Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
A, B, C, désignent les points d'affixes respectives $a = -2\sqrt{3},~ b = \sqrt{3} - 3\text{i}$ et $c = 2\text{i}$.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. L'unité graphique est 2~cm.
Le but de cet exercice est d'étudier la similitude plane indirecte $f$ d'écriture complexe :
\[z'= \text{i}\sqrt{2}\overline{z} + 2\text{i}\sqrt{2} - 2,\]
et d'en donner deux décompositions.
I. Restitution organisée de connaissances
Le but de cet exercice est d'étudier une même configuration géométrique à l'aide de deux méthodes différentes.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. L'unité graphique est 1~cm.
On considère les points A et B d'affixes respectives 10 et 5i.
$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique 1~cm).
On considère le point $A$ d'affixe $z_{A}=1+\text{i}$.
On note $S_{1}$ la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u}\right)$ et $h$ l'homothétie de centre O et de rapport 3.
On pose $s=h\circ S_{1}$.
Partie A
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ (unité graphique : $1$~cm).
On fera une figure que l'on complétera tout au long de cet exercice.
Soient A, B et C les points d'affixes respectives $a = 3 + 5\mathrm{i}$, $b = - 4 + 2 \mathrm{i}$ et $c = 1 + 4 \mathrm{i}$.
Soit $f$ la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = (2 - 2\mathrm{i})z + 1$.
Pour chacune des $5$ propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
On considère la transformation du plan qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$ définie par : $z'= 2\text{i}z+1$.
Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances}
On suppose connus les résultats suivants :
On considère l'équation $(\mathcal{E})\quad: \quad 17x - 24y = 9$, où $(x,~ y)$ est un couple d'entiers relatifs.
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Partie A : Question de cours
Partie B
Il s'agit de résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système
\[(S) \quad \left\{ \begin{array}{l c l r}
n& \equiv & 13 \quad &(19)\\
n & \equiv & 6 \quad &(12)\\
\end{array}\right.\]
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2006_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de divisibilité de l'entier $4^n -1$, lorsque $n$ est un entier naturel.
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : \og si p est un nombre entier et $a$ un entier naturel premier avec $p$, alors $a^{p-1} -1 \equiv 0 \mod p$ \fg{}.
{Partie A.} Quelques exemples.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2006_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Étant donné un entier naturel $n \geqslant 2$, on se propose d'étudier l'existence de trois entiers naturels $x,~y$ et $z$ tels que $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 2^n - 1 ~ \text{modulo}~ 2^n$.
{Partie A : Étude de deux cas particuliers}
Dans cette question on suppose $n = 2$. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.
Dans cette question, on suppose $n = 3$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2006_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit
$P$ un point du segment [BC] distinct de B. On note $Q$ l'intersection de (A$P$)
avec (CD). La perpendiculaire $\delta$ à (A$P$) passant par A coupe (BC) en $R$ et
(CD) en $S$.
Faire une figure.
Soit $r$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2006_retour}{Retour au tableau}
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${} (unité graphique : 4~cm).
Soit $\Omega$ le point d'affixe 2.
On appelle $r$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
On pose $\sigma = h \circ r$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_avril2006_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra 5~ cm pour unité graphique.
Soit $f$ la transformation qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :
\[ z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z+1.\]
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_nov2005_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan est rapporté au repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. Unité graphique :
{4~cm}
{Partie I}
Placer les points I, J, H, A, B, C, D d'affixes respectives :
\[
z_{\text{I}}=1\ ,\ z_{\text{J}}= \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{H = 1 + \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{A}}=2\ ,\ z_{\text{B =
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2005_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.}
Chaque réponse exacte rapporte} 1 point. Chaque réponse fausse enlève} 0,5 point. Une absence de réponse est comptée} 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n'est demandée.}
La figure jointe en annexe sera complétée au cours de l'exercice et remise avec la copie. On y laissera apparents les traits de construction.
Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB = 2, AC= $1 + \sqrt{5}$ et $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2005_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel non nul $n$ le reste dans la division euclidienne par $9$ de $7^n$.
Démontrer alors que $(\np{2005})^{\np{2005}}\equiv 7~(9)$.
