\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2002_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Calculer le P.G.C.D. de $4^5 - 1$ et de $4^6 - 1$.
\vspace{0,3cm}
Soit $u$ la suite numérique définie par :
$u_{0} = 0,~ u_{1} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n+2} = 5 u_{n+1} - 4 u_{n}.\]
Calculer les termes $u_{2},~ u_{3}$ et
$u_{4}$ de la suite $u$.
Montrer que la suite $u$ vérifie,
pour tout entier naturel $n$,
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_dec2001_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
\begin{center} {Partie I} \end{center}
Soit $x$ un nombre réel.
Montrer que $x^4 + 4 = \left(x^2 + 2\right)^2 - 4x^2$.
En déduire que $x^4 + 4$ peut s'écrire comme produit de deux trinômes à coefficients réels.
\vspace{0,5cm}
\begin{center} {Partie II} \end{center}
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_dec2001_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère les nombres $a$ et $b$ tels que :
\[a = 2 n^3 + 5n^2 + 4n + 1 \qquad \text{et} \qquad b = 2 n^2 + n.\]
Montrer que $2n + 1$ divise $a$ et $b$.
Un élève affirme que le PGCD de $a$ et $b$ est $2n + 1$.
Son affirmation est-elle vraie ou fausse? (\emph{La réponse sera justifiée.})
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept2001_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Soient $a$ et $b$ des entiers naturels non nuls tels que PGCD$(a + b ~;~ ab) = p$, où $p$ est un nombre premier.
Démontrer que $p$ divise $a^2$. (On remarquera que $a^2 = a(a + b) - ab.)$
En déduire que $p$ divise $a$.
On constate donc, de même, que $p$ divise $b$.
Démontrer que PGCD$(a ~; ~b) = p$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2001_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Déterminer le PGCD des nombres 168 et 20.
Soit l'équation $168x + 20y = 6$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ?
Soit l'équation $168x + 20y = 4$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ?
vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2001_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$, unité graphique 1 cm, on considère les points B, D définis par :
$\overrightarrow{\text{AB = 2\overrightarrow{u},\vect{\text{AD =3\overrightarrow{v}$ et C tel que ABCD soit un rectangle.
\textsl{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.}
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2001_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Montrer que, pour tout entier relatif $n$, les entiers $14n + 3$
et $5n + 1$ sont premiers entre eux.
On considère l'équation (E) : $87x + 31y = 2$ où $x$ et $y$ sont
des entiers relatifs.
Vérifier, en utilisant par exemple la question {1
}, que 87
et 31 sont premiers entre eux. En déduire un couple $(u~ ;~ v)$ d'entiers
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2001_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5,5.5)
\psline{<->}(0,0)(3.4,0) \psline{<->}(3.8,0.3)(4.9,1.5) \psline{<->}(5,1.5)(5,5.5)
\psline(0,0.3)(3.4,0.3)(3.4,4.4)(0,4.4)(0,0.3)
\psline(3.4,0.3)(4.5,1.5)(4.5,5.5)(3.4,4.4)
\psline(3.4,4.4)(4.5,5.5)(1.2,5.5)(0,4.4)
\psline[linestyle=dotted](0,0.3)(1.2,1.5)(4.5,1.5)
\psline[linestyle=dotted](1.2,1.5)(1.2,5.5)
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2001_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Un astronome a observé au jour J$_0$ le corps céleste A, qui apparaît périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J$_0$ + 6), il observe le corps B, dont la période d'apparition est de 81 jours. On appelle J$_1$ le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de
l'astronome.
Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour J$_1$ .
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2001_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$~[unité graphique : 6~cm].
On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = z\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$ et on définit une suite de points ($M_n$) de la manière suivante :
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2001_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
On suppose le plan rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, unité graphique 3 ~cm.
\vspace{0,25cm}
{Partie A}
Soit trois droites D$_{1}$,~ D$_{2}$ et D$_{3}$, sécantes en $\Omega$ et de
vecteurs directeurs respectifs $\overrightarrow{d_{1 = \overrightarrow{u}$,
et $\overrightarrow{d_{2}}$ et $\overrightarrow{d_{3}}$ supposés unitaires et
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2001_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
On considère $x$ et $y$ des entiers relatifs et l'équation (E)\quad $ 91x + 10y = 1$.
Énoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E).
Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation (E')\quad : $91x + 10y = 412$.
Résoudre (E').
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2001_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
On considère l'équation (1) d'inconnue $(n,~m)$
élément de $\Z^2$ :
\[ 11n - 24m = 1.\]
Justifier, à l'aide de l'énoncé d'un théorème, que cette équation admet au moins une solution.
En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer une solution particulière de l'équation (1).
Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (1).
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Neocal_dec2000_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Dans tout l'exercice $x$ et $y$ désignent des entiers naturels non nuls vérifiant $x < y$.
S est l'ensemble des couples $(x,~y)$ tels que PGCD$(x,~y) = y - x$.
Calculer le PGCD(363,~484).
Le couple (363,~484) appartient-il à S ?
Soit $n$ un entier naturel non nul ; le couple $(n,~n + 1)$ appartient-il à S ?
