.
Calculer $2\alpha - \beta$ et en déduire les valeurs possibles de $\delta$.