Démontrer que pour tout entier naturel non nul \[n~ :~ (10)^n\equiv 1~(9).\]
On désigne par $N$ un entier naturel écrit en base dix, on appelle $S$ la somme de ses chiffres.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2005_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le but de cet exercice est d'étudier les similitudes directes qui transforment l'ensemble $S_{1}$ des sommets d'un carré $\mathcal{C}_{1}$ donné en l'ensemble $S_{2}$ des sommets d'un carré $\mathcal{C}_{2}$ donné.
Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct $\mathcal{R} = $ $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, unité graphique 2 cm.
Partie A
Soit $N$ un entier naturel, impair non premier.
On suppose que $N = a^2 - b^2$ où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels.
Montrer que $a$ et $b$ n'ont pas la même parité.
Montrer que $N$ peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels $p$ et $q$.
Quelle est la parité de $p$ et de $q$ ?
Partie B
On admet que \np{250507} n'est pas premier.
On se propose de chercher des couples d'entiers naturels $(a~;~ b)$ vérifiant la relation
\[(\text{E})~ :\quad a^2 - \np{250507} = b^2.\]
Polynesie_juin2005_retour
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d'entiers naturels définie par
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 14\\
u_{n+1}& =& 5 u_{n} - 6~~\text{pour tout entier naturel}~ n\\
\end{array}\right.\]
Calculer $u_{1},~ u_{2},~ u_{3}$ et $u_{4}$.
Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de $u_{n}$ ?
Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+2}\equiv u_{n}\quad (\text{modulo}~ 4)$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2005_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On considère l'application $f$ qui au point $M$ d'affixe $z$ fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :
\[z' = \dfrac{3+4\text{i}}{5}\overline{z} + \dfrac{1 - 2\text{i}}{5}.\]
On note $x$ et $x',~ y$ et $y'$ les parties réelles et les parties imaginaires de $z$ et $z'$.
Dans cet exercice, $a$ et $b$ désignent des entiers strictement positifs.
Démontrer que s'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $a u + b v = 1$ alors les nombres $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
En déduire que si $\left(a^2 + ab - b^2\right)^2 = 1$, alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_nov2004_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Soit A$_0$ et B$_0$ deux points du plan orienté tels que A$_0$B$_0$ = 8. On prendra le centimètre pour unité.
Soit S la similitude de centre A$_0$, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$.
On définit une suite de points $(B_n)$ de la fa{\oe}on suivante :
\begin{center} pour tout entier naturel $n,~ B_{n+1} = \text{S}(B_n)$. \end{center}
Construire B$_1$,~ B$_2$,~B$_3$ et B$_4$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2004_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
\textsl{L'exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie.}
A et C sont deux points distincts du plan ; on note $\Gamma$ le cercle de diamètre [AC] et O le centre de $\Gamma$ ; $B$ est un point du cercle $\Gamma$ distinct des points A et C.
Le point $D$ est construit tel que le triangle $B$C$D$ soit équilatéral
direct ; on a donc $\left(\vect{B\text{C}},~\vect{BD}\right) = + \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]$.
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\vec{u}~;~\vec{v}\right)$. On
prendra, sur la figure 1 cm pour unité graphique.
On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $- 1$ +i,~$3 + 2\text{i}$ et i$\sqrt{2}$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_mai2004_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
Soient les points A, A$'$, B et B$'$ d'affixes respectives :
\[z_{\text{A = 1 - 2\text{i},~ z_{\text{A}'} =-2 +
4\text{i},~z_{\text{B =3 - \text{i},~z_{\text{B}'} = 5\text{i}.\]
Placer les points A, A$'$, B et B$'$ dans le plan complexe. Monter que ABB$'$A$'$
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2004_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit $P$ un point du segment [BC] distinct de B. On note $Q$ l'intersection de (A$P$) avec (CD). La perpendiculaire $\delta$ à (A$P$) passant par A coupe (BC) en $R$ et
(CD) en $S$.
Faire une figure.
Soit $r$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Asie_juin2004_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous
la forme $9 + a^2$ où $a$ est un entier naturel non nul ; par exemple $10 = 9 +
1^2~;~13 = 9 + 2^2$ etc.
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E)
qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.
Étude de l'équation d'inconnue $a \quad :\quad a^2 + 9 = 2^n$ où $a \in \N,n \in \N,~n \geqslant 4$.