Justifier votre réponse.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_nov2000_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${} (unité graphique : 2cm). On désigne par $m$ un nombre réel. On considère la transformation
T$_{m}$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$
d'affixe $z'$ définie par :
\[z'= (m + \text{i})z + m - 1 - \text{i}\]
{Partie A}
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_sept2000_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. L'unité graphique est 4~cm.
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a,~ b,~ c$ et $d$ telles que :
\[a = 1, \quad b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, \quad c =
\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}, \quad d =
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}.\]
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2000_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct.
Le but de cette première question est de démontrer que les droites (AC), (EG) et (FH) sont concourantes. Pour cela on note I le point d'intersection des droites (EG) et (FH) et on introduit :
\begin{itemize}
[$\bullet~$] l'homothétie $h_1$ de centre I qui transforme G en E.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amnord_juin2000_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Dans le plan orienté, on considère un triangle direct OAB, rectangle et isocèle en O.
On a donc $(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$.
On note $R_{\text{A}}$ et $R_{\text{B}}$ les rotations de centres respectifs A et B et de même angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $S_{\text{O}}$ la symétrie de centre O.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_juin2000_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Les points $A_0 = \text{O}~ ;~ A_1~ ;~\ldots ~;~A_{20}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre A, à 21 côtés, de sens direct.
Les points $B_0 = \text{O}~ ;~ B_1~ ;~B_{14}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre B, à 15 côtés, de sens direct.
Soit $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{2\pi}{21}$
et $r_{\text{B}}$ la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{2\pi}{15}$.
1. Déterminer PGCD$({2688}~;~{3024})$.
2. Dans cette question, $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs.
a. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes
$(1)~ 2688x + 3024y = - 3360 ~$;
$(2)~8x + 9y = -~10.$
b. Vérifier que $(1~;~-~2)$ est une solution particulière de l'équation
c. Déduire de ce qui précède les solutions de (2).
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Centres_juin2000_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que
AB = BC = CD = DA = 5 et $(\vect{\text{AB}},~
\overrightarrow{\text{AD}}) = \dfrac{\pi}{3}$.
On désigne par I, J, K, L et O les milieux respectifs des segments
[AB], [BC], [CD], [DA] et [BD].
On note $(\Delta)$ la médiatrice de [AB] et $(\Delta')$ la médiatrice
de [CD].
Soit $f$ l'isométrie du plan définie par $f(\text{A}) = \text{B},~
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{France_juin2000_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Dans le plan orienté, on considère deux points A et B et le point E tel que $\overrightarrow{\text{AE = \dfrac{3}{4} \overrightarrow{\text{AB}}.$
Pour la figure, on prendra comme unité de longueur le centimètre et AB = 16. Cette figure sera complétée au fur et à mesure.
Soit un point $C$, distinct de $A$, tel que $\left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{A}C}\right) = \dfrac{\pi}{4}$.
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 5, on considère les nombres
\[a = n^3 - n^2 - 12n \qquad \text{et} \qquad b = 2n^2 - 7n - 4.\]
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Liban_juin2000_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan $(\mathcal{P})$ est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
1. On cherche deux entiers relatifs $x$ et $y$ solutions de l'équation $(1)~ax + by = 60 ~(a$ et $b$ entiers naturels donnés tels que $ab \neq 0$). On notera $d$ le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$.
a. On suppose que l'équation (1) a au moins une solution $(x_{0}~;~y_{0})$. Montrer que $d$ divise 60.
b. On suppose que $d$ divise 60. Prouver qu'il existe alors au moins une solution $(x_{0}~;~y_{0})$ à l'équation (1).
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2000_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.
Pour $1 \leqslant n \leqslant 6$, calculer les restes de la division euclidienne de $3^n$ par 7.
Démontrer que, pour tout $n,~ 3^{ n + 6} - 3^n$ est divisible par 7.
En déduire que $3^n$ et $3^{ n + 6}$ ont le même reste dans la division par 7.
Soit $n$ un entier naturel non nul, on considère les entiers suivants : $N=9n+1$ et $M = 9n - 1$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Amsud_nov1999_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
On considère l'équation
\[(1)\qquad :\quad 20b - 9c = 2.\]
où les inconnues $b$ et $c$ appartiennent à l'ensemble $\Z$ des nombres entiers relatifs.
Montrer que si le couple $(b_{0}~;~c_{0}$ d'entiers relatifs est une solution de l'équation (1), alors $c_{0}$ est un multiple de 2.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Antilles_sept1999_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij.
On donne le point A(6 ; 0) et le point A$'$(0 ; 2).
À tout point $M$ de l'axe des abscisses différent de A on associe le point $M'$ tel que :
\[\text{A}M = \text{A}'M' \quad \text{et} \quad \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{A}'M'}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{mod}~2\pi.\]
On admet l'existence et l'unicité de $M'$.
\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Sportifs_sept1999_retour}{Retour au tableau}
\vspace{0,5cm}
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. (unité graphique : 1~cm) .
On note A, B et C les points d'affixes respectives 2i, -1 + 4i et 5 + 2i.
On considère la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}$, la symétrie S d'axe (AB) et la transformation $f = t \circ~$ S.